Inversibilité et continuité de l'inverse

Soit $E$ une algèbre associative et unitaire de dimension finie sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ . On munit $E$ d'une norme $\|\cdot\|$ telle que :

\forall (a, b) \in E^2,   \|a \cdot b\| \leq \|a\| \cdot \|b\|

On note

U(E)

l'ensemble des éléments inversibles de

E

.

Soit $a \in E$ tel que $\|a\| < 1$ . Démontrer que l'élément $1_{E} - a$ est inversible dans $E$ et exprimer son inverse comme la somme d'une série.
Montrer que l'application $f : x \mapsto x^{-1}$ , définie de $U(E)$ dans $U(E)$ , est continue en $1_{E}$ .
En déduire que l'application $f$ est continue sur l'ensemble $U(E)$ tout entier.

1.

Pour la question 1, utiliser la série géométrique $\sum a^n$ et exploiter le fait qu'en dimension finie, toute série absolument convergente est convergente.

2.

Pour la question 2, majorer la norme de la différence entre $(1_E - a)^{-1}$ et $1_E$ en utilisant le développement en série.

3.

Pour la question 3, décomposer un élément $x$ proche de $a$ sous la forme $x = a(1_E - h)$ ou utiliser la composition par des translations à gauche/droite.

Idées clés

•

Série de Neumann dans une algèbre de Banach.

•

Lien entre convergence absolue et convergence dans un espace de dimension finie.

•

Propriété de continuité par composition et linéarité du produit.

Résolution.

Soit $a \in E$ tel que $\|a\| < 1$ . Par récurrence, la propriété de la norme donne $\|a^n\| \leq \|a\|^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ . Puisque $\|a\| < 1$ , la série numérique $\sum \|a\|^n$ converge. Par comparaison, la série $\sum a^n$ est absolument convergente. Comme $E$ est un espace vectoriel de dimension finie, il est complet. Toute série absolument convergente y est donc convergente. Posons $S = \sum_{n=0}^{+\infty} a^n$ . Calculons le produit $(1_E - a) \cdot S$ par continuité du produit dans $E$ : $(1_E - a) \sum_{n=0}^N a^n = \sum_{n=0}^N a^n - \sum_{n=1}^{N+1} a^n = 1_E - a^{N+1}$ Puisque $\|a^{N+1}\| \leq \|a\|^{N+1}$ et $\|a\| < 1$ , on a $\lim_{N \to +\infty} a^{N+1} = 0$ . Ainsi, en passant à la limite, on obtient $(1_E - a) S = 1_E$ . De même, $S (1_E - a) = 1_E$ . On en conclut que $1_E - a$ est inversible et : $\boxed{(1_E - a)^{-1} = \sum_{n=0}^{+\infty} a^n}$
Soit $x \in U(E)$ au voisinage de $1_E$ . Posons $x = 1_E - a$ avec $\|a\| < 1$ . D'après la question précédente : $x^{-1} - 1_E = (1_E - a)^{-1} - 1_E = \sum_{n=1}^{+\infty} a^n$ En utilisant l'inégalité triangulaire et la sous-multiplicativité de la norme : $\|x^{-1} - 1_E\| \leq \sum_{n=1}^{+\infty} \|a\|^n = \frac{\|a\|}{1 - \|a\|}$ Quand $x \to 1_E$ , on a $a \to 0$ , donc $\|a\| \to 0$ . Par encadrement, $\|x^{-1} - 1_E\| \to 0$ , ce qui prouve que : $\boxed{\lim_{x \to 1_E} x^{-1} = 1_E}$ L'application inverse est donc continue en $1_E$ .
Soit $a \in U(E)$ . On souhaite montrer la continuité de l'inverse en $a$ . Soit $x \in U(E)$ . On peut écrire : $x^{-1} = (x a^{-1} a)^{-1} = a^{-1} (x a^{-1})^{-1}$ Posons $u = x a^{-1}$ . Par continuité du produit dans $E$ , quand $x \to a$ , on a $u \to a a^{-1} = 1_E$ . D'après la question 2, on sait que l'application inverse est continue en $1_E$ , donc : $\lim_{x \to a} (x a^{-1})^{-1} = 1_E^{-1} = 1_E$ Par produit de limites dans $E$ : $\lim_{x \to a} x^{-1} = a^{-1} \cdot 1_E = a^{-1}$ L'application $x \mapsto x^{-1}$ est donc continue en tout point $a \in U(E)$ .

Oublier l'argument de complétude pour la convergence de la série.

L'ensemble GLn(K) est un ouvert et l'application inverse est continue.