Prolongement d'une application lipschitzienne

Résolution.

1. Fixons $x \in E$. Comme $A$ est non vide, l'ensemble $S_x = \{ f(t) - k \|x - t\| \mid t \in A \}$ est non vide. Montrons que cet ensemble est majoré. Soit $u$ un élément fixé de $A$. Puisque $f$ est $k$-lipschitzienne sur $A$, on a pour tout $t \in A$ :
   $$f(t) - f(u) \le |f(t) - f(u)| \le k \|t - u\|$$
   En utilisant l'inégalité triangulaire : $\|t - u\| \le \|t - x\| + \|x - u\|$. On en déduit :
   $$f(t) - f(u) \le k \|t - x\| + k \|x - u\|$$
   Ce qui se réécrit :
   $$f(t) - k \|x - t\| \le f(u) + k \|x - u\|$$
   La quantité à droite de l'inégalité est indépendante de $t$. L'ensemble $S_x$ est donc majoré par $f(u) + k \|x - u\|$. D'après l'axiome de la borne supérieure dans $\mathbb{R}$ :
   $$\boxed{ g(x) = \sup_{t \in A} \left( f(t) - k \|x - t\| \right) \text{ existe dans } \mathbb{R} }$$

2. 1. Soit $x \in A$. En prenant $t = x$ dans l'ensemble $S_x$, on obtient la valeur $f(x) - k\|x-x\| = f(x)$. Par définition du supremum, on a donc :
      $$g(x) \ge f(x)$$
      Par ailleurs, nous avons montré à la question 1 que pour tout $u \in A$ et tout $t \in A$ :
      $$f(t) - k \|x - t\| \le f(u) + k \|x - u\|$$
      En choisissant $u = x$ (ce qui est possible car $x \in A$), il vient :
      $$f(t) - k \|x - t\| \le f(x) + k \|x - x\| = f(x)$$
      En passant au supremum sur $t \in A$, on obtient $g(x) \le f(x)$. Par double inégalité, on conclut que pour tout $x \in A$ :
      $$\boxed{ g(x) = f(x) }$$
      L'application $g$ est donc un prolongement de $f$.

   2. Soient $x, y \in E$. Pour tout $t \in A$, on a par l'inégalité triangulaire :
      $$\|t - y\| \le \|t - x\| + \|x - y\| \implies -\|t - x\| \le -\|t - y\| + \|x - y\|$$
      On multiplie par $k \ge 0$ et on ajoute $f(t)$ :
      $$f(t) - k \|x - t\| \le f(t) - k \|y - t\| + k \|x - y\|$$
      Comme $f(t) - k \|y - t\| \le g(y)$ par définition du supremum, on a :
      $$f(t) - k \|x - t\| \le g(y) + k \|x - y\|$$
      Le majorant à droite est indépendant de $t$. En passant au supremum sur $t \in A$, on obtient :
      $$g(x) \le g(y) + k \|x - y\|$$
      Par symétrie des rôles de $x$ et $y$, on a également $g(y) \le g(x) + k \|y - x\|$, soit :
      $$g(y) - g(x) \le k \|x - y\|$$
      On en conclut que $|g(x) - g(y)| \le k \|x - y\|$. L'application $g$ est donc bien $k$-lipschitzienne sur $E$ :
      $$\boxed{ \forall (x,y) \in E^2,   |g(x) - g(y)| \le k \|x - y\| }$$