Condition de linéarité d'une application additive

Résolution.

1. Étape 1 : Linéarité sur $\mathbb{Q$.} Soit $x \in E$. Par additivité, on a $f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0)$, d'où $f(0) = 0$. Par une récurrence immédiate, on montre que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f(nx) = n f(x)$. De plus, $0 = f(x + (-x)) = f(x) + f(-x)$, donc $f(-x) = -f(x)$. On en déduit que :
   $$\forall n \in \mathbb{Z},   f(nx) = n f(x)$$
   Soit $r = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ avec $(p, q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*$. On a $f(p x) = f(q \cdot \frac{p}{q} x) = q f(\frac{p}{q} x)$. En utilisant la propriété pour les entiers, on obtient $p f(x) = q f(rx)$, soit :
   $$\boxed{ \forall r \in \mathbb{Q}, \forall x \in E,   f(rx) = r f(x) }$$

2. Étape 2 : Passage de $\mathbb{Q$ à $\mathbb{R}$.} Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ et $x \in E$. On souhaite montrer que $f(\lambda x) = \lambda f(x)$. Si $x=0$, l'égalité est triviale. Supposons $x \neq 0$. Soit $(\lambda_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de rationnels convergeant vers $\lambda$. Par additivité et rational-linéarité, on a :
   $$f(\lambda x) = f((\lambda - \lambda_n)x + \lambda_n x) = f((\lambda - \lambda_n)x) + \lambda_n f(x)$$
   Il suffit de prouver que $\lim_{n \to \infty} f((\lambda - \lambda_n)x) = 0$. Notons $h_n = (\lambda - \lambda_n)x$. Puisque $\lambda_n \to \lambda$, on a $\|h_n\| \to 0$. On peut supposer $h_n \neq 0$ pour $n$ assez grand (sinon le terme est nul). Soit $M$ un majorant de $\|f\|$ sur $\bar{B}(0, 1)$. Pour chaque $n$, posons :
   $$p_n = \left\lfloor \frac{1}{\|h_n\|} \right\rfloor$$
   Puisque $\|h_n\| \to 0$, on a $p_n \to +\infty$. Par définition de la partie entière :
   $$p_n \leq \frac{1}{\|h_n\|} < p_n + 1$$
   On en déduit que $\|p_n h_n\| \leq 1$, donc $p_n h_n \in \bar{B}(0, 1)$. En utilisant la rational-linéarité (car $p_n \in \mathbb{Z}$) :
   $$\|f(h_n)\| = \left\| f\left( \frac{1}{p_n} \cdot p_n h_n \right) \right\| = \frac{1}{p_n} \|f(p_n h_n)\|$$
   D'après l'hypothèse de bornitude :
   $$\|f(h_n)\| \leq \frac{M}{p_n}$$
   Comme $p_n \to +\infty$, le théorème des gendarmes assure que $\lim_{n \to \infty} f(h_n) = 0$. En passant à la limite dans l'égalité $f(\lambda x) = f(h_n) + \lambda_n f(x)$, on obtient :
   $$\boxed{ f(\lambda x) = \lambda f(x) }$$

L'application $f$ est additive et homogène, elle est donc linéaire.