Étude d'une équation fonctionnelle itérative

Résolution.

1. Étude des fonctions proposées.

   $\bullet$ Pour $\varphi(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{2^n}$ : C'est une série entière de rayon de convergence $R=1$. Elle converge donc sur $]-1, 1[$, et ici sur $[0, 1[$. En substituant dans $(*)$ :

   $$\varphi(x) + \varphi(x^2) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{2^n} + \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{2^{n+1}}$$
   Par changement d'indice $k = n+1$ dans la seconde somme :
   $$\varphi(x) + \varphi(x^2) = x^{2^0} + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n x^{2^n} + \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k-1} x^{2^k} = x + \sum_{n=1}^{+\infty} [(-1)^n + (-1)^{n-1}] x^{2^n}$$
   $$\boxed{\forall x \in [0, 1[,   \varphi(x) + \varphi(x^2) = x}$$

   $\bullet$ Pour $\psi(x) = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n (1 - x^{2^{-n}})$ : Pour $x \in ]0, 1]$, on a $x^{2^{-n}} = \exp(2^{-n} \ln x) = 1 + \frac{\ln x}{2^n} + o\left(\frac{1}{2^n}\right)$. Ainsi, $1 - x^{2^{-n}} \sim - \frac{\ln x}{2^n}$, ce qui assure la convergence de la série. De même que précédemment, en calculant $\psi(x) + \psi(x^2)$ :

   $$\psi(x) + \psi(x^2) = 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n (1 - x^{2^{-n}}) + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n (1 - x^{2^{-(n-1)}})$$
   Le terme pour $n=1$ de la seconde somme est $(-1)^1(1-x) = x-1$.
   $$\psi(x) + \psi(x^2) = 1 + (x-1) + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n (1 - x^{2^{-n}}) + \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k+1} (1 - x^{2^{-k}}) = x$$
   $$\boxed{\forall x \in ]0, 1],   \psi(x) + \psi(x^2) = x}$$

   $\bullet$ Pour $\chi(x) = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(\ln x)^n}{(2^n + 1)n!}$ : Cette série converge pour tout $x > 0$. Vérifions la relation $(*)$ :

   $$\chi(x) + \chi(x^2) = 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(\ln x)^n}{(2^n+1)n!} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(2 \ln x)^n}{(2^n+1)n!} = 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(\ln x)^n}{n!} \left( \frac{1 + 2^n}{2^n+1} \right)$$
   $$\chi(x) + \chi(x^2) = 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(\ln x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(\ln x)^n}{n!} = e^{\ln x} = x$$
   $$\boxed{\forall x \in ]0, 1],   \chi(x) + \chi(x^2) = x}$$

2. Analyse sur $[0, 1[$.
   1. On a $f(x) = x - f(x^2)$. Par itérations successives : $f(x) = x - (x^2 - f(x^4)) = x - x^2 + f(x^4)$. Par récurrence immédiate, on obtient la formule :
      $$\boxed{f(x) = \sum_{n=0}^{N} (-1)^n x^{2^n} + (-1)^{N+1} f(x^{2^{N+1}})}$$
   2. Comme $x \in [0, 1[$, on a $x^{2^{N+1}} \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0$. De la relation $(*)$, si $f$ est continue en $0$, alors $f(0) + f(0) = 0 \implies f(0) = 0$. Par continuité de $f$ en $0$, $f(x^{2^{N+1}}) \xrightarrow[N \to +\infty]{} f(0) = 0$. En passant à la limite dans la relation précédente, on obtient :
      $$\boxed{f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{2^n} = \varphi(x)}$$

3. Analyse sur $]0, 1]$.
   1. La relation $(*)$ donne $f(x^2) = x - f(x)$, d'où $f(x) = x^{1/2} - f(x^{1/2})$. En itérant : $f(x) = x^{1/2} - (x^{1/4} - f(x^{1/4})) = x^{1/2} - x^{1/4} + f(x^{1/4})$. En sommant jusqu'à $2N$ :
      $$\boxed{f(x) = \sum_{n=1}^{2N} (-1)^{n+1} x^{2^{-n}} + f(x^{2^{-2N}})}$$
      En remarquant que $\sum_{n=1}^{2N} (-1)^{n+1} = 0$, on peut écrire :
      $$\boxed{f(x) = \sum_{n=1}^{2N} (-1)^{n+1} (x^{2^{-n}} - 1) + f(x^{2^{-2N}})}$$
   2. Lorsque $N \to +\infty$, $x^{2^{-2N}} = \exp(2^{-2N} \ln x) \to 1$. Si $f$ est continue en $1$, alors $f(1) + f(1) = 1 \implies f(1) = 1/2$. Ainsi $f(x^{2^{-2N}}) \to 1/2$. On en déduit que $f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} (x^{2^{-n}} - 1) + \frac{1}{2} = \psi(x)$. Comme $\chi$ est aussi solution continue sur $]0, 1]$, on a $\boxed{f = \psi = \chi}$.

4. Synthèse sur $[0, 1]$. Supposons qu'il existe une solution $f$ continue sur $[0, 1]$. D'après les questions précédentes, on doit avoir $f = \varphi$ sur $[0, 1[$ et $f = \chi$ sur $]0, 1]$. En particulier, on devrait avoir $\varphi(1/2) = \chi(1/2)$. Or, on sait que $\varphi(1) = \sum (-1)^n$ diverge, donc $\varphi$ n'a pas de limite finie en $1$ (on peut montrer plus précisément qu'elle oscille au voisinage de $1$). Plus simplement, $\varphi$ est continue sur $[0, 1[$. Si $f$ était continue sur $[0, 1]$, alors $\lim_{x \to 1^-} \varphi(x) = f(1) = 1/2$. Cependant, la série alternée $\sum (-1)^n x^{2^n}$ ne converge pas vers $1/2$ par un argument de limite simple (la suite des sommes partielles en $x=1$ ne converge pas). L'équation $(*)$ n'admet donc pas de solution continue sur $[0, 1]$.