Convergence en loi dans l'urne de Pólya

Résolution.

1. Considérons une séquence particulière de tirages contenant exactement $k$ boules rouges et $n-k$ boules vertes. À chaque étape, si l'urne contient $R$ boules rouges et $V$ boules vertes, la probabilité de tirer une rouge est $\frac{R}{R+V}$. Après ce tirage, le nombre de rouges devient $R+1$ et le total $R+V+1$. Pour n'importe quelle séquence spécifique comportant $k$ succès (boules rouges), le dénominateur sera toujours :
   $$(r+v)(r+v+1)\cdots(r+v+n-1)$$
   Le numérateur sera le produit des nombres de boules rouges disponibles lors des $k$ tirages gagnants, soit $r(r+1)\cdots(r+k-1)$, multiplié par celui des boules vertes lors des autres tirages, soit $v(v+1)\cdots(v+n-k-1)$. Ce produit est indépendant de l'ordre des tirages. Comme il y a $\binom{n}{k}$ telles séquences :
   $$\mathbb{P}(X_n = k) = \binom{n}{k} \frac{\prod_{i=0}^{k-1}(r+i) \prod_{j=0}^{n-k-1}(v+j)}{\prod_{l=0}^{n-1}(r+v+l)}$$
   Utilisons l'identité de la fonction Bêta : $\int_0^1 x^{A-1}(1-x)^{B-1}   \mathrm{d}x = \frac{\Gamma(A)\Gamma(B)}{\Gamma(A+B)}$. Pour des entiers ou réels positifs, cela donne le rapport de produits souhaité. On vérifie que :
   $$\frac{\int_0^1 x^{k+r-1}(1-x)^{n-k+v-1}   \mathrm{d}x}{\int_0^1 x^{r-1}(1-x)^{v-1}   \mathrm{d}x} = \frac{\frac{(k+r-1)!(n-k+v-1)!}{(n+r+v-1)!}}{\frac{(r-1)!(v-1)!}{(r+v-1)!}}$$
   Après simplification, on retrouve exactement la fraction de produits obtenue précédemment. Ainsi :
   $$\boxed{\mathbb{P}(X_n = k) = \binom{n}{k} \frac{\int_0^1 x^{k+r-1}(1-x)^{n-k+v-1}   \mathrm{d}x}{\int_0^1 x^{r-1}(1-x)^{v-1}   \mathrm{d}x}}$$

2. 1. Par définition de l'espérance d'une variable discrète :
      $$\mathbb{E}(f(W_n)) = \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \mathbb{P}(X_n = k)$$
      En injectant la formule de la question 1 et par linéarité de l'intégrale :
      $$\mathbb{E}(f(W_n)) = \frac{1}{\int_0^1 x^{r-1}(1-x)^{v-1}   \mathrm{d}x} \int_0^1 \left[ \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} \right] x^{r-1}(1-x)^{v-1}   \mathrm{d}x$$
      On reconnaît dans le crochet le $n$-ième polynôme de Bernstein de $f$, noté $B_n(f)(x)$. D'où :
      $$\boxed{\mathbb{E}(f(W_n)) = \frac{\int_0^1 B_n(f)(x) x^{r-1}(1-x)^{v-1}   \mathrm{d}x}{\int_0^1 x^{r-1}(1-x)^{v-1}   \mathrm{d}x}}$$

   2. Le théorème de Bernstein affirme que si $f$ est continue sur $[0,1]$, alors la suite $(B_n(f))$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$. Puisque le domaine est compact et les fonctions sont continues, on peut intervertir limite et intégrale. On obtient :
      $$\lim_{n \to +\infty} \mathbb{E}(f(W_n)) = \frac{\int_0^1 f(x) x^{r-1}(1-x)^{v-1}   \mathrm{d}x}{\int_0^1 x^{r-1}(1-x)^{v-1}   \mathrm{d}x}$$

3. Le résultat précédent montre que la suite de variables $(W_n)$ converge en loi vers une variable aléatoire $W_\infty$ dont la loi admet pour densité sur $[0,1]$ la fonction :
   $$g(x) = \frac{x^{r-1}(1-x)^{v-1}}{\int_0^1 t^{r-1}(1-t)^{v-1}   \mathrm{d}t}$$
   Cette loi est la loi Bêta de paramètres $(r, v)$. Pour tout intervalle $[a, b] \subset [0,1]$, par définition de la convergence en loi (et comme la loi limite est à densité, donc sans atomes) :
   $$\lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}(W_n \in [a, b]) = \int_a^b g(x)   \mathrm{d}x$$
   D'où :
   $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}(W_n \in [a, b]) = \frac{\int_a^b x^{r-1}(1-x)^{v-1}   \mathrm{d}x}{\int_0^1 x^{r-1}(1-x)^{v-1}   \mathrm{d}x}}$$