Convexité et polynômes de Bernstein

Soit $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^0$ et convexe sur $[0, 1]$ .

Pour tout entier naturel $n \in \mathbb{N}^*$ , on définit le $n$ -ième polynôme de Bernstein associé à $f$ par la formule :

\forall x \in [0, 1],   B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}

Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et pour tout $x \in [0, 1]$ , on a l'inégalité suivante :

B_n(f)(x) \geq f(x)

1.

On pourra interpréter la somme définissant $B_n(f)(x)$ comme l'espérance d'une variable aléatoire bien choisie.

2.

Utiliser l'inégalité de Jensen pour les fonctions convexes.

3.

Alternativement, utiliser le fait qu'une fonction convexe est l'enveloppe supérieure de ses droites d'appui (fonctions affines).

Idées clés

•

Lien entre polynômes de Bernstein et loi binomiale.

•

Inégalité de Jensen : $\mathbb{E}[f(X)] \geq f(\mathbb{E}[X])$ pour une fonction convexe.

•

Linéarité et positivité de l'opérateur de Bernstein.

Résolution.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in [0, 1]$ fixés.

Considérons une variable aléatoire $X_n$ suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $x$ , notée $X_n \sim \mathcal{B}(n, x)$ . On rappelle que pour tout $k \in \{0, \dots, n\}$ , on a :

P(X_n = k) = \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}

Par définition de l'espérance pour une variable aléatoire finie, on remarque que le polynôme de Bernstein s'écrit :

B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) P(X_n = k) = \mathbb{E}\left[ f\left( \frac{X_n}{n} \right) \right]

La fonction $f$ étant convexe sur $[0, 1]$ , nous pouvons appliquer l'inégalité de Jensen à la variable aléatoire $Z_n = \frac{X_n}{n}$ (qui prend ses valeurs dans $[0, 1]$ ) :

\mathbb{E}[f(Z_n)] \geq f(\mathbb{E}[Z_n])

Calculons l'espérance de $Z_n$ en utilisant la linéarité de l'espérance et le résultat classique sur l'espérance d'une loi binomiale ( $\mathbb{E}[X_n] = nx$ ) :

\mathbb{E}[Z_n] = \mathbb{E}\left[ \frac{X_n}{n} \right] = \frac{1}{n} \mathbb{E}[X_n] = \frac{nx}{n} = x

En injectant ce résultat dans l'inégalité de Jensen, on obtient immédiatement :

\mathbb{E}\left[ f\left( \frac{X_n}{n} \right) \right] \geq f(x)

Ce qui se traduit exactement par :

\boxed{ B_n(f)(x) \geq f(x) }

Autre méthode (Géométrique) : Pour tout $x \in [0, 1]$ , il existe une forme linéaire $L_x : t \mapsto at + b$ telle que $L_x(x) = f(x)$ et pour tout $t \in [0, 1]$ , $f(t) \geq L_x(t)$ (droite d'appui en $x$ ).

Par positivité et linéarité de l'opérateur de Bernstein $B_n$ , on a :

B_n(f)(x) \geq B_n(L_x)(x)

Comme $B_n$ préserve les fonctions affines (on vérifie aisément que $B_n(1)=1$ et $B_n(t)=x$ ), on a $B_n(L_x)(x) = L_x(x)$ . D'où :

\boxed{ B_n(f)(x) \geq f(x) }

Vérifier que la variable aléatoire prend ses valeurs dans le domaine de convexité.

L'écriture du polynôme de Bernstein comme une espérance d'une loi binomiale.