Convergence de solutions d'équations différentielles

Résolution.

1. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. L'équation $(E_n)$ est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. L'équation caractéristique associée est :
   $$\left(1 + \frac{1}{n}\right) r^2 - \left(2 + \frac{1}{n}\right) r + 1 = 0$$
   On remarque immédiatement que $r_1 = 1$ est une racine évidente car :
   $$\left(1 + \frac{1}{n}\right) \times 1^2 - \left(2 + \frac{1}{n}\right) \times 1 + 1 = 1 + \frac{1}{n} - 2 - \frac{1}{n} + 1 = 0$$
   Le produit des racines $r_1 r_2$ est égal à $\frac{1}{1 + 1/n} = \frac{n}{n+1}$. Comme $r_1 = 1$, on en déduit :
   $$\boxed{r_1 = 1   \text{et}   r_2 = \frac{n}{n+1}}$$
   La solution générale de $(E_n)$ est donc de la forme $y_n(x) = A e^x + B e^{\frac{n}{n+1}x}$. En utilisant les conditions initiales :
   • $y_n(0) = A + B = 0 \implies B = -A$.
   • $y_n'(x) = A e^x - A \frac{n}{n+1} e^{\frac{n}{n+1}x}$, donc $y_n'(0) = A \left(1 - \frac{n}{n+1}\right) = A \frac{1}{n+1}$.
   La condition $y_n'(0) = 1$ impose $A = n+1$. On obtient finalement :
   $$\boxed{y_n(x) = (n+1) \left( e^x - e^{\frac{n}{n+1}x} \right)}$$

2. Fixons $x \in \mathbb{R}$. Pour étudier la limite de $y_n(x)$ quand $n \to +\infty$, réécrivons l'expression :
   $$y_n(x) = (n+1) e^x \left( 1 - e^{\frac{n}{n+1}x - x} \right)$$
   On simplifie l'exposant : $\frac{n}{n+1}x - x = x \left( \frac{n - (n+1)}{n+1} \right) = - \frac{x}{n+1}$. Ainsi, $y_n(x) = (n+1) e^x \left( 1 - e^{-\frac{x}{n+1}} \right)$. Effectuons un développement limité de l'exponentielle au voisinage de 0 (puisqu'à $x$ fixé, $-\frac{x}{n+1} \to 0$ quand $n \to +\infty$) :
   $$e^{-\frac{x}{n+1}} = 1 - \frac{x}{n+1} + o\left(\frac{1}{n}\right)$$
   En injectant ce développement dans l'expression de $y_n(x)$ :
   $$y_n(x) = (n+1) e^x \left( 1 - \left( 1 - \frac{x}{n+1} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) \right)$$
   $$y_n(x) = (n+1) e^x \left( \frac{x}{n+1} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) = x e^x + o(1)$$
   La suite de fonctions $(y_n)$ converge donc simplement vers la fonction $y$ définie par :
   $$\boxed{y(x) = x e^x}$$

3. Lorsque $n \to +\infty$, les coefficients de l'équation $(E_n)$ convergent :
   $$1 + \frac{1}{n} \to 1   \text{et}   2 + \frac{1}{n} \to 2$$
   L'équation limite est donc :
   $$\boxed{y'' - 2y' + y = 0}$$
   Vérifions si $y(x) = x e^x$ est solution. On calcule ses dérivées :
   $$y'(x) = (x+1)e^x   \text{et}   y''(x) = (x+2)e^x$$
   En remplaçant dans l'équation :
   $$y''(x) - 2y'(x) + y(x) = (x+2)e^x - 2(x+1)e^x + xe^x = (x - 2x + x + 2 - 2)e^x = 0$$
   De plus, $y(0) = 0 \times e^0 = 0$ et $y'(0) = (0+1)e^0 = 1$. La fonction $y$ est bien la solution de l'équation limite avec les mêmes conditions initiales.