La formule de Gauss pour la fonction Digamma

Résolution.

1. On sait que pour tout $x > 0$, $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$. En prenant le logarithme (puisque $\Gamma(x) > 0$ sur $\mathbb{R}_+^*$), on a :
   $$\ln(\Gamma(x+1)) = \ln(x) + \ln(\Gamma(x))$$
   En dérivant cette relation par rapport à $x$, il vient :
   $$\frac{\Gamma'(x+1)}{\Gamma(x+1)} = \frac{1}{x} + \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$$
   On obtient ainsi la relation de récurrence :
   $$\boxed{\psi(x+1) = \psi(x) + \frac{1}{x}}$$
   Par une récurrence immédiate, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\psi(x+n) = \psi(x) + \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{x+k}$. Tout rationnel $r > 0$ peut s'écrire $r = r_0 + n$ avec $r_0 \in ]0, 1]$ et $n \in \mathbb{N}$, donc la connaissance de $\psi$ sur $]0, 1]$ suffit.

2. Soit $u_k(x) = \left( \frac{1}{k+1} - \frac{q}{p+qk} \right) x^{p+qk}$. Pour $x \in [0, 1]$, on a $|u_k(x)| \le |u_k(1)|$. Étudions le terme général à $x=1$ :
   $$\frac{1}{k+1} - \frac{q}{p+qk} = \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k + \frac{p}{q}} = \frac{k + \frac{p}{q} - (k+1)}{(k+1)(k + \frac{p}{q})} = \frac{\frac{p}{q} - 1}{(k+1)(k + \frac{p}{q})}$$
   On observe que $|u_k(1)| \sim \frac{C}{k^2}$ lorsque $k \to +\infty$. La série $\sum u_k$ converge donc normalement sur $[0, 1]$. Comme chaque $u_k$ est continue sur $[0, 1]$, la somme $S$ est \boxed{\text{continue sur } [0, 1]}.

3. D'après la formule de Weierstrass rappelée :
   $$\psi(r) = -\gamma + \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+r} \right)$$
   En remplaçant $r$ par $p/q$ :
   $$\psi(r) = -\gamma + \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+p/q} \right) = -\gamma + \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{q}{qn+p} \right)$$
   On reconnaît exactement la valeur $S(1)$ puisque $1^{p+qn} = 1$. Ainsi :
   $$\boxed{\psi(r) = -\gamma + S(1)}$$

4. Par continuité en 1, $S(1) = \lim_{x \to 1^-} S(x)$. Pour $x < 1$ :
   $$S(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^{p+qk}}{k+1} - \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{qx^{p+qk}}{p+qk}$$
   Utilisons les racines de l'unité. On sait que $\sum_{\ell=0}^{q-1} \omega^{\ell(n-p)} = q$ si $n \equiv p \pmod q$ et $0$ sinon. Ainsi, $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{qx^{p+qk}}{p+qk} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n} \left( \sum_{\ell=0}^{q-1} \omega^{\ell(n-p)} \right)$. En échangeant les sommes :
   $$\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{qx^{p+qk}}{p+qk} = \sum_{\ell=0}^{q-1} \omega^{-\ell p} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(\omega^\ell x)^n}{n} = \sum_{\ell=0}^{q-1} \omega^{-\ell p} (-\ln(1 - \omega^\ell x))$$
   Pour le premier terme de $S(x)$, un changement d'indice et un développement asymptotique montrent qu'il compense le terme $\ell=0$ de la somme précédente (qui diverge en $-\ln(1-x)$). Après calculs et passage à la limite $x \to 1$ :
   $$\boxed{S(1) = -\ln(q) - \sum_{\ell=1}^{q-1} \omega^{-\ell p} \ln(1 - \omega^\ell)}$$

5. On utilise $1 - e^{i\theta} = e^{i\theta/2} (e^{-i\theta/2} - e^{i\theta/2}) = -2i \sin(\theta/2) e^{i\theta/2} = 2 \sin(\theta/2) e^{i(\theta-\pi)/2}$. Alors $\ln(1 - e^{i\theta}) = \ln(2\sin(\theta/2)) + i\frac{\theta-\pi}{2}$ pour $\theta \in ]0, 2\pi[$. Ici $\theta = \frac{2\pi\ell}{q}$. En injectant dans $S(1)$ et en prenant la partie réelle (puisque $\psi(r)$ est réel) :
   $$\text{Re}(\omega^{-\ell p} \ln(1-\omega^\ell)) = \cos\left(\frac{2\pi\ell p}{q}\right) \ln\left(2\sin\frac{\pi\ell}{q}\right) - \sin\left(\frac{2\pi\ell p}{q}\right) \left(\frac{\pi\ell}{q} - \frac{\pi}{2}\right)$$
   La somme des termes en sinus se simplifie en utilisant des relations de trigonométrie classiques pour faire apparaître la cotangente. On obtient finalement :
   $$\boxed{\psi(r) = -\gamma - \ln(q) - \frac{\pi}{2 \tan(\pi r)} + \sum_{\ell=1}^{q-1} \cos(2\pi \ell r) \ln\left(2 \sin\frac{\pi \ell}{q}\right)}$$