Coefficients de Fourier et fonctions höldériennes

Résolution.

1. Soit $n \in \mathbb{Z}^*$. Par définition des coefficients de Fourier :
   $$c_n(f) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x) e^{-inx} dx$$

   Effectuons le changement de variable $x = t + \frac{\pi}{n}$. On a $dx = dt$ et par $2\pi$-périodicité de la fonction sous l'intégrale :

   $$c_n(f) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f\left(t + \frac{\pi}{n}\right) e^{-in(t + \pi/n)} dt = -\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f\left(t + \frac{\pi}{n}\right) e^{-int} dt$$

   En sommant les deux expressions, on obtient :

   $$2 c_n(f) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \left( f(x) - f\left(x + \frac{\pi}{n}\right) \right) e^{-inx} dx$$

   Grâce à l'hypothèse de $\alpha$-höldérianité :

   $$|2 c_n(f)| \leqslant \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \left| f(x) - f\left(x + \frac{\pi}{n}\right) \right| dx \leqslant \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} M \left| \frac{\pi}{n} \right|^\alpha dx = M \frac{\pi^\alpha}{|n|^\alpha}$$

   On en déduit immédiatement :

   $$\boxed{c_n(f) = O\left(\frac{1}{|n|^\alpha}\right)}$$

2. Introduisons, pour $h > 0$, la fonction $g_h : x \mapsto f(x+h) - f(x-h)$. Les coefficients de Fourier de $g_h$ sont :
   $$c_n(g_h) = c_n(f) e^{inh} - c_n(f) e^{-inh} = 2i c_n(f) \sin(nh)$$

   Appliquons l'identité de Parseval à la fonction $g_h$, qui est continue et $2\pi$-périodique :

   $$\sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n(g_h)|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |g_h(x)|^2 dx$$

   Or, par l'hypothèse Hölder, $|g_h(x)| = |f(x+h) - f(x-h)| \leqslant M |2h|^\alpha$. Ainsi :

   $$4 \sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n(f)|^2 \sin^2(nh) \leqslant \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} M^2 (2h)^{2\alpha} dx = M^2 2^{2\alpha} h^{2\alpha}$$

   En posant $K = M^2 2^{2\alpha - 2}$, on obtient :

   $$\boxed{\sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n(f)|^2 \sin^2(nh) \leqslant K h^{2\alpha}}$$

3. 1. Pour montrer la convergence de $\sum |c_n(f)|$, étudions les tranches dyadiques $T_p = \sum_{2^p \leqslant |n| < 2^{p+1}} |c_n(f)|$ pour $p \in \mathbb{N}$. L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne :
      $$T_p \leqslant \sqrt{\sum_{2^p \leqslant |n| < 2^{p+1}} 1^2} \cdot \sqrt{\sum_{2^p \leqslant |n| < 2^{p+1}} |c_n(f)|^2} \leqslant \sqrt{2 \cdot 2^p} \cdot \sqrt{\sum_{2^p \leqslant |n| < 2^{p+1}} |c_n(f)|^2}$$

      Utilisons le résultat de la question 2 avec $h_p = \frac{\pi}{2^{p+2}}$. Pour $2^p \leqslant |n| < 2^{p+1}$, l'argument $nh_p$ vérifie $\frac{\pi}{4} \leqslant |nh_p| < \frac{\pi}{2}$. Sur cet intervalle, $\sin^2(nh_p) \geqslant \sin^2(\pi/4) = \frac{1}{2}$. Donc :

      $$\frac{1}{2} \sum_{2^p \leqslant |n| < 2^{p+1}} |c_n(f)|^2 \leqslant \sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n(f)|^2 \sin^2(nh_p) \leqslant K h_p^{2\alpha} = K \left(\frac{\pi}{2^{p+2}}\right)^{2\alpha}$$

      On en déduit $\sqrt{\sum_{2^p \leqslant |n| < 2^{p+1}} |c_n(f)|^2} \leqslant \sqrt{2K} \frac{\pi^\alpha}{2^{\alpha(p+2)}}$. D'où :

      $$T_p \leqslant C \cdot 2^{p/2} \cdot 2^{-p\alpha} = C \cdot 2^{p(1/2 - \alpha)}$$

      Comme $\alpha > 1/2$, la série géométrique $\sum 2^{p(1/2 - \alpha)}$ converge. \boxed{\text{La série } \sum |c_n(f)| \text{ est donc convergente.}}

   2. Puisque la série des coefficients de Fourier converge absolument, la série de Fourier de $f$ converge normalement, donc uniformément sur $\mathbb{R}$. Comme $f$ est continue (toute fonction höldérienne est continue), la théorie des séries de Fourier assure que la série converge vers la fonction $f$ elle-même.
      $$\boxed{\forall x \in \mathbb{R},   f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(f) e^{inx}}$$