BCE Maths appliquees EDHEC ECE 2001
Epreuve de maths appliquees - ECE 2001
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Algèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités continuesSuites et séries de fonctionsInformatique
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Annale de maths appliquees BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2001.
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ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD
Concours d'admission sur classes préparatoires
MATHEMATIQUES
Option économique
Mardi 15 mai 2001, de 8h à 12h
Option économique
Mardi 15 mai 2001, de 8h à 12h
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Its ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Its ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Exercice 1
On désigne par a un réel non nul et on considère l'endomorphisme
- a. Écrire la matrice
de relativement à la base et calculer .
b. Montrer que 0 est la seule valeur propre de.
c.est-elle diagonalisable ? Est-elle inversible ? - On pose
.
a. Montrer queest une base de .
b. Vérifier que la matrice derelativement à la base est .
Dans la suite, on cherche à caractériser les endomorphismes
3) On suppose qu'un tel endomorphisme
a. Expliquer pourquoi
b. Déduire de ces deux relations que
4) Réciproquement, vérifier que tout endomorphisme
3) On suppose qu'un tel endomorphisme
a. Expliquer pourquoi
b. Déduire de ces deux relations que
4) Réciproquement, vérifier que tout endomorphisme
Exercice 2
On désigne par
On considère une épreuve aléatoire pouvant aboutir à 3 résultats différents
On effectue
Pour tout
On désigne par
On considère une épreuve aléatoire pouvant aboutir à 3 résultats différents
On effectue
Pour tout
On désigne par
- a. Justifier soigneusement que
.
b. Donner la loi depour tout de .
c. En déduire l'espérance de, notée .
La suite de cet exercice consiste à rechercher les valeurs des réels
2) a. On pose
b. Montrer que
3) a. Déterminer les dérivées partielles d'ordre 1 de
b. En déduire que le seul point en lesquels les dérivées partielles d'ordre 1 de
4) a. Démontrer que
b. Donner la valeur de
2) a. On pose
b. Montrer que
3) a. Déterminer les dérivées partielles d'ordre 1 de
b. En déduire que le seul point en lesquels les dérivées partielles d'ordre 1 de
4) a. Démontrer que
b. Donner la valeur de
Exercice 3
Soit
- Vérifier que
est une densité de probabilité.
La durée de vie d'un certain composant électronique est une variable aléatoire
2) a. Déterminer la fonction de répartition
b. Calculer la médiane de
3) On appelle mode de la variable aléatoire
4) a. En utilisant un résultat connu concernant la loi normale, établir que
b. Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, la variance de
2) a. Déterminer la fonction de répartition
b. Calculer la médiane de
3) On appelle mode de la variable aléatoire
4) a. En utilisant un résultat connu concernant la loi normale, établir que
b. Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, la variance de
Problème
Partie 1
On pose, pour tout entier
- Montrer que :
: - En déduire que:
.
Partie 2
On considère la suite (
- a. Montrer par récurrence que chaque terme de cette suite est parfaitement défini et strictement positif.
b. En déduire le sens de variation de la suite (). - a. Pour tout
de , exprimer en fonction de .
b. En déduire que :.
c. Montrer que:. En déduire la limite de la suite . - a. À l'aide du résultat précédent, montrer que, pour tout entier
supérieur ou égal à 2 :
b. En utilisant la partie 1 , établir que, pour tout entier
c. En déduire finalement que :
Partie 3
- Écrire un programme en Turbo Pascal permettant de calculer et d'afficher
lorsque l'utilisateur entre la valeur de au clavier. - a. Écrire un deuxième programme, toujours en Turbo Pascal, qui permette de déterminer et d'afficher le plus petit entier naturel
pour lequel .
b. On donne :et . En déduire un majorant de .
c. Montrer que l'entiertrouvé en 2a) est compris entre 4995 et 5000.
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