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BCE Maths appliquées EDHEC ECE 2002Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2002

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Annale de maths appliquées BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2002.

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ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD
Concours d'admission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUES
Option économique

Mardi 30 Avril 2002, de 8 h à 12 h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

Pour tout nombre réel x, on note [x] la partie entière de x, c'est-à-dire l'unique nombre entier vérifiant : [x] ≤ x < [x] + 1.
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ(λ > 0).
On pose Y = [X], Y est donc la partie entière de X et on a : ∀k ∈ ℤ, (Y = k) = (k ≤ X < k + 1).
  1. a. Montrer que Y prend ses valeurs dans ℕ.
    b. Pour tout k de ℕ^∗, calculer P(Y = k − 1).
    c. En déduire que la variable alćatoire Y + 1 suit une loi géométrique dont on donnera le paramètre.
    d. Donner l'espérance et la variance de Y + 1. En déduire l'espérance et la variance de Y.
  2. On pose Z = X − Y.
    a. Déterminer Z(Ω).
    b. En utilisant le système complet d'événements (Y = k)_(k ∈ N), montrer que :
∀x ∈ [0, 1[, P(Z ≤ x) = (1 − e^(− ix))/(1 − e^(− λ)).
c. En déduire une densité f de Z.
d. Déterminer l'espérance E(Z) de Z. Ce résultat était-il prévisible ?

Exercice 2

On désigne par n un entier naturel non nul.
On lance n fois une pièce de monnaie donnant "pile" avec la probabilité p( avec 0 < p < 1) et "face" avec la probabilité q = 1 − p. On appelle k-chaîne de "pile" une suite de k lancers consécutifs ayant tous donné "pile", cette suite devant être suivie d'un "face" ou être la dernière suite du tirage.
Pour tout k de [1, n], on note Y_k la variable aléatoire égale au nombre total de k-chaînes de "pile" obtenues au cours de ces n lancers.
Pour tout k de [1, n], on pourra noter P_k l'événement « on obtient "pile" au k éme lancer».
Par exemple, avec n = 11, si l'on a obtenu les résultats P_1 P_2 F_3 F_4 P_5 P_0 P_7 F_8 P_9 F_(10)P_(11) alors Y_1 = 2, Y_2 = 1 et Y_3 = 1.
Le but de cet exercice est de déterminer, pour tout k de [1, n], l'espérance de Y_k, notée E(Y_k).
  1. Déterminer la loi de Y_n et donner E(Y_n).
  2. Montrer que P(Y_(n − 1) = 1) = 2qp^(n − 1) et donner E(Y_(n − 1)).
  3. Dans cette question, k désigne un entier de [1, n − 2].
Pour tout i de [] 1, n], on note X_(t, k) la variable aléatoire qui vaut 1 si une k-chaîne de "pile" commence au i^(eme) lancer et qui vaut 0 sinon.
a. Calculer P(X_(1, k) = 1).
b. Soit i ∈ [2, n − k]. Montrer que P(X_(i, k) = 1) = q^2 p^k.
c. Montrer que P(X_(n − k − 1, k) = 1) = qp^k.
d. Exprimer Y_k en fonction des variables X_(l, k) puis déterminer E(Y_k).

Exercice 3

On note f la fonction définie sur ℝ_+par : {∀x > 0, f(x) = (− xlnx)/(1 + x^2); f(0) = 0.
  1. a. Vérifier que f est continue sur ℝ_+.
    b. Etudier le signe de f(x).
  2. Montrer que l'on définit bien une fonction F¯ sur ℝ_+en posant:
∀x ∈ ℝ_+, F(x) = ∫_0^x f(t)dt
  1. Pour tout x de ℝ_+, on pose : g(x) = F(x) − x.
    a. Montrer que g est dérivable sur ℝ_+et que, pour x > 0, on peut écrire g^′(x) sous la forme
g^′(x) = (− xh(x))/(1 + x^2)
b. Etudier les variations de h, puis en déduire son signe (on donne ln(√5 − 1)/2 ≃ − 0, 48 ).
c. En déduire le signe de g(x).
4) On définit la suite ( u_n ) par la donnée de son premier terme u_0 = 1 et la relation de récurrence, valable pour tout n de ℕ : u_(n + 1) = F(u_n).
a. Établir par récurrence que : ∀n ∈ ℕ, u_n ∈ [0, 1].
b. Montrer, en utilisant le résultat de la troisième question, que ( u_n ) est décroissante.
c. En déduire que la suite ( u_n ) converge et donner lim_(n → + ∞)u_n.

Problème

Partie 1 : étude d'un ensemble de matrices.

On considère les matrices suivantes de M_4(ℝ) :
I = (1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1); J = (0, 0, 0, 1; 1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0); K = (0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1; 1, 0, 0, 0); L = (0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1; 1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0).
On note E l'ensemble des matrices M s'écrivant W = aI + bJ + cK + dL, où a, b, c et d décrivent ℝ.
  1. a. Montrer que E est un espace vectoriel.
    b. Montrer que la famille ( I, J, K, L ) est libre.
    c. Donner la dimension de E.
  2. a. Montrer, en les calculant explicitement, que J^2, K^2, L^2, J^3 et K^3 appartiennent à E.
    b. En déduire, sans aucun calcul matriciel, que JK, KJ, KL, LK, JL et LJ appartiennent aussi à E.
    c. Etablir enfin que le produit de deux matrices de E est encore une matrice de E.
  3. a. Montrer que L est diagonalisable.
    b. Déterminer les valeurs propres de L ainsi que les sous-espaces propres associés à ces valeurs propres.
  4. On considère les vecteurs : u_1 = (1; 1; 1; 1); u_2 = (1; − 1; 1; − 1); u_3 = (1; 1; − 1; − 1); u_4 = (1; − 1; − 1; 1).
    a. Montrer que ( u_1, u_2, u_3, u_4 ) est une base de M_(4, 1)(ℝ).
    b. Vérifier que u_1, u_2, u_3 et u_4 sont des vecteurs propres de L et de J + K.

Partie 2 : étude d'un mouvement aléatoire.

Dans cette partie, p désigne un rćel de ]0, 1[.
Les sommets d'un carré sont numérotés 1, 2, 3 et 4 de telle façon que les côtés du carré relient le sommet 1 au sommet 2 , le sommet 2 au sommet 3 , le sommet 3 au sommet 4 , le sommet 4 au sommet 1 , les diagonales reliant elles le sommet 1 au sommet 3 ainsi que le sommet 2 au sommet 4.
Un pion se déplace sur les sommets de ce carré selon le protocole suivant :
  • Le pion est sur le sommet 1 au départ.
  • Lorsque le pion est à un instant donné sur un sommet du carré, il se déplace à l'instant suivant vers un sommet voisin (relié par un côté) avec la probabilité p ou vers un sommet opposé (relié par une diagonale) avec la probabilité 1 − 2p.
    On note X_n la variable aléatoire égale au numéro du sommet sur lequel se trouve le pion à I'instant n. On a done X_0 = 1.
  1. a. Écrire la matrice A, carrée d'ordre 4, dont le terme situé à l'intersection de la i^(eme) ligne et de la j eme colonne est égal à la probabilité conditionnelle P(K_(n − 1) = i/X_n = j).
    b. Vérifier que A s'écrit comme combinaison linéaire de J + K et L.
  2. a. Pour tout i de {1, 2, 3, 4}, calculer Au_. En déduire qu'il existe une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles que A = PDP^(− 1). Expliciter D et P.
    b. Calculer P^2 puis en déduire P^(− 1).
  3. Pour tout n de ℕ, on pose C_n = (P(X_n = 1); P(X_n = 2); P(X_n = 3); P(X_n = 4)).
    a. Montrer, à l'aide de la formule des probabilités totales, que C_(n − 1) = AC_n.
    b. En déduire que C_n = 1/4PD^n PC_0, puis donner la loi de X_n pour tout entier naturel n supérieur on égal à 1 .

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