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BCE Maths appliquees EDHEC ECE 2002

Epreuve de maths appliquees - ECE 2002

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Probabilités continuesProbabilités finies, discrètes et dénombrementFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre linéaireRéduction
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Banque
BCE
Année
2002
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2002ECE MathématiquesMathématiques 2002

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Description

Annale de maths appliquees BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2002.

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ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD
Concours d'admission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUES
Option économique

Mardi 30 Avril 2002, de 8 h à 12 h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

Pour tout nombre réel , on note la partie entière de , c'est-à-dire l'unique nombre entier vérifiant : .
Soit une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre .
On pose est donc la partie entière de et on a : .
  1. a. Montrer que prend ses valeurs dans .
    b. Pour tout de , calculer .
    c. En déduire que la variable alćatoire suit une loi géométrique dont on donnera le paramètre.
    d. Donner l'espérance et la variance de . En déduire l'espérance et la variance de .
  2. On pose .
    a. Déterminer .
    b. En utilisant le système complet d'événements , montrer que :
c. En déduire une densité de .
d. Déterminer l'espérance de . Ce résultat était-il prévisible ?

Exercice 2

On désigne par un entier naturel non nul.
On lance fois une pièce de monnaie donnant "pile" avec la probabilité avec et "face" avec la probabilité . On appelle -chaîne de "pile" une suite de lancers consécutifs ayant tous donné "pile", cette suite devant être suivie d'un "face" ou être la dernière suite du tirage.
Pour tout de , on note la variable aléatoire égale au nombre total de -chaînes de "pile" obtenues au cours de ces lancers.
Pour tout de , on pourra noter l'événement « on obtient "pile" au éme lancer».
Par exemple, avec , si l'on a obtenu les résultats alors et .
Le but de cet exercice est de déterminer, pour tout de , l'espérance de , notée .
  1. Déterminer la loi de et donner .
  2. Montrer que et donner .
  3. Dans cette question, désigne un entier de .
Pour tout de [] , on note la variable aléatoire qui vaut 1 si une -chaîne de "pile" commence au lancer et qui vaut 0 sinon.
a. Calculer .
b. Soit . Montrer que .
c. Montrer que .
d. Exprimer en fonction des variables puis déterminer .

Exercice 3

On note la fonction définie sur par :
  1. a. Vérifier que est continue sur .
    b. Etudier le signe de .
  2. Montrer que l'on définit bien une fonction sur en posant:
  1. Pour tout de , on pose : .
    a. Montrer que est dérivable sur et que, pour , on peut écrire sous la forme
b. Etudier les variations de , puis en déduire son signe (on donne ).
c. En déduire le signe de .
4) On définit la suite ( ) par la donnée de son premier terme et la relation de récurrence, valable pour tout de .
a. Établir par récurrence que : .
b. Montrer, en utilisant le résultat de la troisième question, que ( ) est décroissante.
c. En déduire que la suite ( ) converge et donner .

Problème

Partie 1 : étude d'un ensemble de matrices.

On considère les matrices suivantes de :
On note l'ensemble des matrices s'écrivant , où et décrivent .
  1. a. Montrer que est un espace vectoriel.
    b. Montrer que la famille ( ) est libre.
    c. Donner la dimension de .
  2. a. Montrer, en les calculant explicitement, que et appartiennent à .
    b. En déduire, sans aucun calcul matriciel, que et appartiennent aussi à .
    c. Etablir enfin que le produit de deux matrices de est encore une matrice de .
  3. a. Montrer que est diagonalisable.
    b. Déterminer les valeurs propres de ainsi que les sous-espaces propres associés à ces valeurs propres.
  4. On considère les vecteurs : .
    a. Montrer que ( ) est une base de .
    b. Vérifier que et sont des vecteurs propres de et de .

Partie 2 : étude d'un mouvement aléatoire.

Dans cette partie, désigne un rćel de .
Les sommets d'un carré sont numérotés et 4 de telle façon que les côtés du carré relient le sommet 1 au sommet 2 , le sommet 2 au sommet 3 , le sommet 3 au sommet 4 , le sommet 4 au sommet 1 , les diagonales reliant elles le sommet 1 au sommet 3 ainsi que le sommet 2 au sommet 4.
Un pion se déplace sur les sommets de ce carré selon le protocole suivant :
  • Le pion est sur le sommet 1 au départ.
  • Lorsque le pion est à un instant donné sur un sommet du carré, il se déplace à l'instant suivant vers un sommet voisin (relié par un côté) avec la probabilité ou vers un sommet opposé (relié par une diagonale) avec la probabilité .
    On note la variable aléatoire égale au numéro du sommet sur lequel se trouve le pion à I'instant . On a done .
  1. a. Écrire la matrice , carrée d'ordre 4, dont le terme situé à l'intersection de la ligne et de la eme colonne est égal à la probabilité conditionnelle .
    b. Vérifier que s'écrit comme combinaison linéaire de et .
  2. a. Pour tout de , calculer En déduire qu'il existe une matrice diagonale et une matrice inversible telles que . Expliciter et .
    b. Calculer puis en déduire .
  3. Pour tout de , on pose .
    a. Montrer, à l'aide de la formule des probabilités totales, que .
    b. En déduire que , puis donner la loi de pour tout entier naturel supérieur on égal à 1 .

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