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BCE Maths appliquees EDHEC ECE 2003

Epreuve de maths appliquees - ECE 2003

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités continuesSuites et séries de fonctionsAlgèbre linéaireIntégrales généralisées
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Banque
BCE
Année
2003
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2003ECE MathématiquesMathématiques 2003

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Description

Annale de maths appliquees BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2003.

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MATHÉMATIQUES EDHEC 2003 OPTION ÉCONOMIQUE

Exercice On note la fonction définie, pour tout réel strictement positif, par : .
  1. a) Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 , montrer que l'intégrale est convergente et exprimer en fonction de .
    b) En déduire que .
  2. Montrer que la série de terme général est convergente.
  3. a) Établir que: .
    b) En sommant soigneusement cette dernière inégalité, montrer que :
c) Déduire des questions précédentes un équivalent simple, lorsque est au voisinage de , de .

Exercice

Dans cet exercice, désigne un entier naturel non nul.
  1. Soit la fonction définie par :
Montrer que est une densité de probabilité.
2. On considère une variable aléatoire réelle dont une densité de probabilité est . On dit alors que suit une loi monôme d'ordre .
a) Reconnaître la loi de .
b) Dans le cas où est supérieur ou égal à 2 , déterminer la fonction de répartition de , ainsi que son espérance et sa variance .
3. On considère deux variables aléatoires et définies sur le même espace probabilisé ( ), suivant la loi monôme d'ordre et indépendantes, c'est-à-dire qu'elles vérifient en particulier l'égalité suivante :
On pose et on admet que est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur .
a) Pour tout réel , écrire, en justifiant la réponse, l'événement ( ) à l'aide des événements et ( ).
b) En déduire une densité de . Vérifier que suit une loi monôme dont on donnera l'ordre, puis déterminer sans calcul .
c) On pose . Exprimer en fonction de et , puis en déduire, sans calcul d'intégrale, la valeur de .

Exercice

  1. Montrer que : .
On considère la fonction définie sur par : si
2. Montrer que est continue sur .
3. Montrer que est de classe sur et sur , puis préciser pour tout de .
4. a) Montrer que .
b) En déduire que est de classe sur et donner .
5. a) Etudier les variations de la fonction définie par:
b) En déduire le signe de ( ), puis dresser le tableau de variations de (limites comprises).
On considère la suite ( ) définie par la donnée de son premier terme et par la relation, valable pour tout entier naturel : .
6. Montrer que: .
7. a) Vérifier que: .
b) En déduire le signe de sur .
c) Montrer que la suite ( ) est décroissante.
8. En déduire que ( ) converge et donner sa limite.
9. Écrire un programme en Pascal permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier naturel pour lequel , dans le cas où .

PROBLÈME

Un joueur participe à un jeu se jouant en plusieurs parties. Ses observations lui permettent d'affirmer que :
  • s'il gagne deux parties consécutives, alors il gagne la prochaine avec la probabilité .
  • s'il perd une partie et gagne la suivante, alors il gagne la prochaine avec la probabilité .
  • s'il gagne une partie et perd la suivante, alors il gagne la prochaine avec la probabilité .
  • s'il perd deux parties consécutives, alors il gagne la prochaine avec la probabilité .
Pour tout entier naturel non nul, on note l'événement: le joueur gagne la è partie. De plus, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 , on pose :
  1. On admet que ( ) est un système complet d'événements.
    a) Utiliser la formule des probabilités totales pour montrer que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 , on a : .
    b) Exprimer de la même façon (aucune explication n'est exigée) les probabilités et en fonction de et .
    c) Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2, on pose : .
Vérifier que , où .
2. a) Soient et .
Calculer . En déduire que est inversible et donner son inverse.
b) On note et les colonnes de . Calculer et , puis en déduire que et 1 sont les valeurs propres de .
c) Justifier que , où est une matrice diagonale que l'on déterminera.
Dans toute la suite, on suppose que le joueur a gagné les deux premières parties.
3. a) Montrer par récurrence que: .
b) Montrer, également par récurrence, que : .
c) Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 , donner la première colonne de , puis en déduire et .
d) Montrer que l'on a :
  1. Pour tout entier naturel non nul, on note la variable aléatoire qui vaut 1 si le joueur gagne la è partie et qui vaut 0 sinon ( et sont donc deux variables certaines).
    a) Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 , exprimer en fonction de et .
    b) En déduire, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 , la loi de .
  2. Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 , on note la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur lors des premières parties.
    a) Calculer en distinguant les cas et .
    b) Déterminer .
    c) Pour tout entier supérieur ou égal à 3 , écrire en fonction des variables , puis déterminer en fonction de .

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