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BCE Maths appliquées EDHEC ECE 2003Sujet, corrigé et rapport du jury

Epreuve de maths appliquées - ECE 2003

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Annale de maths appliquées BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2003.

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MATHÉMATIQUES EDHEC 2003 OPTION ÉCONOMIQUE

Exercice On note f la fonction définie, pour tout réel x strictement positif, par : f(x) = (e^(1/x))/(x^2).
  1. a) Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 , montrer que l'intégrale I_n = ∫_n^(+ ∞)f(x)dx est convergente et exprimer I_n en fonction de n.
    b) En déduire que I_n ∼ _(+ ∞)1/n.
  2. Montrer que la série de terme général u_n = f(n) est convergente.
  3. a) Établir que: ∀k ∈ ℕ^∗, f(k + 1) ⩽ ∫_k^(k + 1)f(x)dx ⩽ f(k).
    b) En sommant soigneusement cette dernière inégalité, montrer que :
∀n ∈ ℕ^∗, ∑_(k = n + 1)^(+ ∞)u_k ⩽ I_n ⩽ ∑_(k = n + 1)^(+ ∞)u_k + (e^(1/n))/(n^2)
c) Déduire des questions précédentes un équivalent simple, lorsque n est au voisinage de + ∞, de ∑_(k = n + 1)^(+ ∞)(e^(1/k))/(k^2).

Exercice

Dans cet exercice, n désigne un entier naturel non nul.
  1. Soit f_n la fonction définie par : f_n(x) = {nx^(n − 1), si x ∈ [0; 1]; 0, sinon
Montrer que f_n est une densité de probabilité.
2. On considère une variable aléatoire X_n réelle dont une densité de probabilité est f_n. On dit alors que X_n suit une loi monôme d'ordre n.
a) Reconnaître la loi de X_1.
b) Dans le cas où n est supérieur ou égal à 2 , déterminer la fonction de répartition F_n de X_n, ainsi que son espérance E(X_n) et sa variance V(X_n).
3. On considère deux variables aléatoires U_n et V_n définies sur le même espace probabilisé ( Ω, A, P ), suivant la loi monôme d'ordre n(n ⩾ 2) et indépendantes, c'est-à-dire qu'elles vérifient en particulier l'égalité suivante :
∀x ∈ ℝ, P(U_n ⩽ x ∩ V_n ⩽ x) = P(U_n ⩽ x)P(V_n ⩽ x)
On pose M_n = sup(U_n, V_n) et on admet que M_n est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur (Ω, A, P).
a) Pour tout réel x, écrire, en justifiant la réponse, l'événement ( M_n ⩽ x ) à l'aide des événements (U_n ⩽ x) et ( V_n ⩽ x ).
b) En déduire une densité de M_n. Vérifier que M_n suit une loi monôme dont on donnera l'ordre, puis déterminer sans calcul E(M_n).
c) On pose T_n = inf(U_n, V_n). Exprimer M_n + T_n en fonction de U_n et V_n, puis en déduire, sans calcul d'intégrale, la valeur de E(T_n).

Exercice

  1. Montrer que : ∀x ∈ ℝ^∗, (e^x − 1)/x > 0.
On considère la fonction f définie sur ℝ par : {f(x) = ln((e^x − 1)/x); f(0) = 0 si x ≠ 0
2. Montrer que f est continue sur ℝ.
3. Montrer que f est de classe C^1 sur ] − ∞; 0[ et sur ]0; + ∞[, puis préciser f^′(x) pour tout x de ℝ^∗.
4. a) Montrer que lim_(x → 0)f^′(x) = 1/2.
b) En déduire que f est de classe C^1 sur ℝ et donner f^′(0).
5. a) Etudier les variations de la fonction g définie par: ∀x ∈ ℝ, g(x) = xe^x − e^x + 1
b) En déduire le signe de ( x ), puis dresser le tableau de variations de f (limites comprises).
On considère la suite ( u_n ) définie par la donnée de son premier terme u_0 > 0 et par la relation, valable pour tout entier naturel n : u_(n + 1) = f(u_n).
6. Montrer que: ∀n ∈ ℕ, u_n > 0.
7. a) Vérifier que: ∀x ∈ ℝ, f(x) − x = f(− x).
b) En déduire le signe de f(x) − x sur ℝ_+^∗.
c) Montrer que la suite ( u_n ) est décroissante.
8. En déduire que ( u_n ) converge et donner sa limite.
9. Écrire un programme en Pascal permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier naturel n pour lequel u_n ⩽ 10^(− 3), dans le cas où u_0 = 1.

PROBLÈME

Un joueur participe à un jeu se jouant en plusieurs parties. Ses observations lui permettent d'affirmer que :
  • s'il gagne deux parties consécutives, alors il gagne la prochaine avec la probabilité 2/3.
  • s'il perd une partie et gagne la suivante, alors il gagne la prochaine avec la probabilité 1/2.
  • s'il gagne une partie et perd la suivante, alors il gagne la prochaine avec la probabilité 1/2.
  • s'il perd deux parties consécutives, alors il gagne la prochaine avec la probabilité 1/3.
Pour tout entier naturel n non nul, on note A_n l'événement: le joueur gagne la n^(ième) partie. De plus, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , on pose :
E_n = A_(n − 1) ∩ A_n F_n = A_(n − 1)^– ∩ A_n G_n = A_(n − 1) ∩ A_n^– H_n = A_(n − 1)^– ∩ A_n^–
  1. On admet que ( E_n, F_n, G_n, H_n ) est un système complet d'événements.
    a) Utiliser la formule des probabilités totales pour montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , on a : P(E_(n + 1)) = 2/3P(E_n) + 1/2P(F_n).
    b) Exprimer de la même façon (aucune explication n'est exigée) les probabilités P(F_(n + 1)), P(G_(n + 1)) et P(H_(n + 1)) en fonction de P(E_n), P(F_n), P(G_n) et P(H_n).
    c) Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose : U_n = (P(E_n); P(F_n); P(G_n); P(H_n)).
Vérifier que U_(n + 1) = MU_n, où M = (2/3, 1/2, 0, 0; 0, 0, 1/2, 1/3; 1/3, 1/2, 0, 0; 0, 0, 1/2, 2/3).
2. a) Soient P = (1, 1, 3, 3; − 2, − 1, − 1, 2; 2, − 1, 1, 2; − 1, 1, − 3, 3) et Q = (− 1, − 3, 3, 1; 2, − 3, − 3, 2; 2, 1, − 1, − 2; 1, 1, 1, 1).
Calculer PQ. En déduire que P est inversible et donner son inverse.
b) On note C_1, C_2, C_3 et C_4 les colonnes de P. Calculer MC_1, MC_2, MC_3 et MC_4, puis en déduire que − 1/3, 1/6, 1/2 et 1 sont les valeurs propres de M.
c) Justifier que M = PDP^(− 1), où D est une matrice diagonale que l'on déterminera.
Dans toute la suite, on suppose que le joueur a gagné les deux premières parties.
3. a) Montrer par récurrence que: ∀n ∈ ℕ, M^n = PD^n P^(− 1).
b) Montrer, également par récurrence, que : ∀n ⩾ 2, U_n = M^(n − 2)U_2.
c) Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , donner la première colonne de M^n, puis en déduire P(E_n), P(F_n), P(G_n) et P(H_n).
d) Montrer que l'on a :
lim_(n → + ∞)P(E_n) = 3/(10) lim_(n → + ∞)P(F_n) = 2/(10) lim_(n → + ∞)P(G_n) = 2/(10) lim_(n → + ∞)P(H_n) = 3/(10)
  1. Pour tout entier naturel k non nul, on note X_k la variable aléatoire qui vaut 1 si le joueur gagne la k^(ième) partie et qui vaut 0 sinon ( X_1 et X_2 sont donc deux variables certaines).
    a) Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2 , exprimer A_k en fonction de E_k et F_k.
    b) En déduire, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2 , la loi de X_k.
  2. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , on note S_n la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur lors des n premières parties.
    a) Calculer P(S_n = 2) en distinguant les cas n = 2, n = 3 et n ⩾ 4.
    b) Déterminer P(S_n = n).
    c) Pour tout entier n supérieur ou égal à 3 , écrire S_n en fonction des variables X_k, puis déterminer E(S_n) en fonction de n.

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