J-0
00m
00j
00h
00min
00s

BCE Maths appliquees EDHEC ECE 2013

Epreuve de maths appliquees - ECE 2013

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesSuites et séries de fonctionsAlgèbre linéaireRéductionStatistiques
RetourLire
Logo concours BCE - Voir tous les sujets BCE

Voir tous les sujets

Logo concours BCE
🔗 Explorer
Banque
BCE
Année
2013
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2013ECE MathématiquesMathématiques 2013

Téléchargements disponibles

Sujet et rapport

Télécharger le sujet →Rapport du jury →

Corrigés

Télécharger corrigé →

Lecture et formats

Lire en ligne →LaTeX →Word →

Description

Annale de maths appliquees BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2013.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
3fb5afe0-e89c-4002-ad73-f5f6580cda09

ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD

Concours d'admission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUES

Option économique

Lundi 6 mai 2013 de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

On se propose d'étudier la suite , définie par la donnée de et par la relation, valable pour tout entier naturel : .
  1. a) Montrer que, pour tout entier naturel , on a : .
    b) Étudier les variations de la suite ( ).
    c) Déduire des questions précédentes que la suite ( ) converge et donner sa limite.
  2. a) Écrire une fonction Pascal qui renvoie la valeur de .
    b) En déduire un programme, rédigé en Turbo Pascal, qui permet de déterminer et d'afficher la plus petite valeur de pour laquelle on a : .
  3. Pour tout entier naturel , on pose .
    a) Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de .
    b) Simplifier, pour tout entier naturel non nul, la somme .
    c) Donner pour finir la nature de la série de terme général ainsi que la valeur de .

Exercice 2

  1. On note la base canonique de et on considère l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est :
a) Vérifier que l'on a et calculer .
b) Déterminer une base (a) de ainsi qu'une base ( ) de .
c) Montrer que .
Dans la suite, on considère un endomorphisme de tel que : et , ce qui signifie que n'est pas l'endomorphisme nul, mais que est l'endomorphisme nul.
En désignant par la matrice de dans la base canonique de , on a donc :
On se propose de montrer, dans ce cas plus général, que .
2) a) Montrer que 0 est la seule valeur propre possible de .
b) Montrer, en raisonnant par l'absurde, que 0 est la seule valeur propre de .
c) En déduire, toujours en raisonnant par l'absurde, que n'est pas diagonalisable.
3) a) Justifier qu'il existe un vecteur de tel que .
b) Montrer que ( ) est une base de , que l'on notera .
c) Donner la matrice de dans la base .
d) Déterminer et donner sa dimension. En déduire une base de Ker . Pour finir, déterminer puis conclure.

Exercice 3

Dans cet exercice, la lettre désigne un entier naturel.
On dispose d'une urne contenant au départ boules blanches et ( ) boules noires. On dispose également d'une réserve infinie de boules blanches et de boules noires.
Pour tout entier naturel , on dit que l'urne est dans l'état lorsqu'elle contient boules blanches et boules noires. Au départ, l'urne est donc dans l'état .
On réalise une succession d'épreuves, chaque épreuve se déroulant selon le protocole suivant : Pour tout entier naturel non nul, si l'urne est dans l'état , on extrait une boule au hasard de l'urne.
  • Si l'on obtient une boule blanche, alors cette boule n'est pas remise dans l'urne et on enlève de plus une boule noire de l'urne, l'urne est alors dans l'état ( ).
  • Si l'on obtient une boule noire, alors cette boule est remise dans l'urne et on remet en plus une boule blanche et une boule noire dans l'urne, l'urne est alors dans l'état ( ).
  1. Dans cette question, on suppose que (l'urne contient donc une boule blanche et 3 boules noires) et on note la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches encore présentes dans l'urne après la première épreuve et la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches encore présentes dans l'urne après la deuxième épreuve.
    On admet que et sont définies sur un certain espace probabilisé ( ) que l'on ne cherchera pas à déterminer.
    a) Donner la loi de .
    b) Utiliser la formule des probabilités totales pour déterminer la loi de .
    c) Simulation informatique de l'expérience aléatoire décrite ci-dessus.
On rappelle que random( ) renvoie au hasard un entier compris entre 0 et .
Compléter le programme suivant pour qu'il simule l'expérience aléatoire décrite dans cet exercice et pour qu'il affiche les valeurs des variables aléatoires et .
Program simul ;
\(\operatorname{Var} X 1, X 2\), tirage : integer ;
Begin
Randomize ;
tirage : \(=\) random(4) ; If tirage \(=0\) then \(X 1:=\)------ else \(X 1:=\)------ ;
If \((X 1=0)\) then \(X 2:=\ldots--\)
    Else begin tirage : = random(6) ;
            If tirage <= 1 then \(X 2\) : = __-_-- else \(X 2:=\) _----- ;
        end ;
Writeln \((X 1, X 2)\);
end.
On revient au cas général ( est donc un entier naturel quelconque supérieur ou égal à 1) et on décide que les tirages s'arrêtent dès que l'urne ne contient plus de boules blanches.
Pour tout de □ , on note alors l'événement : « l'urne est dans l'état initialement et les tirages s' arrêtent au bout d'un temps fini ». On pose et l'on a bien sûr .
2) Montrer, en considérant les deux résultats possibles du premier tirage (c'est-à-dire au début du jeu lorsque l'urne est dans l'état ) que :
  1. a) Montrer par récurrence que : .
    b) En déduire que la suite ( ) est convergente.
On admet pour la suite que .
4) Pour tout entier naturel , on pose .
a) Pour tout entier naturel de , écrire en fonction de et .
b) En déduire l'expression de en fonction de et .
c) Montrer enfin que l'on a : .
Déterminer la valeur de , puis en déduire, pour tout entier naturel , l'expression de en fonction de .

Problème

  1. On considère la fonction définie pour tout réel par : .
    a) Calculer . En déduire sans calcul .
    b) Vérifier que peut être considérée comme une densité.
On considère dorénavant une variable aléatoire , définie sur un espace probabilisé ( ), et admettant comme densité.
2) a) Établir l'existence de l'espérance de , puis donner sa valeur.
b) Établir l'existence de la variance de , puis donner sa valeur.
3) Montrer que la fonction de répartition de , notée , est définie par :
On pose et on admet que est une variable aléatoire à densité, elle aussi définie sur l'espace probabilisé ( ). On note sa fonction de répartition.
4) a) Donner la valeur de lorsque est strictement négatif.
b) Pour tout réel positif ou nul, exprimer à l'aide de la fonction .
c) En déduire qu'une densité de est la fonction définie par :
d) Montrer que possède une espérance et une variance et les déterminer.
5) On considère deux variables aléatoires et , elles aussi définies sur ( ), indépendantes et suivant toutes les deux la loi uniforme sur [ 0,1 ].
On pose , c'est-à-dire que, pour tout de , on a .
On admet que est une variable aléatoire à densité, elle aussi définie sur ( ), et on rappelle que, pour tout réel , on a .
Pour finir, on note la fonction de répartition de .
a) Expliciter pour tout réel .
b) En déduire que suit la même loi que .
6) On considère plus généralement variables aléatoires , toutes définies sur , indépendantes et suivant la loi uniforme sur . On pose . Déterminer la fonction de répartition de et montrer que la suite converge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la loi.
7) Simulation informatique de la loi de .
Compléter la déclaration de fonction suivante pour qu'elle simule la loi de .
Function y: real ;
Var u,v:real;
Begin
    Randomize ;
    u:= _-----; v:= _-----;
    If (u<v) then y:= _----- else y:= _-----;
End ;

Pas de description pour le moment