La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
On suppose, et c'est valable pour toute l'épreuve, que les librairies numpy, numpy. random et numpy.linalg de Python sont importées avec les commandes respectives import numpy as np, import numpy.random as rdet import numpy.linalg as al.
Exercice 1
On considère le graphe suivant et on note la matrice d'adjacence de .
Déterminer la matrice en expliquant sa construction.
a) Par lecture du graphe, donner (en listant leurs sommets) les chaînes de longueur 3 reliant les sommets 2 et 3 . Combien y en a-t-il?
b) On considère la fonction Python suivante :
def f(M,k):
N=al.matrix_power(M,k)
return N
On suppose que l'on a saisi la matrice et on considère les instructions:
B=f (A, .--)
n=B [---]
print(n)
Compléter ces instructions pour qu'elles permettent l'affichage du nombre trouvé à la question 2a).
On note la matrice diagonale, appelée matrice des degrés de , dont l'élément diagonal situé à la ligne et à la colonne est le degré du sommet numéro (ceci étant valable pour tout ).
On définit également la matrice , appelée matrice laplacienne de , en posant .
On note les valeurs propres non nécessairement distinctes de et on suppose .
3) a) Déterminer la matrice .
b) Vérifier que l'on a .
c) Pourquoi la matrice est-elle diagonalisable ?
4) On se propose dans cette question de montrer que les valeurs propres de sont positives ou nulles et que .
Soit et .
a) On identifie une matrice de à un réel. À quel ensemble appartient la quantité ?
b) Exprimer en fonction de et puis montrer que l'on a:
c) On suppose que est un vecteur propre de associé à une certaine valeur propre . Déterminer puis en fonction de et . En déduire que les valeurs propres de sont positives ou nulles.
d) Déterminer et en déduire que .
5) a) À l'aide de la question 3b), montrer l'équivalence :
b) Conclure que et sont des réels strictement positifs.
Exercice 2
Donner un exemple, d'une fonction de dans pour laquelle il existe un réel élément de ]0,1[ tel que, pour tout couple de réels, on ait:
On considère pour toute la suite une fonction vérifiant la condition précédente.
On dit que est -contractante.
2) Montrer que est continue sur .
3) À l'aide de la relation (*), montrer par l'absurde que l'équation admet au plus une solution.
4) On considère la suite définie par la donnée du réel et la relation de récurrence , valable pour tout entier naturel .
a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel , on a :
b) Établir la convergence de la série de terme général , puis en déduire que la suite est convergente. On note sa limite.
c) Conclure que l'équation admet une unique solution.
5) On désigne par et des entiers naturels (avec ).
a) Justifier que l'on a: .
b) En déduire l'inégalité :
c) Établir enfin l'inégalité suivante :
Étude d'un exemple : on considère la fonction définie par:
a) Justifier que est de classe sur puis calculer et , pour tout réel .
b) Déterminer les variations de sur et établir enfin l'inégalité:
c) En déduire que est -contractante.
d) On considère la suite définie par la donnée de et par la relation de récurrence , valable pour tout entier naturel . Montrer que cette suite est convergente. On note toujours sa limite.
e) Compléter la fonction Python ci-dessous afin qu'elle renvoie, pour une valeur donnée de , la valeur de à l'appel de suite (n) :
def suite(n):
u=------
for k in range(1,n+1):
u=------
return u
f) En s'appuyant sur le résultat de la question 5c), établir que est une valeur approchée de à moins de près dès que vérifie .
g) En déduire un programme Python, utilisant la fonction précédente, qui calcule et affiche la valeur approchée de qui en résulte.
Exercice 3
On considère deux réels et ainsi que la matrice .
a) Montrer que si , alors ne possède qu'une seule valeur propre.
b) En déduire par l'absurde que, si , la matrice n'est pas diagonalisable.
On suppose dans cette question que .
a) Quelles sont les valeurs propres de ?
b) Calculer et . Qu'en déduire concernant les vecteurs et ?
c) Montrer que la famille est une base de puis écrire la matrice de passage de la base canonique de à la base .
d) Déterminer une matrice diagonale telle que , puis conclure que est diagonalisable.
On considère deux variables aléatoires, et , indépendantes et suivant la même loi géométrique de paramètre .
a) Établir l'égalité:
b) En déduire explicitement .
4) a) Soit la matrice aléatoire définie par . Déterminer la probabilité pour que ne soit pas diagonalisable.
b) On considère le script Python suivant :
m=int(input('entrez une valeur entière pour m :'))
c=0
for k in range(m):
X=rd.geometric(1/2)
Y=rd.geometric(1/2)
if X==Y:
c=c+1
i=1-c/m
print(i)
Pour de grandes valeurs de l'entier naturel , de quel réel le contenu de la variable i est-il proche?
Problème
Partie 1 : propriété d'une loi de probabilité
On désigne par un réel strictement positif et on considère la fonction définie par :
Montrer que peut être considérée comme une densité.
On considère dans la suite une variable aléatoire de densité et on note sa fonction de répartition.
On dit que suit la loi de Pareto de paramètre .
2) Déterminer, pour tout réel , l'expression de en fonction de et .
3) Soit un réel strictement supérieur à 1 .
a) Déterminer, en distinguant les cas et , la probabilité conditionnelle .
b) En déduire que la loi de , conditionnellement à l'événement , est la loi de .
Partie 2 : réciproque de la propriété précédente
On considère une variable aléatoire de densité nulle sur , strictement positive et continue sur . On pose et on note la fonction de répartition de .
Dans toute la suite, on suppose que, pour tout réel strictement supérieur à 1 , on a:
.
La loi de , conditionnellement à l'événement , est la loi de .
On veut alors montrer que suit la loi de Pareto de paramètre .
4) Justifier que .
5) a) Établir l'égalité :
b) Justifier que est de classe sur et en déduire que :
c) Montrer enfin la relation :
Dans cette question, la lettre désigne une fonction de classe sur [ qui, à tout réel de , associe .
On note ( ) l'équation différentielle et ( ) l'équation différentielle .
Il convient de noter que ces équations différentielles ne sont pas à coefficients constants.
a) Soit la fonction définie par . Montrer que est solution de l'équation différentielle ( ) si, et seulement si, est constante sur .
b) En notant la constante évoquée à la question 6a), donner toutes les solutions de ( ).
c) Trouver une fonction , constante sur , et solution de l'équation différentielle ( ).
d) Montrer l'équivalence : solution de solution de .
e) En déduire que les solutions de l'équation différentielle ( ) sont les fonctions définies par:
a) Montrer finalement que l'on a :
b) Vérifier que cette relation s'étend à puis conclure quant à la loi de .
Partie 3 : simulation d'une variable suivant la loi de Pareto de paramètre c
On pose et on admet que est une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé que . On note sa fonction de répartition.
a) Pour tout réel , exprimer à l'aide de la fonction .
b) En déduire que suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
c) Écrire une fonction Python d'en-tête def simulX (c) et permettant de simuler .
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