BCE Maths appliquees emlyon ECE 2004
Epreuve de maths appliquees - ECE 2004
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsAlgèbre linéaireRéductionProbabilités finies, discrètes et dénombrementCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2004.
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Programme ESC d'E.M.LYON
CONCOURS D'ENTRÉE 2004
MATHEMATIQUES
Lundi 3 mai 2004 de 8 heures à 12 heures
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
PREMIER EXERCICE
On considère l'application
- Dresser le tableau de variation de
sur , comprenant les limites de en et en . - a. Établir, pour tout
et .
b. En déduire :
- On considère la suite réelle
définie par et, pour tout :
a. Établir que
b. Écrire un programme en Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier
4. On considère l'application
b. Écrire un programme en Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier
4. On considère l'application
a. Montrer que
b. Montrer que
c. Quelle est la limite de
d. Étudier le sens de variation de
b. Montrer que
c. Quelle est la limite de
d. Étudier le sens de variation de
DEUXIÈME EXERCICE
On note
On considère, pour toute matrice
Partie I
- Montrer que
est un sous-espace vectoriel de .
On admettra que
2. a. Établir:
b. Montrer que, si
3. a. Établir que, si
b. Un exemple : Soit
2. a. Établir:
b. Montrer que, si
3. a. Établir que, si
b. Un exemple : Soit
Partie II
On considère la matrice
- Calculer les valeurs propres et les sous-espaces propres de
. - En déduire une matrice diagonale
, dont les termes diagonaux sont dans l'ordre croissant, et une matrice inversible , dont les éléments de la première ligne sont égaux à 1 , telles que . - Soit
. On note .
Montrer :
- Montrer que
si et seulement s'il existe trois réels tels que . - En déduire l'expression générale des matrices de
et déterminer une base et la dimension de . - Donner l'expression générale des matrices de
et déterminer une base et la dimension de .
Est-ce que?
TROISIÈME EXERCICE
Une urne contient des boules blanches, des boules rouges et des boules vertes.
- La proportion de boules blanches est
. - La proportion de boules rouges est
. - La proportion de boules vertes est
.
Ainsi, on a :
On effectue des tirages successifs avec remise et on s'arrête au premier changement de couleur. Pour tout entier naturel
On effectue des tirages successifs avec remise et on s'arrête au premier changement de couleur. Pour tout entier naturel
On note
Par exemple, lorsque le résultat des tirages est
Par exemple, lorsque le résultat des tirages est
Partie I
- Préciser les valeurs possibles de
. - Montrer :
. - Montrer que la variable aléatoire
admet une espérance et que :
Partie II
On considère la fonction
- Calculer, pour tout
et . - Montrer qu'il existe un unique point
de en lequel est susceptible de posséder un extremum local et déterminer . - Montrer que
admet en un minimum local.
4.a. Exprimeren fonction de .
b. Que peut-on dire delorsque ?
Partie III
- Montrer que l'intégrale
est convergente et déterminer sa valeur.
On rappelle que
On note
On note
- Vérifier que
est une densité de probabilité.
On note
3. Montrer que
4. On note
a. Déterminer la loi de probabilité de
b. Comparer la loi de probabilité de
3. Montrer que
4. On note
a. Déterminer la loi de probabilité de
b. Comparer la loi de probabilité de
- FIN -
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