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BCE Maths appliquées emlyon ECE 2004Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2004

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Présentation du sujet

Suite récurrente et intégrale à paramètre, sous-espaces stables d'une matrice, et tirages successifs avec extremum d'une fonction de deux variables
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Le sujet comprend trois exercices indépendants. Le premier étudie une fonction exponentielle, une suite récurrente qui diverge vers l'infini, avec un programme Pascal, puis une fonction définie par une intégrale à borne variable. Le deuxième étudie, pour une matrice de taille 3, deux sous-espaces vectoriels liés aux équations AM=M et A²M=AM, en les explicitant après diagonalisation d'une matrice donnée.

  1. 1Premier exercice : suite récurrente et fonction définie par une intégraleÉtudier les variations d'une fonction exponentielle, la divergence d'une suite récurrente associée avec un programme Pascal, puis les propriétés d'une fonction définie par une intégrale à bornes symétriques variables.
  2. 2Deuxième exercice : sous-espaces stables associés à une matriceÉtudier les sous-espaces de matrices vérifiant AM=M et A²M=AM pour une matrice 3x3, puis les déterminer explicitement après diagonalisation d'une matrice donnée.
  3. 3Troisième exercice : tirages avec remise et extremum d'une fonction de deux variablesDéterminer la loi et l'espérance du nombre de tirages jusqu'au premier changement de couleur dans une urne à trois couleurs, étudier l'extremum d'une fonction de deux variables liée à cette espérance, puis comparer cette loi à celle de la partie entière d'une variable aléatoire à densité exponentielle décalée.

Description

Annale de maths appliquées BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2004.

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Programme ESC d'E.M.LYON

CONCOURS D'ENTRÉE 2004

MATHEMATIQUES 1^(ère) épreuve (option économique)

Lundi 3 mai 2004 de 8 heures à 12 heures
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

PREMIER EXERCICE

On considère l'application f : ℝ ⟶ ℝ définie, pour tout t ∈ ℝ, par :
f(t) = (2e^t)/(√(1 + t^2))
  1. Dresser le tableau de variation de f sur ℝ, comprenant les limites de f en − ∞ et en + ∞.
  2. a. Établir, pour tout t ∈ [0; + ∞[ : 2e^t − t − t^2 > 0 et 1 + t ⩾ √(1 + t^2).
    b. En déduire :
∀t ∈ [0; + ∞[, f(t) > t.
  1. On considère la suite réelle (u_n)_(n ⩾ 0) définie par u_0 = 1 et, pour tout n ∈ ℕ :
u_(n + 1) = f(u_n).
a. Établir que u_n tend vers + ∞ lorsque n tend vers + ∞.
b. Écrire un programme en Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier n tel que u_n ⩾ 10^6.
4. On considère l'application G : ℝ → ℝ définie, pour tout x ∈ ℝ, par :
G(x) = ∫_(− x)^x f(t)dt
a. Montrer que G est impaire.
b. Montrer que G est de classe C^1 sur ℝ et calculer G^′(x) pour tout x ∈ ℝ.
c. Quelle est la limite de G(x) lorsque x tend vers + ∞ ?
d. Étudier le sens de variation de G et dresser le tableau de variation de G sur ℝ, comprenant les limites de G en − ∞ et en + ∞.

DEUXIÈME EXERCICE

On note M_3(ℝ) l'espace vectoriel réel des matrices carrées d'ordre trois à éléments réels, I la matrice identité de M_3(ℝ), 0 la matrice nulle de M_3(ℝ).
On considère, pour toute matrice A de M_3(ℝ), les ensembles E_1(A) et E_2(A) suivants :
E_1(A) = {M ∈ M_3(ℝ); AM = M}; E_2(A) = {M ∈ M_3(ℝ); A^2 M = AM}

Partie I

  1. Montrer que E_1(A) est un sous-espace vectoriel de M_3(ℝ).
On admettra que E_2(A) est aussi un sous-espace vectoriel de M_3(ℝ).
2. a. Établir: E_1(A) ⊂ E_2(A).
b. Montrer que, si A est inversible, alors E_1(A) = E_2(A).
3. a. Établir que, si A − I est inversible, alors E_1(A) = {0}.
b. Un exemple : Soit B = (− 1, 1, 0; 0, − 1, 1; 0, 0, 2). Déterminer E_1(B) et E_2(B).

Partie II

On considère la matrice C = (3, − 2, − 1; 1, 0, − 1; 2, − 2, 0).
  1. Calculer les valeurs propres et les sous-espaces propres de C.
  2. En déduire une matrice diagonale D, dont les termes diagonaux sont dans l'ordre croissant, et une matrice inversible P, dont les éléments de la première ligne sont égaux à 1 , telles que C = PDP^(− 1).
  3. Soit M ∈ M_3(ℝ). On note N = P^(− 1)M.
Montrer :
M ∈ E_1(C) ⟺ N ∈ E_1(D).
  1. Montrer que N ∈ E_1(D) si et seulement s'il existe trois réels a, b, c tels que N = (0, 0, 0; a, b, c; 0, 0, 0).
  2. En déduire l'expression générale des matrices de E_1(C) et déterminer une base et la dimension de E_1(C).
  3. Donner l'expression générale des matrices de E_2(C) et déterminer une base et la dimension de E_2(C).
    Est-ce que E_1(C) = E_2(C) ?

TROISIÈME EXERCICE

Une urne contient des boules blanches, des boules rouges et des boules vertes.
  • La proportion de boules blanches est b.
  • La proportion de boules rouges est r.
  • La proportion de boules vertes est v.
Ainsi, on a : 0 < b < 1, 0 < r < 1, 0 < v < 1 avec b + r + v = 1.
On effectue des tirages successifs avec remise et on s'arrête au premier changement de couleur. Pour tout entier naturel i supérieur ou égal à 1 , on note B_i (respectivement R_i; V_i ) l'événement « la i-ème boule tirée est blanche (respectivement rouge ; verte) ».
On note X la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
Par exemple, lorsque le résultat des tirages est V_1, V_2, B_3, la variable aléatoire X prend la valeur 3.

Partie I

  1. Préciser les valeurs possibles de X.
  2. Montrer : ∀k ∈ ℕ − {0, 1}, P(X = k) = (1 − b)b^(k − 1) + (1 − r)r^(k − 1) + (1 − v)v^(k − 1).
  3. Montrer que la variable aléatoire X admet une espérance et que :
E(X) = 1/(1 − b) + 1/(1 − r) + 1/(1 − v) − 2

Partie II

On considère la fonction f de classe C^2 sur ]0; 1[ × ]0; 1[ définie par :
∀(x, y) ∈ ]0; 1[ × ]0; 1[, f(x, y) = 1/(1 − x) + 1/(1 − y) + 1/(x + y)
  1. Calculer, pour tout (x, y) ∈ ]0; 1[ × ]0; 1[, (∂f)/(∂x)(x, y) et (∂f)/(∂y)(x, y).
  2. Montrer qu'il existe un unique point I de ]0; 1[ × ]0; 1[ en lequel f est susceptible de posséder un extremum local et déterminer I.
  3. Montrer que f admet en I un minimum local.
    4.a. Exprimer E(X) en fonction de f(b, r).
    b. Que peut-on dire de E(X) lorsque b = r = v = 1/3 ?

Partie III

  1. Montrer que l'intégrale ∫_2^(+ ∞)1/(3^t) dt est convergente et déterminer sa valeur.
On rappelle que 3^t = e^(tln3).
On note α = ∫_2^(+ ∞)1/(3^t) dt et on considère la fonction g définie sur ℝ par :
{g(t) = 0, si t ∈ ] − ∞; 2[; g(t) = 1/(α3^t), si t ∈ [2; + ∞[
  1. Vérifier que g est une densité de probabilité.
On note Y une variable aléatoire admettant g comme densité.
3. Montrer que Y admet une espérance et calculer cette espérance.
4. On note Z la variable aléatoire égale à la partie entière de Y. On rappelle que la partie entière d'un nombre réel x est le plus grand entier inférieur ou égal à x.
a. Déterminer la loi de probabilité de Z.
b. Comparer la loi de probabilité de X lorsque b = r = v = 1/3 et la loi de probabilité de Z.
  • FIN -

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths appliquées EM Lyon ECE 2004 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de maths appliquées EM Lyon ECE 2004 ?

Il porte sur l'étude de fonctions et suites, la réduction des matrices et les sous-espaces stables, ainsi que sur les probabilités discrètes et les extremums de fonctions de deux variables.

Les trois exercices de ce sujet sont-ils indépendants ?

Oui, le sujet comporte trois exercices indépendants, chacun organisé en parties ou questions qui s'enchaînent en leur sein.

Ce sujet demande-t-il de programmer en Pascal ?

Oui, le premier exercice demande d'écrire un programme en Pascal calculant le plus petit rang à partir duquel une suite dépasse un million.

Le troisième exercice porte-t-il sur les probabilités ?

Oui, il étudie la loi et l'espérance du nombre de tirages avec remise jusqu'au premier changement de couleur dans une urne à trois couleurs, puis la compare à une loi à densité.

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