BCE Maths appliquees emlyon ECE 2005
Epreuve de maths appliquees - ECE 2005
Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Probabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéaireRéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSuites et séries de fonctions
Téléchargements disponibles
LaTeX →
Word →Description
Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2005.
Lecture web du sujet
Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
Concepteur : EM LYON
MATHÉMATIQUES
Lundi 9 mai 2005 de 8 heures à 12 heures
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Exercice 1
On considère les éléments suivants de
On note
Pour toute matrice
Pour toute matrice
- Déterminer la dimension de
. - Calculer
et . - Soit la matrice
.
a. Montrer, pour tout entier naturel:
b. Vérifier que
c. Exprimer, pour tout entier relatif
On considère la matrice
4. Montrer que
4. Montrer que
Est-ce que
5.a. Soit
5.a. Soit
Calculer
Montrer que (
b. Déterminer la matrice associée à
c. Montrer que
Montrer que (
b. Déterminer la matrice associée à
c. Montrer que
Exercice 2
On considère l'application
- Tracer l'allure de la courbe représentative de
. - Montrer que
est une densité de probabilité. - Montrer que, pour tout réel
, l'intégrale converge, et calculer cette intégrale.
On distinguera les cas
4. Déterminer un réel positif
5. Soit
4. Déterminer un réel positif
5. Soit
On considère la fonction
a. Calculer
b. Montrer :
a. Calculer
b. Montrer :
En déduire que
c. On admet que
On note
Ainsi, pour tout
6.a. Vérifier, pour tout
b. Pour tout
7.a. Montrer que l'application
b. Étudier la dérivabilité de
c. Montrer que la droite d'équation
d. Tracer l'allure de la courbe représentative de
8. On considère la suite réelle
a. Montrer :
b. Montrer que la suite
c. En déduire que la suite
d. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier
c. On admet que
On note
Ainsi, pour tout
6.a. Vérifier, pour tout
b. Pour tout
7.a. Montrer que l'application
b. Étudier la dérivabilité de
c. Montrer que la droite d'équation
d. Tracer l'allure de la courbe représentative de
8. On considère la suite réelle
a. Montrer :
b. Montrer que la suite
c. En déduire que la suite
d. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier
Exercice 3
1. Préliminaire :
Soit
- pour tout entier naturel
non nul, est la variable aléatoire égale au nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir le -ième succès ;
est la variable aléatoire égale à et pour tout entier naturel est la variable aléatoire égale au nombre d'épreuves supplémentaires nécessaires pour obtenir le -ième succès après le -ième succès.
Ainsi, pour toutet pour tout .
a. Pour tout entier naturelnon nul, déterminer la loi de et, sans calcul, donner l'espérance et la variance de .
b. Pour tout entier naturel, justifier l'indépendance des variables aléatoires .
c. Pour tout entier naturelnon nul, montrer que l'espérance et la variance de sont définies et montrer : et .
d. Soitun entier naturel non nul. Déterminer la loi de .
Que peut-on dire, sans calcul, de la valeur de
e. En déduire, pour tout
e. En déduire, pour tout
- Deux joueurs
et procèdent chacun à une succession de lancers d'une même pièce. À chaque lancer, la probabilité d'obtenir pile est fixé, , et la probabilité d'obtenir face est .
Le joueurcommence et il s'arrête quand il obtient le premier pile. On note la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués par le joueur .
Le joueureffectue alors autant de lancers que le joueur et on note la variable aléatoire égale au nombre de piles obtenu par le joueur .
a. Rappeler la loi deet, pour tout , donner la loi conditionnelle de sachant .
b. Quelles sont les valeurs prises par?
c. Montrer :
d. Soit
Montrer :
puis, en utilisant 1.e,
Pas de description pour le moment