BCE Maths appliquées emlyon ECE 2005Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2005

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Annale de maths appliquées BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2005.

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Concepteur : EM LYON

è 1^(ère)

épreuve (option économique)

MATHÉMATIQUES

Lundi 9 mai 2005 de 8 heures à 12 heures

Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Exercice 1

On considère les éléments suivants de

M_3(ℝ)

I = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1), J = (0, 1, 0; 0, 0, 1; 0, 0, 0), K = (0, 0, 1; 0, 0, 0; 0, 0, 0)

On note

E

le sous-espace vectoriel de

M_3(ℝ)

engendré par

I, J

K

.
Pour toute matrice

M

E

, on note

M^0 = I

, et si

M

est inversible, on note, pour tout entier naturel

k

M^(- k) = (M^(- 1))^k

, et on rappelle qu'alors

M^k

est inversible et que

(M^k)^(- 1) = M^(- k)

Déterminer la dimension de $E$ .
Calculer $J^2, JK, KJ$ et $K^2$ .
Soit la matrice $L = I + J$ .
a. Montrer, pour tout entier naturel $n$ :

L^n = I + nJ + (n(n - 1))/2K.

b. Vérifier que

L

est inversible et montrer, pour tout entier relatif

n

L^n = I + nJ + (n(n - 1))/2K.

c. Exprimer, pour tout entier relatif

n, L^n

à l'aide de

I, L, L^2

n

On considère la matrice

A = (0, 2, - 1; 1, 0, 1; 2, - 3, 3)

M_3(ℝ)

et on note

f

l'endomorphisme de

ℝ^3

représenté par la matrice

A

dans la base canonique de

ℝ^3

e

l'application identique de

ℝ^3

dans lui-même.
4. Montrer que

f

admet une valeur propre et une seule que l'on déterminera.

Est-ce que

f

est diagonalisable?
5.a. Soit

w = (1, 0, 0)

Calculer

v = (f - e)(w)

u = (f - e)(v)

.
Montrer que (

u, v, w

) est une base de

ℝ^3

.
b. Déterminer la matrice associée à

f

relativement à la base (

u, v, w

).
c. Montrer que

f

est un automorphisme de

ℝ^3

et, pour tout entier relatif

n

, exprimer

f^n

à l'aide de

e, f, f^2

n

Exercice 2

On considère l'application

f : ℝ \to ℝ

définie, pour tout réel

t

, par :

f(t) = {0, si t ⩽ 0; 1/((t + 1)^2), si t > 0

Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$ .
Montrer que $f$ est une densité de probabilité.
Montrer que, pour tout réel $x$ , l'intégrale $\int_(- \infty)^x f(t)dt$ converge, et calculer cette intégrale.

On distinguera les cas

x ⩽ 0

x > 0

.
4. Déterminer un réel positif

α

tel que

\int_0^α f(t)dt = 1/2

.
5. Soit

x \in [0; + \infty[

fixé.

On considère la fonction

φ_x

définie sur

[0; + \infty[par : \forallu \in [0; + \infty[, φ_x(u) = \int_(x - u)^(x + u)f(t)dt

.
a. Calculer

φ_x(0)

lim_(u \to + \infty)φ_x(u)

.
b. Montrer :

\forall(u, v) \in ([0; + \infty[)^2, u < v ⟹ φ_x(v) - φ_x(u) ⩾ \int_(x + u)^(x + v)f(t)dt

En déduire que

φ_x

est strictement croissante sur

[0; + \infty[

.
c. On admet que

φ_x

est continue sur

[0; + \infty[

. Montrer que l'équation

φ_x(u) = 1/2

, d'inconnue

u

, admet une solution et une seule dans

[0; + \infty[

.
On note

U : [0; + \infty[ \to ℝ

l'application qui, à tout réel

x \in [0; + \infty[

, associe

U(x)

l'unique solution de l'équation

φ_x(u) = 0

.
Ainsi, pour tout

x \in [0; + \infty[

, on a :

\int_(x - U(x))^(x + U(x))f(t)dt = 1/2

.
6.a. Vérifier, pour tout

x \in [0; 1/2[ : U(x) = 1 - x

.
b. Pour tout

x \in [1/2; + \infty[

, montrer :

φ_x(x) ⩾ 1/2

, puis :

x - U(x) ⩾ 0

, et en déduire :

U(x) = \sqrt(4 + (x + 1)^2) - 2

.
7.a. Montrer que l'application

U

est continue sur

[0; + \infty[

.
b. Étudier la dérivabilité de

U

sur

[0; + \infty[

.
c. Montrer que la droite d'équation

y = x - 1

est asymptote à la courbe représentative de

U

.
d. Tracer l'allure de la courbe représentative de

U

.
8. On considère la suite réelle

(a_n)_(n \in ℕ)

définie par

{a_0 = 1; ∀n ∈ ℕ, a_(n + 1) = U(a_n).

a. Montrer :

\foralln \in ℕ, a_n ⩾ 1/2

.
b. Montrer que la suite

(a_n)_(n \in ℕ)

est décroissante.
c. En déduire que la suite

(a_n)_(n \in ℕ)

converge et montrer que sa limite est égale à

1/2

.
d. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier

n \in ℕ

tel que :

|a_n - 1/2| ⩽ 10^(- 6)

Exercice 3

1. Préliminaire :

Soit

x \in ]0; 1[

. Dans une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes, de même probabilité d'échec

x

, on définit deux suites de variables aléatoires

(S_n)_(n ⩾ 1)

(T_n)_(n ⩾ 1)

de la façon suivante :

pour tout entier naturel $n$ non nul, $S_n$ est la variable aléatoire égale au nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir le $n$ -ième succès ;
$⋆T_1$ est la variable aléatoire égale à $S_1$ et pour tout entier naturel $n ⩾ 2, T_n$ est la variable aléatoire égale au nombre d'épreuves supplémentaires nécessaires pour obtenir le $n$ -ième succès après le $(n - 1)$ -ième succès.
Ainsi, pour tout $n ⩾ 2, T_n = S_n - S_(n - 1)$ et pour tout $n ⩾ 1, S_n = T_1 + T_2 + \dots + T_n$ .
a. Pour tout entier naturel $n$ non nul, déterminer la loi de $T_n$ et, sans calcul, donner l'espérance et la variance de $T_n$ .
b. Pour tout entier naturel $n ⩾ 2$ , justifier l'indépendance des variables aléatoires $T_1, T_2, \dots, T_n$ .
c. Pour tout entier naturel $n$ non nul, montrer que l'espérance et la variance de $S_n$ sont définies et montrer : $E(S_n) = n/(1 - x)$ et $V(S_n) = (nx)/((1 - x)^2)$ .
d. Soit $n$ un entier naturel non nul. Déterminer la loi de $S_n$ .

Que peut-on dire, sans calcul, de la valeur de

\sum_(k = n)^(+ \infty)P(S_n = k)

?
e. En déduire, pour tout

x \in ]0; 1[

et pour tout entier naturel

n

non nul :

\sum_(k = n)^(+ \infty)((k - 1)/(n - 1))x^k = (x^n)/((1 - x)^n)

Deux joueurs $A$ et $B$ procèdent chacun à une succession de lancers d'une même pièce. À chaque lancer, la probabilité d'obtenir pile est $p(p$ fixé, $p \in ]0; 1[)$ , et la probabilité d'obtenir face est $q = 1 - p$ .
Le joueur $A$ commence et il s'arrête quand il obtient le premier pile. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués par le joueur $A$ .
Le joueur $B$ effectue alors autant de lancers que le joueur $A$ et on note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de piles obtenu par le joueur $B$ .
a. Rappeler la loi de $X$ et, pour tout $k ⩾ 1$ , donner la loi conditionnelle de $Y$ sachant $X = k$ .
b. Quelles sont les valeurs prises par $Y$ ?
c. Montrer :

P(Y = 0) = \sum_(k = 1)^(+ \infty)pq^(2k - 1) = q/(1 + q)

d. Soit

n

un entier naturel non nul.

Montrer :

P(Y = n) = \sum_(k = n)^(+ \infty)(k/n)p^(n + 1)q^(2k - n - 1)

puis, en utilisant 1.e,

P(Y = n) = 1/((1 + q)^2)(q/(1 + q))^(n - 1)

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