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BCE Maths appliquées emlyon ECE 2008Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2008

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Annale de maths appliquées BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2008.

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Concepteur : EM LYON
____ MATE

Première épreuve (option économique)

MATHÉMATIQUES

Mardi 29 avril 2008 de 8 heures à 12 heures
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Tournez S.V.P.

Exercice 1

On admet l'encadrement suivant : 2, 7 < e < 2, 8.

Partie I : Étude d'une fonction

On considère l'application f : [0; + ∞[ ⟶ ℝ définie, pour tout t ∈ [0; + ∞[, par :
f(t) = {tlnt − t, si t ≠ 0; 0, si t = 0
  1. Montrer que f est continue sur [0; + ∞[.
  2. Justifier que f est de classe C^1 sur ]0; + ∞[ et calculer f^′(t) pour tout t ∈ ]0; + ∞[.
  3. Déterminer la limite de f en + ∞.
  4. Dresser le tableau des variations de f.
  5. Montrer que f est convexe sur ]0; + ∞[.
  6. On note Γ la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( O; i⃗, j⃗ ).
    a. Montrer que Γ admet une demi-tangente en O.
    b. Déterminer les points d'intersection de Γ avec l'axe des abscisses.
    c. Préciser la nature de la branche infinie de Γ.
    d. Tracer Γ.

Partie II : Étude d'une fonction définie par une intégrale

On considère l'application G : ]1; + ∞[ ⟶ ℝ définie, pour tout x ∈ ]1; + ∞[, par :
G(x) = 1/2∫_(x − 1)^(x + 1)f(t)dt
  1. Montrer que G est de classe C^2 sur ]1; + ∞[ et que, pour tout x ∈ ]1; + ∞[ :
G^′(x), = 1/2(f(x + 1) − f(x − 1)); et G^(′′)(x), = 1/2(ln(x + 1) − ln(x − 1))
À cet effet, on pourra faire intervenir une primitive F de f sans chercher à calculer F.
2. a. Montrer que G^′ est strictement croissante sur ]1; + ∞[.
b. Vérifier : G^′(2) > 0.
c. Établir que l'équation G^′(x) = 0, d'inconnue x ∈ ]1; + ∞[, admet une solution et une seule, notée α, et que α < 2.

Partie III : Étude d'une fonction de deux variables réelles

On considère l'application Φ : ]1; + ∞[^2 ⟶ ℝ définie, pour tout (x, y) ∈ ]1; + ∞[^2, par :
Φ(x, y) = (y − f(x + 1))^2 + (y − f(x − 1))^2, où l'application f est définie dans la partie I.
  1. Justifier que Φ est de classe C^2 sur ]1; + ∞[^2 et calculer les dérivées partielles premières de Φ en tout (x, y) de ]1; + ∞[^2.
  2. Vérifier que ( α, f(α + 1)) est un point critique de Φ, où α est défini en II 2.c.
  3. Est-ce que Φ admet un extrémum local en (α, f(α + 1)) ?

Exercice 2

On considère les matrices carrées d'ordre trois suivantes :
A = (1, 1, 1; 0, 0, − 1; − 2, − 2, − 1), B = (2, 1, 1; − 3, − 2, − 1; 1, 1, 0), D = (0, 0, 0; 0, − 1, 0; 0, 0, 1).

Partie I : Réduction simultanée de A et B

  1. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de A.
  2. En déduire une matrice carrée P d'ordre trois, inversible, de deuxième ligne ( − 1 1 1 ), telle que A = PDP^(− 1), et calculer P^(− 1).
  3. Calculer la matrice C = P^(− 1)BP et vérifier que C est diagonale.

Partie II : Étude d'un endomorphisme d'un espace de matrices

On note E l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre trois, et on considère l'application f : E ⟶ E qui, à toute matrice M carrée d'ordre trois, associe f(M) = AM − MB.
  1. Donner la dimension de E.
  2. Vérifier que f est un endomorphisme de E.
  3. Soit M ∈ E. On note N = P^(− 1)MP, où P est définie en I.2.
    a. Montrer : M ∈ Ker(f) ⟺ DN = NC.
    b. Déterminer les matrices N carrées d'ordre trois telles que : DN = NC.
    c. Montrer que l'ensemble des matrices N carrées d'ordre trois telles que DN = NC est un espace vectoriel, et en déterminer une base et la dimension.
  4. a. En déduire la dimension de Ker(f), puis la dimension de Im(f).
    b. Donner au moins un élément non nul de Ker(f) et donner au moins un élément non nul de Im(f).

Exercice 3

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I: Étude d'une variable aléatoire

  1. Soit h la fonction définie sur l'intervalle [0; 1] par :
∀x ∈ [0; 1], h(x) = x/(2 − x)
a. Montrer que h est une bijection de [0; 1] sur [0; 1] et, pour tout y ∈ [0; 1], exprimer h^(− 1)(y).
b. Déterminer deux réels α et β vérifiant : ∀x ∈ [0; 1], h(x) = α + β/(2 − x).
c. Calculer ∫_0^1 h(x)dx.
2. Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [0; 1].
a. Donner l'espérance et la variance de la variable aléatoire X.
b. Pour tout réel y de [0; 1], déterminer la probabilité de l'événement (X/(2 − X) ⩽ y).
c. Montrer que la variable aléatoire Y = X/(2 − X) admet une densité et déterminer une densité g de Y.
d. Montrer que Y admet une espérance E(Y) et déterminer E(Y).

Partie II : Étude d'un temps d'attente

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 . Une réunion est prévue entre n invités que l'on note I_1, I_2, …, I_n. Chaque invité arrivera entre l'instant 0 et l'instant 1.
Pour tout entier k tel que 1 ⩽ k ⩽ n, on modélise l'instant d'arrivée de l'invité I_k par une variable aléatoire T_k de loi uniforme sur l'intervalle [0; 1]. On suppose de plus que, pour tout réel t, les n événements (T_1 ⩽ t), (T_2 ⩽ t), …, (T_n ⩽ t) sont indépendants.
  1. Soit un réel t appartenant à [0; 1]. Pour tout entier k tel que 1 ⩽ k ⩽ n, on note B_k la variable aléatoire de Bernoulli prenant la valeur 1 si l'événement (T_k ⩽ t) est réalisé et la valeur 0 sinon.
    On note S_t = B_1 + B_2 + ⋯ + B_n.
    a. Que modélise la variable aléatoire S_t ?
    b. Déterminer la loi de la variable aléatoire S_t.
  2. Soit R_1 la variable aléatoire égale à l'instant de la première arrivée.
    a. Soit un réel t appartenant à [0; 1]. Comparer l'événement ( R_1 > t ) et l'événement ( S_t = 0 ).
    b. Montrer que la variable aléatoire R_1 admet une densité et en déterminer une.
  3. Soit R_2 la variable aléatoire égale à l'instant de la deuxième arrivée.
Montrer que la variable aléatoire R_2 admet une densité et en déterminer une.

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