BCE Maths appliquees emlyon ECE 2008
Epreuve de maths appliquees - ECE 2008
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités continues
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Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2008.
Lecture web du sujet
Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
Concepteur : EM LYON
Première épreuve (option économique)
MATHÉMATIQUES
Mardi 29 avril 2008 de 8 heures à 12 heures
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Tournez S.V.P.
Exercice 1
On admet l'encadrement suivant :
Partie I : Étude d'une fonction
On considère l'application
- Montrer que
est continue sur . - Justifier que
est de classe sur et calculer pour tout . - Déterminer la limite de
en . - Dresser le tableau des variations de
. - Montrer que
est convexe sur . - On note
la courbe représentative de dans un repère orthonormal ( ).
a. Montrer queadmet une demi-tangente en .
b. Déterminer les points d'intersection deavec l'axe des abscisses.
c. Préciser la nature de la branche infinie de.
d. Tracer.
Partie II : Étude d'une fonction définie par une intégrale
On considère l'application
- Montrer que
est de classe sur et que, pour tout :
À cet effet, on pourra faire intervenir une primitive
2. a. Montrer que
b. Vérifier :
c. Établir que l'équation
2. a. Montrer que
b. Vérifier :
c. Établir que l'équation
Partie III : Étude d'une fonction de deux variables réelles
On considère l'application
- Justifier que
est de classe sur et calculer les dérivées partielles premières de en tout de . - Vérifier que (
est un point critique de , où est défini en II 2.c. - Est-ce que
admet un extrémum local en ?
Exercice 2
On considère les matrices carrées d'ordre trois suivantes :
Partie I : Réduction simultanée de
- Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de
. - En déduire une matrice carrée
d'ordre trois, inversible, de deuxième ligne ( ), telle que , et calculer . - Calculer la matrice
et vérifier que est diagonale.
Partie II : Étude d'un endomorphisme d'un espace de matrices
On note
- Donner la dimension de
. - Vérifier que
est un endomorphisme de . - Soit
. On note , où est définie en .
a. Montrer :.
b. Déterminer les matricescarrées d'ordre trois telles que : .
c. Montrer que l'ensemble des matricescarrées d'ordre trois telles que est un espace vectoriel, et en déterminer une base et la dimension. - a. En déduire la dimension de
, puis la dimension de .
b. Donner au moins un élément non nul deet donner au moins un élément non nul de .
Exercice 3
Les parties I et II sont indépendantes.
Partie I: Étude d'une variable aléatoire
- Soit
la fonction définie sur l'intervalle par :
a. Montrer que
b. Déterminer deux réels
c. Calculer
2. Soit
a. Donner l'espérance et la variance de la variable aléatoire
b. Pour tout réel
c. Montrer que la variable aléatoire
d. Montrer que
b. Déterminer deux réels
c. Calculer
2. Soit
a. Donner l'espérance et la variance de la variable aléatoire
b. Pour tout réel
c. Montrer que la variable aléatoire
d. Montrer que
Partie II : Étude d'un temps d'attente
Soit
Pour tout entier
- Soit un réel
appartenant à . Pour tout entier tel que , on note la variable aléatoire de Bernoulli prenant la valeur 1 si l'événement est réalisé et la valeur 0 sinon.
On note.
a. Que modélise la variable aléatoire?
b. Déterminer la loi de la variable aléatoire. - Soit
la variable aléatoire égale à l'instant de la première arrivée.
a. Soit un réelappartenant à . Comparer l'événement ( ) et l'événement ( ).
b. Montrer que la variable aléatoireadmet une densité et en déterminer une. - Soit
la variable aléatoire égale à l'instant de la deuxième arrivée.
Montrer que la variable aléatoire
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