BCE Maths appliquees emlyon ECE 2013
Epreuve de maths appliquees - ECE 2013
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesProbabilités finies, discrètes et dénombrementCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesAlgèbre linéaireRéduction
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Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2013.
Lecture web du sujet
Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
Concepteur : EMLYON Business School
MATHÉMATIQUES
Lundi 29 avril 2013 de 8 heures à 12 heures
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
lls ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
lls ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Exercice 1
Partie I - Calcul d'une intégrale dépendant d'un paramètre
On considère l'application
- Montrer que
est continue sur . - À l'aide d'une intégration par parties, calculer, pour tout
, l'intégrale . - En déduire que l'intégrale
converge et que :
Partie II - Exemple de densité
On considère l'application
- Montrer que
est continue sur et sur .
Est-ce que
2. Établir que l'intégrale
3. Montrer que
4. a. Montrer que
b. En déduire que l'équation
c. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche une valeur approchée de
2. Établir que l'intégrale
3. Montrer que
4. a. Montrer que
b. En déduire que l'équation
c. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche une valeur approchée de
Partie III - Calcul d'une fonction de répartition
On admet qu'il existe une variable aléatoire réelle
- Calculer, pour tout
, l'intégrale .
(On pourra utiliser le résultat obtenu à la question I.2.) - Calculer
pour tout . - Tracer l'allure de la courbe représentative de
.
Partie IV - Étude d'extremum local pour une fonction de deux variables réelles
On note
On considère l'application
On considère l'application
l'application
- Représenter l'ensemble
. - Calculer, pour tout
, les dérivées partielles premières de en , en fonction de . - Soit
. Montrer que est un point critique de si et seulement si :
- En déduire que
admet un point critique et un seul, et qu'il s'agit de , le réel ayant été défini en II 4.b. - Est-ce que
admet un extremum local ?
Exercice 2
On note
- Est-ce que
est diagonalisable dans ? - Déterminer les valeurs propres de
et, pour chaque valeur propre de , déterminer une base du sous-espace propre associé. - En déduire une matrice diagonale
, à coefficients diagonaux rangés dans l'ordre croissant, et une matrice inversible , à coefficients diagonaux tous égaux à 1 , telles que , et calculer .
On appelle commutant de
On appelle commutant de
- Montrer que
est un sous-espace vectoriel de . - Soit
. On note . Montrer :
- Déterminer
, en utilisant les coefficients des matrices. - En déduire :
- Déterminer une base de
et la dimension de .
Exercice 3
Soit
On considère une urne
On considère une urne
Partie I
Soit
- Soit
. Donner la loi de . Rappeler l'espérance et la variance de . - Les variables aléatoires
sont-elles indépendantes? - Soit
tel que .
a. Déterminer la loi de la variable aléatoire. Rappeler la variance de .
b. En déduire la covariance du couple ().
Pour tout entier
Partie II
- Déterminer la loi de la variable aléatoire
et la loi de la variable aléatoire .
En déduire
2. Soit
a. Déterminer
b. Montrer, pour tout
c. En déduire :
3. a. Montrer que la suite
b. En déduire, pour tout entier
2. Soit
a. Déterminer
b. Montrer, pour tout
c. En déduire :
3. a. Montrer que la suite
b. En déduire, pour tout entier
Partie III
On suppose maintenant que
- Rappeler la valeur de
. Déterminer . - Montrer:
. - On note, pour tout
de l'événement :
« la boule numéron'a pas été obtenue au cours des premiers tirages ».
a. Montrer :.
b. Calculeret .
c. En déduire:, puis et .
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