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BCE Maths appliquées emlyon ECE 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

Epreuve de maths appliquées - ECE 2013

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Annale de maths appliquées BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2013.

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Concepteur : EMLYON Business School

1^(ère) épreuve (option économique)

MATHÉMATIQUES

Lundi 29 avril 2013 de 8 heures à 12 heures
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
lls ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

Partie I - Calcul d'une intégrale dépendant d'un paramètre

On considère l'application g : [0; 1] ⟶ ℝ définie, pour tout t ∈ [0; 1], par :
g(t) = {− tlnt, si 0 < t ⩽ 1; 0, si t = 0.
  1. Montrer que g est continue sur [0; 1].
  2. À l'aide d'une intégration par parties, calculer, pour tout x ∈ ]0; 1[, l'intégrale ∫_x^1 g(t)dt.
  3. En déduire que l'intégrale ∫_0^1 g(t)dt converge et que :
∫_0^1 g(t)dt = 1/4

Partie II - Exemple de densité

On considère l'application f : ℝ ⟶ ℝ définie, pour tout t ∈ ℝ par :
f(t) = {− tlnt + t^(1/3), si 0 < t < 1; 0, sinon .
  1. Montrer que f est continue sur ] − ∞; 1[ et sur ]1; + ∞[.
Est-ce que f est continue en 1 ?
2. Établir que l'intégrale ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(t)dt converge et que : ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(t)dt = 1.
3. Montrer que f est une densité.
4. a. Montrer que f est de classe C^2 sur ]0; 1[ et calculer f^′(t) et f^(′′)(t) pour tout t ∈ ]0; 1[.
b. En déduire que l'équation f^′(t) = 0, d'inconnue t ∈ ]0; 1[, admet une solution et une seule, notée α, et montrer : 1/e < α < 1.
c. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche une valeur approchée de α à 10^(− 3) près, mettant en oeuvre l'algorithme de dichotomie.

Partie III - Calcul d'une fonction de répartition

On admet qu'il existe une variable aléatoire réelle X ayant f pour densité (l'application f a été définie au début de la partie II) et on note F la fonction de répartition de X.
  1. Calculer, pour tout x ∈ ]0; 1[, l'intégrale ∫_x^1 f(t)dt.
    (On pourra utiliser le résultat obtenu à la question I.2.)
  2. Calculer F(x) pour tout x ∈ ℝ.
  3. Tracer l'allure de la courbe représentative de F.

Partie IV - Étude d'extremum local pour une fonction de deux variables réelles

On note D l'ensemble des couples ( x, y ) appartenant à ]0; + ∞[^2 tels que : x + y < 1 et 2x < 1.
On considère l'application G : D ⟶ ℝ, de classe C^2 sur l'ouvert D, définie, pour tout (x, y) ∈ D, par :
G(x, y) = f(x + y) − 1/2f(2x)
l'application f ayant été définie au début de la partie II.
  1. Représenter l'ensemble D.
  2. Calculer, pour tout (x, y) ∈ D, les dérivées partielles premières de G en (x, y), en fonction de x, y, f^′.
  3. Soit (x, y) ∈ D. Montrer que (x, y) est un point critique de G si et seulement si :
f^′(2x) = 0 et f^′(x + y) = 0
  1. En déduire que G admet un point critique et un seul, et qu'il s'agit de (α/2, α/2), le réel α ayant été défini en II 4.b.
  2. Est-ce que G admet un extremum local ?

Exercice 2

On note A = (0, 0, 0, 2; 0, 0, 1, 0; 0, 1, 0, 0; 2, 0, 0, 0) ∈ M_4(ℝ).
  1. Est-ce que A est diagonalisable dans M_4(ℝ) ?
  2. Déterminer les valeurs propres de A et, pour chaque valeur propre de A, déterminer une base du sous-espace propre associé.
  3. En déduire une matrice diagonale D ∈ M_4(ℝ), à coefficients diagonaux rangés dans l'ordre croissant, et une matrice inversible P ∈ M_4(ℝ), à coefficients diagonaux tous égaux à 1 , telles que A = PDP^(− 1), et calculer P^(− 1).
On appelle commutant de A, et on note C_A, l'ensemble des matrices M de M_4(ℝ) telles que
AM = MA
On appelle commutant de D, et on note C_D, l'ensemble des matrices N de M_4(ℝ) telles que
DN = ND.
  1. Montrer que C_A est un sous-espace vectoriel de M_4(ℝ).
  2. Soit M ∈ M_4(ℝ). On note N = P^(− 1)MP. Montrer :
M ∈ C_A ⟺ N ∈ C_D.
  1. Déterminer C_D, en utilisant les coefficients des matrices.
  2. En déduire :
C_A = {(a, 0, 0, b; 0, c, d, 0; 0, d, c, 0; b, 0, 0, a); (a, b, c, d) ∈ ℝ^4}}}{{
  1. Déterminer une base de C_A et la dimension de C_A.

Exercice 3

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 .
On considère une urne U contenant n boules numérotées de 1 à n et indiscernables au toucher. On effectue une suite de tirages d'une boule avec remise de la boule dans l'urne U.

Partie I

Soit k un entier supérieur ou égal à 1 . Pour tout i ∈ [ [1; n] ], on note X_i la variable aléatoire égale au nombre d'obtentions de la boule numéro i au cours des k premiers tirages.
  1. Soit i ∈ [ [1; n] ]. Donner la loi de X_i. Rappeler l'espérance et la variance de X_i.
  2. Les variables aléatoires X_1, X_2, …, X_n sont-elles indépendantes?
  3. Soit (i, j) ∈ [ [1; n] ]^2 tel que i ≠ j.
    a. Déterminer la loi de la variable aléatoire X_i + X_j. Rappeler la variance de X_i + X_j.
    b. En déduire la covariance du couple ( X_i, X_j ).
Pour tout entier k supérieur ou égal à 1 , on note Z_k la variable aléatoire égale au nombre de numéros distincts obtenus au cours des k premiers tirages et on note E(Z_k) l'espérance de Z_k.

Partie II

  1. Déterminer la loi de la variable aléatoire Z_1 et la loi de la variable aléatoire Z_2.
En déduire E(Z_1) et E(Z_2).
2. Soit k un entier supérieur ou égal à 1 .
a. Déterminer P(Z_k = 1) et déterminer P(Z_k = k).
b. Montrer, pour tout ℓ ∈ [ [1; n] ] : P(Z_(k + 1) = ℓ) = ℓ/nP(Z_k = ℓ) + (n − ℓ + 1)/nP(Z_k = ℓ − 1).
c. En déduire : E(Z_(k + 1)) = (n − 1)/nE(Z_k) + 1.
3. a. Montrer que la suite (v_k)_(k ⩾ 1), de terme général v_k = E(Z_k) − n, est une suite géométrique.
b. En déduire, pour tout entier k supérieur ou égal à 1 : E(Z_k) = n(1 − ((n − 1)/n)^k).

Partie III

On suppose maintenant que n = 4; ainsi l'urne U contient quatre boules numérotées de 1 à 4 . Soit k un entier supérieur ou égal à 4 . On se propose de déterminer la loi de Z_k.
  1. Rappeler la valeur de P(Z_k = 1). Déterminer P(Z_k ⩾ 5).
  2. Montrer: P(Z_k = 2) = 6(2^k − 2)/(4^k).
  3. On note, pour tout i de [ [1; 4] ], A_i l'événement :
    « la boule numéro i n'a pas été obtenue au cours des k premiers tirages ».
    a. Montrer : P(Z_k ⩽ 3) = 4P(A_1) − 6P(A_1 ∩ A_2) + 4P(A_1 ∩ A_2 ∩ A_3).
    b. Calculer P(A_1), P(A_1 ∩ A_2) et P(A_1 ∩ A_2 ∩ A_3).
    c. En déduire: P(Z_k ⩽ 3), puis P(Z_k = 3) et P(Z_k = 4).

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