BCE Maths appliquees ESC ECE 2000
Epreuve de maths appliquees - ECE 2000
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsAlgèbre linéaireRéductionProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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Annale de maths appliquees BCE ESC pour la filiere ECE, session 2000.
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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
EPREUVES ESC
CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION ECONOMIQUE
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ;
L'usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'épreuve est composée de trois exercices indépendants.
N.B. Il est demandé au candidat d'indiquer, impérativement, son numéro d'inscription sur les copies.
L'usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'épreuve est composée de trois exercices indépendants.
N.B. Il est demandé au candidat d'indiquer, impérativement, son numéro d'inscription sur les copies.
Exercice 1
- Soit f la fonction définie sur R par
.
On désigne par
(a) Etudier les variations de
(b) Calculer une équation de la tangente
(c) Etudier la position relative de
(d) Construire
2. On considère la suite
(a) Soit
(b) En déduire par récurrence que pour tout
(c) Calculer
(d) Vérifier que :
(e) En déduire, par récurrence et à l'aide du 2.(b) que pour tout
(f) Justifier l'inégalité pour tout entier
(g) En déduire que : pour
(h) A l'aide des résultats, précédents, calculer
(a) Etudier les variations de
(b) Calculer une équation de la tangente
(c) Etudier la position relative de
(d) Construire
2. On considère la suite
(a) Soit
(b) En déduire par récurrence que pour tout
(c) Calculer
(d) Vérifier que :
(e) En déduire, par récurrence et à l'aide du 2.(b) que pour tout
(f) Justifier l'inégalité pour tout entier
(g) En déduire que : pour
(h) A l'aide des résultats, précédents, calculer
Exercice 2
Partie A
Soit la matrice
On considère l'ensemble
On considère l'ensemble
- (a) Calculer
et .
(b) Etablir queet sont linéairement indépendantes.
(c) Justifier queest un sous-espace vectoriel de . En donner une base et la dimension. - (a) Calculer les valeurs propres de
.
(b) La matriceest-elle diagonalisable ?
Partie B
Soient
On considère l'endomorphisme g de
On considère l'endomorphisme g de
- (a) Ecrire la matrice de
dans la base .
(b) En déduire que :. - Déterminer par leur matrice dans la base B , quand ils existent, les endomorphismes g de
tels que :
Exercice 3
On dispose d'une urne contenant une boule blanche et une boule noire ainsi que d'une pièce non truquée. On considère l'expérience
- on jette une fois la pièce
- si l'on obtient pile, on tire avec remise une boule de l'urne
- si l'on obtient face, on tire sans remise une boule de l'urne.
- On répète deux fois
. Soit la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
(a) Donner les valeurs de.
(b) Définir l'événement (), en déduire et donner .
(c) Calculer l'espérance et la variance de. - On répète
et on s'arrête dès que l'urne est vide ou dès que l'on a effectué trois fois. Soient la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de effectuées et la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
(a) Calculer. En déduire la loi de Y .
(b) Montrer que. Déterminer la loi du couple ( ).
(c) Calculer la covariance de ce couple. - On répète
jusqu'à ce que l'on obtienne la première boule blanche.
Soit T la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de E ainsi effectuées.
(a) Quel est l'ensemble des valeurs de T ?
(b) Calculer
(c) Soit n un entier. Calculer pour
En déduire que pour
(d) Calculer l'espérance de T .
(a) Quel est l'ensemble des valeurs de T ?
(b) Calculer
(c) Soit n un entier. Calculer pour
En déduire que pour
(d) Calculer l'espérance de T .
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