WikiPrépaLivrets

BCE Maths appliquées ESC ECE 2001Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2001

Pas encore noté
Logo concours BCE

Explorer les annales

BanqueBCEAnnée2001FilièreECEMatièreMathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2001ECE MathématiquesMathématiques 2001

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Lire en ligneLaTeXWord
  • Rapport du jury : non disponible
Source du document : annales-prepa.fr

Description

Annale de maths appliquées BCE ESC pour la filiere ECE, session 2001.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

EPREUVES ESC CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

MATHEMATIQUES OPTION ECONOMIQUE

MERCREDI 16 MAI 2001, de 8 h à 12 h
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document;
"L'usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve".
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'épreuve est composée de trois exercices indépendants.
N.B. Il est demandé au candidat d'indiquer, impérativement, son numéro d'inscription sur les copies.

EXERCICE 1

On considère la fonction f définie sur [0; 1] par f(x) = 2xe^x.
  1. Montrer que f réalise une bijection de [0; 1] sur un ensemble que l'on déterminera.
On note f^(− 1) la bijection réciproque de f. Donner les tableaux des variations de f et de f^(− 1).
2. Vérifier qu'il existe dans [0; 1] un et un seul réel noté α tel que αe^α = 1.
Montrer que α ≠ 0.
On définit la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) par :
{u_0 = α; ∀n ∈ ℕ, u_(n + 1) = f^(− 1)(u_n)
  1. Montrer que pour tout entier naturel n, u_n existe et u_n ∈ ]0; 1].
  2. (a) Montrer que pour tout réel x de [0; 1], f(x) − x ≥ 0. Vérifier que l'égalité ne se produit que pour x = 0.
    (b) En déduire que la suite (u_n)_(n ∈ IN) est strictement décroissante.
    (c) Montrer que la suite (u_n)_(n ∈ IN) est convergente et qu'elle a pour limite 0 .
  3. On se propose de préciser ce résultat en déterminant un équivalent de u_n.
On pose pour tout entier naturel n : S_n = ∑_(k = 0)^n u_k
(a) Montrer que pour tout entier naturel n : u_(n + 1) = 1/2u_n e^(− u_(n + 1))
(b) En déduire par récurrence que pour tout entier naturel n : u_n = (e^(− S_n))/(2^n)
(c) Montrer que u_n ≤ (1/2)^n, et en déduire que la série de terme général u_n est convergente. On note L sa somme. Montrer que α ≤ L ≤ 2.
(d) Montrer finalement que u_(n + ∞) ∼ (e^(− L))/(2^n).

EXERCICE 2

On donne les matrices carrées d'ordre 3 suivantes :
A = (5, 5, − 14; 6, 6, − 16; 5, 5, − 14) B = (8, 4, − 16; 0, 4, − 8; 4, 4, − 12) P = (1, 1, 1; 2, − 1, 1; 1, 0, 1)
Ainsi que les matrices colonne :
V_1 = (1; 2; 1) V_2 = (1; − 1; 0) V_3 = (1; 1; 1)
  1. Vérifier que V_1, V_2 et V_3 sont des vecteurs propres de A.
A quelles valeurs propres sont-ils associés?
2. (a) Montrer que P est inversible et calculer P^(− 1).
(b) Justifier la relation P^(− 1)AP = (1, 0, 0; 0, 0, 0; 0, 0, − 4)
On note D cette matrice diagonale.
(c) Calculer la matrice Δ = P^(− 1)BP et vérifier qu'elle est diagonale.
3. On se propose de calculer les matrices colonne X_n définies par les relations:
X_0 = (1; 0; 1), X_1 = (0; − 1; 1) et ∀n ∈ ℕ, X_(n + 2) = AX_(n + 1) + BX_n
A cet effet, on définit pour tout n ∈ ℕ : Y_n = P^(− 1)X_n et on pose également Y_n = (u_n; v_n; w_n)
(a) Montrer que Y_0 = (− 1; 0; 2) et Y_1 = (− 3; − 1; 4)
(b) Montrer que pour tout entier naturel n, Y_(n + 2) = DY_(n + 1) + ΔY_n.
(c) Montrer alors que pour tout entier naturel n :
{u_(n + 2) = u_(n + 1); v_(n + 2) = 4v_n; w_(n + 2) = − 4w_(n + 1) − 4w_n
En déduire les expressions explicites de u_n, v_n et w_n en fonction de n.
(d) Donner finalement la matrice X_n en fonction de n.

EXERCICE 3

  1. On pose pour tout entier naturel n non nul l'intégrale : I_n = ∫_1^(+ ∞)(lnt)/(t^n)dt
    (a) Calculer pour A ≥ 1 l'intégrale ∫_1^A(lnt)/tdt et en déduire que I_1 est divergente.
    (b) Montrer grâce à une intégration par parties que pour tout entier n ≥ 2, lintégrale I_n converge et vaut 1/((n − 1)^2).
    (c) Etudier les variations de la fonction f définie sur [2; + ∞[ par f(t) = (lnt)/(t^2) et donner sa limite en + ∞. ( On donne √e ≈ 1, 65 )
    (d) En déduire grâce à I_2 que ∑_(k = 2)^(+ ∞)(lnk)/(k^2) converge ( On ne cherchera pas à calculer cette série).
  2. On considère la fonction g définie sur ℝ par : {g(t) = 0 si t < 1; g(t) = (4lnt)/(t^3) si t ≥ 1
    (a) Montrer que g est continue sur ℝ et constitue une densité de probabilité. (On utilisera les résultats de la question 1.(b).)
    On nomme dans toute la suite X une variable aléatoire admettant la densité g.
    (b) Etudier l'existence et la valeur éventuelles de l'espérance E(X).
    (c) La variable X admet-elle une variance?
  3. Etude d'une variable discrète définie à partir de X.
    (a) On considère la fonction G définie sur ℝ par {G(t) = 0 si t < 1; G(t) = 1 − (2lnt)/(t^2) − 1/(t^2) si t ≥ 1
Montrer que G est dérivable sur ℝ puis justifier que G est la fonction de répartition de la variable aléatoire X.
On note Z la variable aléatoire discrète définie par :
Z(Ω) = ℕ et Z = [X], partie entière de X
On rappelle que si x ∈ ℝ^+et k ∈ ℕ, [x] = k ⇔ k ≤ x < k + 1.
(b) Montrer que pour tout entier naturel k, P(Z = k) = G(k + 1) − G(k).
(c) En déduire par récurrence sur l'entier naturel n que :
∑_(k = 0)^n kP(Z = k) = − (n + 1)[1 − G(n + 1)] + ∑_(k = 0)^n(1 − G(k + 1))
(d) Montrer que (1 − G(k)) est équivalent en + ∞ à (2lnk)/(k^2)
(e) Déduire de l'ensemble des résultats obtenus que Z admet une espérance.

Pas de description pour le moment