BCE Maths appliquees ESC ECE 2001
Epreuve de maths appliquees - ECE 2001
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsRéductionIntégrales généraliséesProbabilités continuesStatistiques
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Annale de maths appliquees BCE ESC pour la filiere ECE, session 2001.
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EPREUVES ESC CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES OPTION ECONOMIQUE
MERCREDI 16 MAI 2001, de 8 h à 12 h
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document;
"L'usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve".
"L'usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve".
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'épreuve est composée de trois exercices indépendants.
N.B. Il est demandé au candidat d'indiquer, impérativement, son numéro d'inscription sur les copies.
N.B. Il est demandé au candidat d'indiquer, impérativement, son numéro d'inscription sur les copies.
EXERCICE 1
On considère la fonction
- Montrer que
réalise une bijection de sur un ensemble que l'on déterminera.
On note
2. Vérifier qu'il existe dans
2. Vérifier qu'il existe dans
Montrer que
On définit la suite
On définit la suite
- Montrer que pour tout entier naturel
existe et . - (a) Montrer que pour tout réel
de . Vérifier que l'égalité ne se produit que pour .
(b) En déduire que la suiteest strictement décroissante.
(c) Montrer que la suiteest convergente et qu'elle a pour limite 0 . - On se propose de préciser ce résultat en déterminant un équivalent de
.
On pose pour tout entier naturel
(a) Montrer que pour tout entier naturel
(b) En déduire par récurrence que pour tout entier naturel
(c) Montrer que
(d) Montrer finalement que
(a) Montrer que pour tout entier naturel
(b) En déduire par récurrence que pour tout entier naturel
(c) Montrer que
(d) Montrer finalement que
EXERCICE 2
On donne les matrices carrées d'ordre 3 suivantes :
Ainsi que les matrices colonne :
- Vérifier que
et sont des vecteurs propres de .
A quelles valeurs propres sont-ils associés?
2. (a) Montrer que
(b) Justifier la relation
2. (a) Montrer que
(b) Justifier la relation
On note
(c) Calculer la matrice
3. On se propose de calculer les matrices colonne
(c) Calculer la matrice
3. On se propose de calculer les matrices colonne
A cet effet, on définit pour tout
(a) Montrer que
(b) Montrer que pour tout entier naturel
(c) Montrer alors que pour tout entier naturel
(a) Montrer que
(b) Montrer que pour tout entier naturel
(c) Montrer alors que pour tout entier naturel
En déduire les expressions explicites de
(d) Donner finalement la matrice
(d) Donner finalement la matrice
EXERCICE 3
- On pose pour tout entier naturel
non nul l'intégrale :
(a) Calculer pourl'intégrale et en déduire que est divergente.
(b) Montrer grâce à une intégration par parties que pour tout entier, lintégrale converge et vaut .
(c) Etudier les variations de la fonctiondéfinie sur par et donner sa limite en . ( On donne )
(d) En déduire grâce àque converge ( On ne cherchera pas à calculer cette série). - On considère la fonction
définie sur par :
(a) Montrer queest continue sur et constitue une densité de probabilité. (On utilisera les résultats de la question 1.(b).)
On nomme dans toute la suiteune variable aléatoire admettant la densité .
(b) Etudier l'existence et la valeur éventuelles de l'espérance.
(c) La variableadmet-elle une variance? - Etude d'une variable discrète définie à partir de
.
(a) On considère la fonctiondéfinie sur par
Montrer que
On note
On note
On rappelle que si
(b) Montrer que pour tout entier naturel
(c) En déduire par récurrence sur l'entier naturel
(b) Montrer que pour tout entier naturel
(c) En déduire par récurrence sur l'entier naturel
(d) Montrer que
(e) Déduire de l'ensemble des résultats obtenus que
(e) Déduire de l'ensemble des résultats obtenus que
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