BCE Maths appliquées ESC ECE 2008Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2008

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Annale de maths appliquées BCE ESC pour la filiere ECE, session 2008.

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Concepteur Epreuves ESC : ESC CHAMBERY

Code sujetOPTION ECONOMIQUE293ESC $____$ MATE

MATHEMATIQUES

Mercredi 14 mai 2008, de 14 h. à 18 h.
N.B.

Il n'est fait usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE 1

On note

ℬ𝒞

la base canonique de

ℝ^3

et on définit les matrices:

I = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1), N = (0, 1, 0; 0, 0, 1; 0, 0, 0), P_y = (0, 2, 1; 4, 0, y; 4, 2, 0), A = (3, 1, - 1; 1, 1, 1; 2, 0, 2).

On note

f

l'endomorphisme de

ℝ^3

de matrice

A

dans la base canonique

𝔅ℭ

.
On note id l'endomorphisme de

ℝ^3

de matrice

I

dans la base canonique

ℬ𝒞

(a) Calculer $(A - 2I)^2$ puis vérifier que $(A - 2I)^3 = O_3$ (matrice nulle de $M_3(ℝ)$ ).
(b) En déduire que le réel 2 est l'unique valeur propre de $A$ et déterminer une base et la dimension du sous-espace propre de $A$ associé à la valeur propre 2.
Montrer par une méthode du pivot que $P_y$ est inversible si et seulement si $y \neq - 1$ .
On note dans toute la suite les vecteurs : $u_1 = (0, 4, 4)$ et $u_2 = (2, 0, 2)$ .
(a) Déterminer l'unique vecteur $u_3$ de la forme $u_3 = (1, y, 0)$ tel que : $f(u_3) = u_2 + 2u_3$ .
(b) Donner la matrice de passage $P$ de la base $𝔅ℭ$ à la famille $𝔅^' = (u_1, u_2, u_3)$ . Montrer à l'aide de la question 2 que $P$ est inversible puis justifier que la famille $B^'$ est une base de $ℝ^3$ .
(c) Exprimer $f(u_1)$ en fonction de $u_1$ , puis $f(u_2)$ en fonction de $u_1$ et $u_2$ .

En déduire que la matrice

T

de l'endomorphisme

f

dans la base

ℬ^'

est

T = 2I + N

.
Donner, en la justifiant en une seule ligne, la relation liant les matrices

A, T, P

P^(- 1)

.
On cherche maintenant à déterminer l'ensemble

S

des endomorphismes

h

ℝ^3

vérifiant la relation

[R]

[R] : f \circ h = h \circ f

(a) On note $M^'$ la matrice de l'endomorphisme $h$ relativement à la base $ℬ^'$ .

Montrer que :

[R] \Leftrightarrow (NM^' = M^' N)

.
(b) En posant

M^' = (a, a^', a^(''); b, b^', b^(''); c, c^', c^(''))

, montrer que :

[R] \Leftrightarrow M^' = (a, a^', a^(''); 0, a, a^'; 0, 0, a)

.
(c) Calculer la matrice

N^2

et en déduire que

S = Vect(id, f - 2id, (f - 2id)^2)

.
(d) On note

G = (I, N, N^2)

. Montrer que

G

est libre et en déduire la dimension de

S

On note

𝔉^' = (

, f, f^2)

. Montrer que

𝔉^'

est une base de

S

EXERCICE 2

Soit

n

un entier naturel non nul. On considère dans cet exercice une variable aléatoire

X_n

qui suit la loi normale de paramètres

m = 0

σ^2 = 1/n \cdot (loiN(0, 1/n))

(a) Justifier que la fonction $f_n$ définie sur $ℝ$ par $f_n(t) = \sqrt(n/(2π))e^(- (n/2t^2))$ est une densité de $X_n$ .
(b) Justifier que $f_n$ est paire.
(c) Dans cette question uniquement on considère que $n = 4$ , et on donne $\sqrt(2/π) \approx 0, 8$ .

Représenter l'allure de la courbe représentative de

f_4

dans un repère orthonormé et situer les points d'inflexion de cette courbe en donnant leur abscisse ( leur ordonnée vaut environ 0,5 ).
(d) Justifier graphiquement l'égalité :

P(X_n \leq 0) = P(X_n \geq 0) = 1/2

On note

Φ

la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, définie sur

ℝ

par la relation :

Φ(x) = \int_(- \infty)^x 1/(\sqrt(2π))e^(- 1/2t^2)dt

On donne en outre la valeur approchée

Φ(1) \approx 0, 8

.
2. (a) Justifier que

Φ(0) = 1/2

puis montrer que pour tout

x \in ℝ, Φ(x) = 1/2 + \int_0^x 1/(\sqrt(2π))e^(- 1/2t^2)dt

.
(b) En déduire que

Φ

est de classe

C^1

sur

ℝ

et que pour tout

x \in ℝ, Φ^'(x) = f_1(x)

.
(c) Justifier que la variable

\sqrtnX_n

suit la loi normale centrée réduite.

En déduire :

P(0 \leq X_n \leq 1/(\sqrtn)) \approx 0, 3

.
On note dans toute la suite

H

la fonction définie sur

ℝ

par

{H(x) = e^(− 1/x)Φ(x) si x ≠ 0; H(0) = 0

3. (a) Etablir les résultats suivants :

lim_(x \to 0; >)H(x) = 0, lim_(x \to 0; <)H(x) = + \infty, lim_(x \to + \infty)H(x) = 1, lim_(x \to - \infty)H(x) = 0.

(b) Justifier que

H

est de classe

C^1

sur

ℝ^*

et que

H

est continue à droite en 0.
(c) Montrer que pour tout réel

x > 0, H^'(x) = 1/(x^2)e^(- 1/x)Φ(x) + 1/(\sqrt(2π))e^(- 1/x - 1/2x^2)

. Justifier

lim_(x \to 0; >)1/(x^2)e^(- 1/x) = 0

.
En déduire que

H

est dérivable à droite en 0 et que

H_d^'(0) = 0

.
(d) Etudier les variations de

H

et tracer l'allure de la courbe de

H

dans un repère orthonormé.
(On fera apparaître les caractéristiques étudiées, et on utilisera

H(1) \approx 0, 3

)

EXERCICE 3

Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes .

Un joueur A dispose d'une pièce qui a la propriété de faire PILE avec la probabilité

1/3

.
Un joueur B dispose d'une pièce qui a la propriété de faire PILE avec la probabilité

p \in ]0; 1[

.
Les résultats des lancers de ces pièces seront toujours supposés indépendants.

PARTIE A

Dans cette partie on effectue le jeu suivant :
Les joueurs A et B lancent leur pièce simultanément jusqu'à ce qu'au moins une des deux pièces donne PILE.
Si A et B font PILE simultanément, le jeu s'arrête sans que personne n'ait gagné d'argent.
Sinon, le premier à obtenir PILE s'arrête et l'autre continue ses lancers jusqu'à obtenir PILE également et paye un euro à son adversaire à chacun des lancers de cette série " en solitaire " .

Par exemple si A a obtenu PILE pour la première fois à son

7^\circ

lancer et si B a obtenu PILE pour la première fois à son

11^\circ

lancer, c'est B qui doit payer à A la somme de 4 euros.

On note

X

la variable aléatoire réelle égale au nombre de lancers effectués par le joueur A,

Y

la variable aléatoire réelle égale au nombre de lancers effectués par le joueur B et

Z = Y - X

Justifier que les variables $X$ et $Y$ suivent des lois géométriques dont on donnera le paramètre .

Préciser

X(Ω), Y(Ω)

et les valeurs de

P(X = k), P(Y = k), E(X), E(Y), V(X), V(Y)

.
2. (a) Montrer que

E(Z) = (1 - 3p)/p

V(Z) = (6p^2 - p + 1)/(p^2)

.
(b) Montrer que

\sum_(k = 1)^(+ \infty)P(X = k)P(Y = k) = p/(1 + 2p)

et en déduire

P(Z = 0)

.
(c) Soit

n \in N^*

. Montrer que

P(Z = n) = p/(1 + 2p)(1 - p)^n

et en déduire

P(Z > 0)

En déduire

P(Z < 0)

puis interpréter les événements

(Z = 0), (Z > 0), (Z < 0)

PARTIE B

On veut d'abord programmer en Turbo-Pascal le lancer simultané des deux pièces par les joueurs A et B .

En utilisant la fonction random, recopier et compléter la fonction suivante pour qu'elle simule ce lancer simultané et renvoie 0 si les résultats de A et B sont identiques et 1 s'ils sont différents.

function lancer(p : real): integer;
var A,B:char;
begin
    if ( ............................... ) then A:= 'P' else A:= 'F';
    if ( ............................... ) ) then B:= 'P' else B:= 'F';
    if ( .............................. ) then lancer := 0 else lancer := 1;
end;

Montrer que la probabilité que les lancers de A et B soient différents est $(1 + p)/3$ .

On procède alors au jeu suivant : (

N

est un entier naturel fixé non nul ).
Les joueurs A et B lancent leur pièce simultanément

N

fois de suite
Le joueur B paye un euro à A à chaque fois que les pièces n'affichent pas le même résultat.
On note

H_N

la variable aléatoire égale à la somme payée par le joueur B au joueur A .
3. Justifier que

H_N

suit une loi classique que l'on détaillera.
4. Montrer que

((3H_N)/N - 1)

est un estimateur sans biais du réel

p

et déterminer son risque quadratique.

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Les parties A et B sont indépendantes .

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Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes .