BCE Maths appliquees ESC ECE 2008
Epreuve de maths appliquees - ECE 2008
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Probabilités finies, discrètes et dénombrementStatistiquesAlgèbre linéaireRéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Informatique
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Annale de maths appliquees BCE ESC pour la filiere ECE, session 2008.
Lecture web du sujet
Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
Concepteur Epreuves ESC : ESC CHAMBERY
MATHEMATIQUES
Mercredi 14 mai 2008, de 14 h. à 18 h.
N.B.
N.B.
Il n'est fait usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
EXERCICE 1
On note
On note
On note id l'endomorphisme de
On note id l'endomorphisme de
- (a) Calculer
puis vérifier que (matrice nulle de ).
(b) En déduire que le réel 2 est l'unique valeur propre deet déterminer une base et la dimension du sous-espace propre de associé à la valeur propre 2. - Montrer par une méthode du pivot que
est inversible si et seulement si . - On note dans toute la suite les vecteurs :
et .
(a) Déterminer l'unique vecteurde la forme tel que : .
(b) Donner la matrice de passagede la base à la famille . Montrer à l'aide de la question 2 que est inversible puis justifier que la famille est une base de .
(c) Exprimeren fonction de , puis en fonction de et .
En déduire que la matrice
Donner, en la justifiant en une seule ligne, la relation liant les matrices
On cherche maintenant à déterminer l'ensemble
Donner, en la justifiant en une seule ligne, la relation liant les matrices
On cherche maintenant à déterminer l'ensemble
- (a) On note
la matrice de l'endomorphisme relativement à la base .
Montrer que :
(b) En posant
(c) Calculer la matrice
(d) On note
(b) En posant
(c) Calculer la matrice
(d) On note
On note
EXERCICE 2
Soit
- (a) Justifier que la fonction
définie sur par est une densité de .
(b) Justifier queest paire.
(c) Dans cette question uniquement on considère que, et on donne .
Représenter l'allure de la courbe représentative de
(d) Justifier graphiquement l'égalité :
(d) Justifier graphiquement l'égalité :
On note
On donne en outre la valeur approchée
2. (a) Justifier que
(b) En déduire que
(c) Justifier que la variable
2. (a) Justifier que
(b) En déduire que
(c) Justifier que la variable
En déduire :
On note dans toute la suite
3. (a) Etablir les résultats suivants :
On note dans toute la suite
3. (a) Etablir les résultats suivants :
(b) Justifier que
(c) Montrer que pour tout réel
En déduire que
(d) Etudier les variations de
(On fera apparaître les caractéristiques étudiées, et on utilisera
(c) Montrer que pour tout réel
En déduire que
(d) Etudier les variations de
(On fera apparaître les caractéristiques étudiées, et on utilisera
EXERCICE 3
Les parties
Un joueur A dispose d'une pièce qui a la propriété de faire PILE avec la probabilité
Un joueur B dispose d'une pièce qui a la propriété de faire PILE avec la probabilité
Les résultats des lancers de ces pièces seront toujours supposés indépendants.
Un joueur B dispose d'une pièce qui a la propriété de faire PILE avec la probabilité
Les résultats des lancers de ces pièces seront toujours supposés indépendants.
PARTIE A
Dans cette partie on effectue le jeu suivant :
Les joueurs A et B lancent leur pièce simultanément jusqu'à ce qu'au moins une des deux pièces donne PILE.
Si A et B font PILE simultanément, le jeu s'arrête sans que personne n'ait gagné d'argent.
Sinon, le premier à obtenir PILE s'arrête et l'autre continue ses lancers jusqu'à obtenir PILE également et paye un euro à son adversaire à chacun des lancers de cette série " en solitaire " .
Les joueurs A et B lancent leur pièce simultanément jusqu'à ce qu'au moins une des deux pièces donne PILE.
Si A et B font PILE simultanément, le jeu s'arrête sans que personne n'ait gagné d'argent.
Sinon, le premier à obtenir PILE s'arrête et l'autre continue ses lancers jusqu'à obtenir PILE également et paye un euro à son adversaire à chacun des lancers de cette série " en solitaire " .
Par exemple si A a obtenu PILE pour la première fois à son
On note
- Justifier que les variables
et suivent des lois géométriques dont on donnera le paramètre .
Préciser
2. (a) Montrer que
(b) Montrer que
(c) Soit
2. (a) Montrer que
(b) Montrer que
(c) Soit
En déduire
PARTIE B
On veut d'abord programmer en Turbo-Pascal le lancer simultané des deux pièces par les joueurs A et B .
- En utilisant la fonction random, recopier et compléter la fonction suivante pour qu'elle simule ce lancer simultané et renvoie 0 si les résultats de A et B sont identiques et 1 s'ils sont différents.
function lancer(p : real): integer;
var A,B:char;
begin
if ( ............................... ) then A:= 'P' else A:= 'F';
if ( ............................... ) ) then B:= 'P' else B:= 'F';
if ( .............................. ) then lancer := 0 else lancer := 1;
end;
- Montrer que la probabilité que les lancers de A et B soient différents est
.
On procède alors au jeu suivant : (
Les joueurs A et B lancent leur pièce simultanément
Le joueur B paye un euro à A à chaque fois que les pièces n'affichent pas le même résultat.
On note
3. Justifier que
4. Montrer que
Les joueurs A et B lancent leur pièce simultanément
Le joueur B paye un euro à A à chaque fois que les pièces n'affichent pas le même résultat.
On note
3. Justifier que
4. Montrer que
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