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BCE Maths appliquées ESCP ECE 2000Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2000

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Annale de maths appliquées BCE ESCP pour la filiere ECE, session 2000.

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E.S.C.P Eco III 2000 Maths 3

Exercice 1

Dans tout l'exercice, α désigne un paramètre réel. On considère la matrice
A_α = (− 1, 2 − α, − α; − α, 1, − α; 2, α − 2, α + 1)
et on note φ_α l'endomorphisme de ℝ^3 représenté par A_α dans la base canonique de ℝ^3.
  1. a) Montrer que, quelque soit α, l'endomorphisme φ_α admet la valeur propre 1 .
    b) On note E_1(α) le sous espace propre de φ_α associé à la valeur propre 1 . Déterminer, suivant les valeurs de α, une base de E_1(α).
  2. On considère les vecteurs
f_1 = (1, 1, − 1) et f_2 = (1, 1, − 2)
et on note F_1 le sous espace de ℝ^3 engendré par f_1 et f_2.
a) Montrer que ( f_1, f_2 ) est une base de F_1.
b) Montrer que l'image par φ_α de tout vecteur de F_1 appartient à F_1.
c) Soit φ_α ˆ l'endomorphisme de F_1 induit par φ_α, c'est à dire vérifiant, pour tout vecteur V de F_1, φ_α ˆ(V) = φ_α(V).
Donner la matrice de φ_α ˆ dans la base (f_1, f_2) de F_1.
3. Montrer que, pour tout réel α, l'endomorphisme φ_α admet la valeur propre α − 1 et que l'on peut trouver un vecteur f_3 de ℝ^3 ne dépendant pas de α, qui soit, pour tout réel α, vecteur propre de φ_α associé à la valeur propre α − 1.
4. a) Montrer que ( f_1, f_2, f_3 ) est une base de ℝ^3. Donner la matrice de φ_α dans cette base.
b) Pour quelles valeurs du paramètre α l'endomorphisme φ_α est-il diagonalisable ?

Exercice 2

I. Etude d'une suite vérifiant une relation de récurrence linéaire

Etant donné un paramètre réel α > 0, on note E l'espace vectoriel des suites U = (u_n)_(n ≥ 0) de réels qui vérifient, pour tout n positif, la relation
u_(n + 2) = α(u_(n + 1) + u_n)
  1. Montrer que l'on peut trouver deux réels r et s, avec r < s, tels que les suites R = (r_n)_(n ≥ 0) et S = (s_n)_(n ≥ 0) forment une base de l'espace vectoriel E. Exprimer r et s en fonction de α et comparer |r| et |s|.
  2. Etant donné un élément U = (u_n)_(n ≥ 0) de E s'écrivant U = aR + bS avec (a, b) ∈ ℝ^2, donner l'expression de a et b en fonction de u_0 et u_1.
  3. On suppose, dans cette question, que l'on a 0 < α < 1/2. Soit U = (u_n)_(n ≥ 0) un élément de E.
    a) Montrer que la suite U converge vers 0 .
    b) Si u_1 − u_0 r n'est pas nul, montrer qu'il existe un indice n_0 tel que, pour n > n_0, u_n ne s'annule pas et garde un signe constant et que l'on a
lim_(n → + ∞)(ln|u_n|)/n = lns
c) Montrer que si, au contraire, u_1 − u_0 r est nul et si la suite (u_n)_(n ≥ 0) n'est pas identiquement nulle, alors, pour tout entier n positif, u_n et u_(n + 1) sont de signes contraires. Quel équivalent peut-on donner, dans ce cas, de ln|u_n| ?
4. On suppose, dans cette question, que l'on a 1/2 < α.
A quelle condition sur u_0 et u_1 l'élément U = (u_n)_(n ≥ 0) de E est-il une suite bornée? Montrer que les éléments de E qui sont des suites bornées forment un sous espace vectoriel de E dont on précisera la dimension.

II. Etude d'une récurrence non linéaire

Soit β un réel strictement positif. On note m = min(1, β) le plus petit des nombres 1 et β et M = max(1, β) le plus grand de ces deux nombres.
On considère la suite V = (v_n)_(n ≥ 0) vérifiant v_0 = 0, v_1 = β et, pour tout n positif, la relation
v_(n + 2) = √(v_(n + 1)) + √(v_n)
  1. Montrer, pour tout n strictement ppsitif, l'inégalité m ≤ v_n ≤ 4M.
  2. Montrer que si la suite V admet une limite, cette limite est nécessairement égale à 4 .
On se propose de montrer que, pour tout β strictement positif, la suite V admet effectivement pour limite 4 .
3. Montrer, pour tout n positif, l'inégalité
|v_(n + 2) − 4| ≤ (|v_(n + 1) − 4|)/(√(v_(n + 1)) + 2) + (|v_n − 4|)/(√(v_n) + 2)
  1. On pose α = 1/(√m + 2) et on considère la suite U = (u_n)_(n ≥ 0) vérifiant la relation de récurrence linéaire u_(n + 2) = α(u_(n + 1) + u_n) et les conditions initiales u_0 = |v_1 − 4| et u_1 = |v_2 − 4|. Montrer que, pour tout n strictement positif, |v_n − 4| ≤ u_(n − 1).
  2. En conclusion, montrer à l'aide des résultats de la première partie que la suite V converge vers 4.
  3. Ecrire un programme en Turbo-Pascal qui lise un entier N et un réel β et qui affiche, en sortie, les N premiers termes de la suite V.

Exercice 3

Sachant qu'un appareil a fonctionné correctement pendant un certaine durée x, on s'intéresse à la probabilité qu'il continue à bien fonctionner pendant encore au moins une durée y. Pour cela on convient de représenter la durée de vie de ce type d'appareil par une variable aléatoire réelle X définie sur un espace probabilisé dont on notera la probabilité P. L'exercice a pour objet l'étude de quelques fonctions liées à cette durée de vie.
I. On suppose d'abord que X prend ses valeurs dans N^∗ et que, pour tout n de N^∗, P(X = n) n'est pas nul.
On pose, pour tout n de ℕ^∗,
p_n = P(X = n), G_n = P(X ≥ n) = ∑_(k = n)^∞p_k et Z_n = (p_n)/(G_n)
  1. Justifier les inégalités 0 < p_n < G_n ≤ 1 et 0 < Z_n < 1.
  2. Soit n un entier naturel. Etablir l'égalité P(X ≥ n + 1/X ≥ n) = 1 − Z_n.
  3. a) Montrer que la suite (P(X ≥ n + 1/X ≥ n))_(n ≥ 0) est constante si et seulement si la suite (Z_n)_(n ≥ 0) est constante.
    b) Vérifier que les conditions précédentes sont réalisées dans le cas où la loi de X est une loi géométrique.
    c) Réciproquement, on suppose qu'il existe une constante p appartenant à ]0, 1[ telle que la suite (Z_n)_(n ≥ 0) soit la suite constante égale à p. Montrer par récurrence que X suit une loi géométrique.
  4. Montrer que si, pour tout entier m de ℕ^∗, la suite ((p_(n + m))/(p_n))_(ne0) est décroissante, alors la suite (Z_n)_(n ≥ 0) est croissante et la suite (P(X ≥ n + 1/X ≥ n))_(n ≥ 0) est décroissante. (On dit alors qu'il y a vieillissement de l'appareil dont X est la durée de vie.)

II. On suppose maintenant que la variable aléatoire X prend ses valeurs dans R^(+ ∗) et admet une densité f continue et strictement positive sur R^(+ ∗).

On pose, pour tout réel strictement positif x,
G(x) = ∫_x^(+ ∞)f(t)dt et Z(x) = (f(x))/(G(x))
  1. a) Si x et y sont des réels strictement positifs, on pose H(x, y) = (G(x + y))/(G(x)). Montrer que l'on a alors, pour tout couple (x, y) de ℝ^(+ ∗), l'égalité :
(∂H)/(∂x)(x, y) = (G(x + y))/(G(x))(Z(x) − Z(x + y))
b) Montrer que la fonction x ↦ Z(x) est une fonction croissante sur ℝ^(+ ∗) si et seulement si, pour tout réel y strictement positif fixé, la fonction x ↦ P(X ≥ x + y/X ≥ x) est une fonction décroissante.
2. a) Montrer que si la loi de X est une loi exponentielle, alors la fonction Z est constante.
b) Réciproquement, montrer que si Z est la fonction constante égale au réel strictement positif λ, alors la fonction x ↦ e^(λx)G(x) est constante. Quelle est alors la loi de X ?

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