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BCE Maths appliquees ESCP ECE 2000

Epreuve de maths appliquees - ECE 2000

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Algèbre linéaireRéductionSuites et séries de fonctionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesIntégrales généralisées
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Banque
BCE
Année
2000
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2000ECE MathématiquesMathématiques 2000

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Description

Annale de maths appliquees BCE ESCP pour la filiere ECE, session 2000.

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E.S.C.P Eco III 2000 Maths 3

Exercice 1

Dans tout l'exercice, désigne un paramètre réel. On considère la matrice
et on note l'endomorphisme de représenté par dans la base canonique de .
  1. a) Montrer que, quelque soit , l'endomorphisme admet la valeur propre 1 .
    b) On note le sous espace propre de associé à la valeur propre 1 . Déterminer, suivant les valeurs de , une base de .
  2. On considère les vecteurs
et on note le sous espace de engendré par et .
a) Montrer que ( ) est une base de .
b) Montrer que l'image par de tout vecteur de appartient à .
c) Soit l'endomorphisme de induit par , c'est à dire vérifiant, pour tout vecteur de .
Donner la matrice de dans la base de .
3. Montrer que, pour tout réel , l'endomorphisme admet la valeur propre et que l'on peut trouver un vecteur de ne dépendant pas de , qui soit, pour tout réel , vecteur propre de associé à la valeur propre .
4. a) Montrer que ( ) est une base de . Donner la matrice de dans cette base.
b) Pour quelles valeurs du paramètre l'endomorphisme est-il diagonalisable ?

Exercice 2

I. Etude d'une suite vérifiant une relation de récurrence linéaire

Etant donné un paramètre réel , on note l'espace vectoriel des suites de réels qui vérifient, pour tout positif, la relation
  1. Montrer que l'on peut trouver deux réels et , avec , tels que les suites et forment une base de l'espace vectoriel . Exprimer et en fonction de et comparer et .
  2. Etant donné un élément de s'écrivant avec , donner l'expression de et en fonction de et .
  3. On suppose, dans cette question, que l'on a . Soit un élément de .
    a) Montrer que la suite converge vers 0 .
    b) Si n'est pas nul, montrer qu'il existe un indice tel que, pour ne s'annule pas et garde un signe constant et que l'on a
c) Montrer que si, au contraire, est nul et si la suite n'est pas identiquement nulle, alors, pour tout entier positif, et sont de signes contraires. Quel équivalent peut-on donner, dans ce cas, de ?
4. On suppose, dans cette question, que l'on a .
A quelle condition sur et l'élément de est-il une suite bornée? Montrer que les éléments de qui sont des suites bornées forment un sous espace vectoriel de dont on précisera la dimension.

II. Etude d'une récurrence non linéaire

Soit un réel strictement positif. On note le plus petit des nombres 1 et et le plus grand de ces deux nombres.
On considère la suite vérifiant et, pour tout positif, la relation
  1. Montrer, pour tout strictement ppsitif, l'inégalité .
  2. Montrer que si la suite admet une limite, cette limite est nécessairement égale à 4 .
On se propose de montrer que, pour tout strictement positif, la suite admet effectivement pour limite 4 .
3. Montrer, pour tout positif, l'inégalité
  1. On pose et on considère la suite vérifiant la relation de récurrence linéaire et les conditions initiales et . Montrer que, pour tout strictement positif, .
  2. En conclusion, montrer à l'aide des résultats de la première partie que la suite converge vers 4.
  3. Ecrire un programme en Turbo-Pascal qui lise un entier et un réel et qui affiche, en sortie, les premiers termes de la suite .

Exercice 3

Sachant qu'un appareil a fonctionné correctement pendant un certaine durée , on s'intéresse à la probabilité qu'il continue à bien fonctionner pendant encore au moins une durée . Pour cela on convient de représenter la durée de vie de ce type d'appareil par une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé dont on notera la probabilité . L'exercice a pour objet l'étude de quelques fonctions liées à cette durée de vie.
I. On suppose d'abord que prend ses valeurs dans et que, pour tout de , n'est pas nul.
On pose, pour tout de ,
  1. Justifier les inégalités et .
  2. Soit un entier naturel. Etablir l'égalité .
  3. a) Montrer que la suite est constante si et seulement si la suite est constante.
    b) Vérifier que les conditions précédentes sont réalisées dans le cas où la loi de est une loi géométrique.
    c) Réciproquement, on suppose qu'il existe une constante appartenant à telle que la suite soit la suite constante égale à . Montrer par récurrence que suit une loi géométrique.
  4. Montrer que si, pour tout entier de , la suite est décroissante, alors la suite est croissante et la suite est décroissante. (On dit alors qu'il y a vieillissement de l'appareil dont est la durée de vie.)

II. On suppose maintenant que la variable aléatoire prend ses valeurs dans et admet une densité continue et strictement positive sur .

On pose, pour tout réel strictement positif ,
  1. a) Si et sont des réels strictement positifs, on pose . Montrer que l'on a alors, pour tout couple de , l'égalité :
b) Montrer que la fonction est une fonction croissante sur si et seulement si, pour tout réel strictement positif fixé, la fonction est une fonction décroissante.
2. a) Montrer que si la loi de est une loi exponentielle, alors la fonction est constante.
b) Réciproquement, montrer que si est la fonction constante égale au réel strictement positif , alors la fonction est constante. Quelle est alors la loi de ?

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