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BCE Maths appliquées ESCP ECE 2001Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2001

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Annale de maths appliquées BCE ESCP pour la filiere ECE, session 2001.

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E.S.C.P. - E.A.P.
CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES III

Jeudi 10 Mai 2001, de 8h. à 12h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE I

A. On considère la matrice A définie par :
A = (− 1, − 1, 2; 1, 2, − 1; − 2, − 1, 3)
et on note φ l'endomorphisme de ℝ^3 représenté par A dans la base canonique.
  1. a) Montrer que A admet les valeurs propres 1 et 2 et n'en admet pas d'autre.
Déterminer les sous-espaces propres E_1 et E_2 associés à ces valeurs propres.
b) La matrice A est-elle diagonalisable ?
2. Soit V un vecteur propre de A associé à la valeur propre 1. Trouver un vecteur W de ℝ^3 tel que φ(W) = V + W.
3. Soit U un vecteur propre de A associé à la valeur propre 2 . Montrer que la famille (U, V, W) est une base de ℝ^3.
4. Déterminer la matrice B représentant l'endomorphisme φ dans la base ( U, V, W ) ainsi qu'une matrice inversible P telle qu'on ait l'égalité B = P^(− 1)AP.
B. Étant données les matrices
I = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1), H = (1, 0, 0; 0, 0, 0; 0, 0, 0), N = (0, 0, 0; 0, 0, 1; 0, 0, 0)
on associe à tout élément ( a, b, c ) de ℝ^3 la matrice C_((a, b, c)) définie par:
C_((a, b, c)) = aI + bH + cN
On note M l'ensemble des matrices C_((a, b, c)), où ( a, b, c ) décrit ℝ^3.
  1. Montrer que M est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel M_3(ℝ) des matrices carrées d'ordre 3 et déterminer sa dimension.
  2. Vérifier que la matrice B définie dans la question A. 4 appartient à M.
  3. Préciser les conditions que doivent vérifier les nombres a, b et c pour que la matrice C_((a, b, c)) soit inversible. Déterminer, quand elle existe, sa matrice inverse.
  4. Déterminer les valeurs propres de C_((a, b, c)).
Montrer que cette matrice est diagonalisable si et seulement si c est nul.

EXERCICE II

A. On considère la fonction G de deux variables réelles définie, pour tout x et tout y strictement positifs, par :
G(x, y) = (x^2)/(2y^2) − lnx + y − 3/2
  1. Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 et 2 de la fonction G.
  2. Rechercher les extremums éventuels de la fonction G dans le domaine ]0, ∞[ × ]0, ∞[.
    B. On considère maintenant la fonction f définie, pour tout x strictement positif, par :
f(x) = G(x, 1) = (x^2)/2 − lnx − 1/2
  1. Étudier les variations de f. Montrer que c'est une fonction convexe. Donner sa représentation graphique.
  2. a) Calculer une primitive de la fonction f sur l'intervalle ]0, + ∞[.
    b) En déduire que l'intégrale ∫_0^1 f(x)dx existe et calculer sa valeur.
  3. Soit n un entier supérieur ou égal à 2 . On pose : S_n = 1/n∑_(j = 1)^n f(j/n).
    a) Établir, pour tout entier j vérifiant 1 ≤ j < n, les inégalités :
1/nf((j + 1)/n) ≤ ∫_(j/n)^((j + 1)/n)f(x)dx ≤ 1/nf(j/n)
b) En déduire l'encadrement
∫_(1/n)^1 f(x)dx ≤ S_n ≤ 1/nf(1/n) + ∫_(1/n)^1 f(x)dx
c) Montrer les inégalités :
0 ≤ 1/nf(1/n) ≤ ∫_0^(1/n)f(x)dx
  1. On considère la suite (S_n)_(n ≥ 2) où, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 , S_n est défini comme dans la question précédente. Montrer que cette suite converge et déterminer sa limite.
  2. On rappelle que, pour tout entier naturel non nul n, on a l'égalité : ∑_(k = 1)^n k^2 = (n(n + 1)(2n + 1))/6.
    a) Exprimer, pour tout entier naturel non nul n, la somme ∑_(j = 1)^n f(j/n) en fonction de n.
    b) En déduire la limite : lim_(n → + ∞)1/nln((n^n)/(n!)).

EXERCICE III

A. Préliminaire

Montrer, pour tout entier naturel non nul n, l'égalité : ∑_(k = 1)^n k^3 = (n^2(n + 1)^2)/4.
B. Soit N un entier supérieur ou égal à 2 .
Une urne contient N boules dont N − 2 sont blanches et 2 sont noires. On tire au hasard, successivement et sans remise, les N boules de cette urne.
Les tirages étant numérotés de 1 à N, on note X_1 la variable aléatoire égale au numéro du tirage qui a fourni, pour la première fois, une boule noire et X_2 la variable aléatoire égale au numéro du tirage qui a fourni, pour la deuxième fois, une boule noire.
  1. Préciser l'espace probabilisé ( Ω, A, P ) que l'on peut utiliser pour modéliser cette expérience aléatoire.
  2. Soit i et j deux entiers de l'intervalle [1, N]. Montrer que l'on a
P(X_1 = i, X_2 = j) = {0, si, 1 ≤ j ≤ i ≤ N; 2/(N(N − 1)), si, 1 ≤ i < j ≤ N
  1. Déterminer les lois de probabilité des variables aléatoires X_1 et X_2. Ces variables sont-elles indépendantes?
  2. a) Montrer que la variable aléatoire N + 1 − X_2 a la même loi que X_1.
    b) Déterminer la loi de la variable aléatoire X_2 − X_1 et la comparer à la loi de X_1.
  3. À l'aide des résultats de la question 4 :
    a) Calculer les espérances E(X_1) et E(X_2).
    b) Montrer l'égalité des variances V(X_1) et V(X_2).
    c) Établir la relation : 2Cov(X_1, X_2) = V(X_1), où Cov(X_1, X_2) désigne la covariance des variables aléatoires X_1 et X_2.
  4. Calculer V(X_1); en déduire V(X_2) et Cov(X_1, X_2).
    C. Dans cette partie, N désigne encore un entier supérieur ou égal à 2 .
  5. On considère le programme Turbo-Pascal suivant, où RANDOM(10) désigne un nombre entier tiré au hasard par l'ordinateur dans l'intervalle [ 0,9 ] (la procédure RANDOMIZE sert à initialiser la fonction RANDOM) :
    PROGRAM Tirage;
    VAR
    a,b,c: INTEGER;
    BEGIN
    RANDOMIZE ;
    a:=RANDOM(10) + 1;
    b:= RANDOM(10)+1;
    IF a ≥ b THEN
    BEGIN
    c:=a; a:=b; b:=c;
    END ;
    IF a < b WRITELN('(',a,',',b,')');
    END.
    a) Que fait l'ordinateur dans le cas où les variables a et b contiennent toutes les deux le même nombre?
    b) Qu'affiche l'ordinateur dans le cas où les variables a et b contiennent respectivement les nombres 3 et 5 ?
    c) Qu'affiche l'ordinateur dans le cas où les variables a et b contiennent respectivement les nombres 10 et 1 ?
  6. On suppose que A et B sont deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé ( Ω, A, P ), indépendantes, suivant la même loi uniforme sur l'ensemble {1, 2, …, N} et on désigne par D l'événement : " A ne prend pas la même valeur que B ".
    a) Montrer que la probabilité de l'événement D est (N − 1)/N.
    b) Soit Y_1 et Y_2 les variables aléatoires définies par: {Y_1 = min(A, B); Y_2 = max(A, B)
Calculer, pour tout couple (i, j) d'éléments de l'ensemble {1, 2, …, N}, la probabilité conditionnelle P([Y_1 = i, Y_2 = j]/D).
3. Expliquer pourquoi le programme de la question 1 permet de simuler les variables aléatoires X_1 et X_2 de la partie B, dans le cas où N est égal à 10 .

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