J-0
00m
00j
00h
00min
00s

BCE Maths appliquees ESCP ECE 2001

Epreuve de maths appliquees - ECE 2001

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
RéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
RetourLire
Logo concours BCE - Voir tous les sujets BCE

Voir tous les sujets

Logo concours BCE
🔗 Explorer
Banque
BCE
Année
2001
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2001ECE MathématiquesMathématiques 2001

Téléchargements disponibles

Sujet et rapport

Télécharger le sujet →Rapport du jury → indisponible

Corrigés

Télécharger corrigé →

Lecture et formats

Lire en ligne →LaTeX →Word →

Description

Annale de maths appliquees BCE ESCP pour la filiere ECE, session 2001.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
6a7899b5-3f2b-48ef-a5b8-ad439729805e

E.S.C.P. - E.A.P.
CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES III

Jeudi 10 Mai 2001, de 8h. à 12h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE I

A. On considère la matrice définie par :
et on note l'endomorphisme de représenté par dans la base canonique.
  1. a) Montrer que admet les valeurs propres 1 et 2 et n'en admet pas d'autre.
Déterminer les sous-espaces propres et associés à ces valeurs propres.
b) La matrice est-elle diagonalisable ?
2. Soit un vecteur propre de associé à la valeur propre 1. Trouver un vecteur de tel que .
3. Soit un vecteur propre de associé à la valeur propre 2 . Montrer que la famille est une base de .
4. Déterminer la matrice représentant l'endomorphisme dans la base ( ) ainsi qu'une matrice inversible telle qu'on ait l'égalité .
B. Étant données les matrices
on associe à tout élément ( ) de la matrice définie par:
On note l'ensemble des matrices , où ( ) décrit .
  1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 3 et déterminer sa dimension.
  2. Vérifier que la matrice définie dans la question A. 4 appartient à .
  3. Préciser les conditions que doivent vérifier les nombres et pour que la matrice soit inversible. Déterminer, quand elle existe, sa matrice inverse.
  4. Déterminer les valeurs propres de .
Montrer que cette matrice est diagonalisable si et seulement si est nul.

EXERCICE II

A. On considère la fonction de deux variables réelles définie, pour tout et tout strictement positifs, par :
  1. Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 et 2 de la fonction .
  2. Rechercher les extremums éventuels de la fonction dans le domaine .
    B. On considère maintenant la fonction définie, pour tout strictement positif, par :
  1. Étudier les variations de . Montrer que c'est une fonction convexe. Donner sa représentation graphique.
  2. a) Calculer une primitive de la fonction sur l'intervalle .
    b) En déduire que l'intégrale existe et calculer sa valeur.
  3. Soit un entier supérieur ou égal à 2 . On pose : .
    a) Établir, pour tout entier vérifiant , les inégalités :
b) En déduire l'encadrement
c) Montrer les inégalités :
  1. On considère la suite où, pour tout entier supérieur ou égal à 2 , est défini comme dans la question précédente. Montrer que cette suite converge et déterminer sa limite.
  2. On rappelle que, pour tout entier naturel non nul , on a l'égalité : .
    a) Exprimer, pour tout entier naturel non nul , la somme en fonction de .
    b) En déduire la limite : .

EXERCICE III

A. Préliminaire

Montrer, pour tout entier naturel non nul , l'égalité : .
B. Soit un entier supérieur ou égal à 2 .
Une urne contient boules dont sont blanches et 2 sont noires. On tire au hasard, successivement et sans remise, les boules de cette urne.
Les tirages étant numérotés de 1 à , on note la variable aléatoire égale au numéro du tirage qui a fourni, pour la première fois, une boule noire et la variable aléatoire égale au numéro du tirage qui a fourni, pour la deuxième fois, une boule noire.
  1. Préciser l'espace probabilisé ( ) que l'on peut utiliser pour modéliser cette expérience aléatoire.
  2. Soit et deux entiers de l'intervalle . Montrer que l'on a
  1. Déterminer les lois de probabilité des variables aléatoires et . Ces variables sont-elles indépendantes?
  2. a) Montrer que la variable aléatoire a la même loi que .
    b) Déterminer la loi de la variable aléatoire et la comparer à la loi de .
  3. À l'aide des résultats de la question 4 :
    a) Calculer les espérances et .
    b) Montrer l'égalité des variances et .
    c) Établir la relation : , où désigne la covariance des variables aléatoires et .
  4. Calculer ; en déduire et .
    C. Dans cette partie, désigne encore un entier supérieur ou égal à 2 .
  5. On considère le programme Turbo-Pascal suivant, où RANDOM(10) désigne un nombre entier tiré au hasard par l'ordinateur dans l'intervalle [ 0,9 ] (la procédure RANDOMIZE sert à initialiser la fonction RANDOM) :
    PROGRAM Tirage;
    VAR
    a,b,c: INTEGER;
    BEGIN
    RANDOMIZE ;
    ;
    b:= RANDOM(10)+1;
    IF a THEN
    BEGIN
    ;
    END ;
    IF a < b WRITELN('(',a,',',b,')');
    END.
    a) Que fait l'ordinateur dans le cas où les variables et contiennent toutes les deux le même nombre?
    b) Qu'affiche l'ordinateur dans le cas où les variables et contiennent respectivement les nombres 3 et 5 ?
    c) Qu'affiche l'ordinateur dans le cas où les variables et contiennent respectivement les nombres 10 et 1 ?
  6. On suppose que et sont deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé ( ), indépendantes, suivant la même loi uniforme sur l'ensemble et on désigne par l'événement : " ne prend pas la même valeur que ".
    a) Montrer que la probabilité de l'événement est .
    b) Soit et les variables aléatoires définies par:
Calculer, pour tout couple d'éléments de l'ensemble , la probabilité conditionnelle .
3. Expliquer pourquoi le programme de la question 1 permet de simuler les variables aléatoires et de la partie , dans le cas où est égal à 10 .

Pas de description pour le moment