BCE Maths appliquées ESCP ECE 2003Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2003

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Annale de maths appliquées BCE ESCP pour la filiere ECE, session 2003.

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ESCP-EAP

OPTION ÉCONOMIQUE

MATHÉMATIQUES III

Jeudi 15 mai 2003 , de 8 h à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE

Soit

a, b

deux entiers naturels non nuls et

s

leur somme.
Une urne contient initialement

a

boules noires et

b

boules blanches indiscernables au toucher.
On effectue dans cette urne une suite infinie de tirages au hasard d'une boule selon le protocole suivant :

si la boule tirée est blanche, elle est remise dans l'urne ;
si la boule tirée est noire, elle est remplacée dans l'urne par une boule blanche prise dans une réserve annexe.
Avant chaque tirage, l'urne contient donc toujours $s$ boules.
On désigne par ( $Ω, B, P$ ) un espace probabilisé qui modélise cette expérience et, pour tout entier naturel $n$ non nul, on note :
$B_n$ l'événement << la $n$ -ième boule tirée est blanche > ;
$X_n$ la variable aléatoire désignant le nombre de boules blanches tirées au cours des $n$ premiers tirages;
$u_n$ l'espérance de la variable aléatoire $X_n$ , c'est-à-dire $u_n = E(X_n)$ .

1. Étude d'un ensemble de suites

Soit

A

l'ensemble des suites

(x_n)_(n ⩾ 1)

de réels qui vérifient :

\foralln \in ℕ^*, sx_(n + 1) = (s - 1)x_n + b + n

a) Soit

α

β

deux réels et

(v_n)_(n ⩾ 1)

la suite définie par:

\foralln \in ℕ^*, v_n = αn + β

Déterminer en fonction de

b

et de

s

les valeurs de

α

β

pour que la suite

(v_n)_(n ⩾ 1)

appartienne à

A

.
b) Soit

(x_n)_(n ⩾ 1)

une suite appartenant à

A, (v_n)_(n ⩾ 1)

la suite déterminée à la question précédente et

(y_n)_(n ⩾ 1)

la suite définie par :

\foralln \in ℕ^*, y_n = x_n - v_n

.
Montrer que la suite

(y_n)_(n ⩾ 1)

est une suite géométrique et expliciter, pour tout entier naturel

n

non nul,

y_n

puis

x_n

en fonction de

x_1, b, s

n

2. Expression de la probabilité $P(B_(n + 1))$ à l'aide de $u_n$

a) Donner, en fonction de

b

et de

s

, les valeurs respectives de la probabilité

P(B_1)

et du nombre

u_1

.
b) Calculer la probabilité

P(B_2)

et vérifier l'égalité :

P(B_2) = (b + 1 - u_1)/s

.
c) Soit

n

un entier naturel vérifiant

1 ⩽ n ⩽ a

. Montrer que, pour tout entier

k

de l'intervalle

[ [0, n] ]

, la probabilité conditionnelle

P(B_(n + 1)/[X_n = k])

est égale à

(b + n - k)/s

.
En déduire l'égalité :

P(B_(n + 1)) = (b + n - u_n)/s

.
d) Soit

n

un entier naturel vérifiant

n > a

k

est un entier de l'intervalle

[0, n - a - 1]

, quel est l'événement

[X_n = k]

?
Si

k

est un entier de l'intervalle

[n - a, n]]

, justifier l'égalité :

P(B_(n + 1)/[X_n = k]) = (b + n - k)/s

.
Montrer enfin que l'égalité

P(B_(n + 1)) = (b + n - u_n)/s

est encore vérifiée.

3. Calcul des nombres $u_n$ et $P(B_n)$

a) Soit

n

un entier naturel non nul. Établir, pour tout entier

k

de l'intervalle

[ [n + 1 - a, n] ]

, l'égalité :

P([X_(n + 1) = k]) = (a - n + k)/sP([X_n = k]) + (b + n - k + 1)/sP([X_n = k - 1])

Vérifier cette égalité pour

k = n + 1, k = n - a

et pour tout entier

k

de l'intervalle

[ [1, n - a - 1] ]

.
b) Calculer, pour tout entier naturel

n

non nul,

u_(n + 1)

en fonction de

u_n

et de

n

. En déduire que la suite

(u_n)_(n ⩾ 1)

appartient à l'ensemble

A

étudié dans la question 1 .
c) Donner, pour tout entier naturel

n

non nul, les valeurs de

u_n

et de

P(B_(n + 1))

en fonction de

b, s

n

.
d) Quelles sont les limites des suites

(u_n)_(n ⩾ 1)

(P(B_n))_(n ⩾ 1)

PROBLÈME

Dans tout le problème, on désigne par

C

l'espace vectoriel des applications continues de

ℝ

dans

ℝ

. À toute application

f

C

, on associe l'application

D(f)

ℝ

dans

ℝ

définie par :

\forallx \in ℝ, D(f)(x) = f(x + 1) - f(x)

Les parties

A, B

C

sont indépendantes.
Question préliminaire :

D

est-il un endomorphisme de

C

Partie A: Image par $D$ d'une fonction de répartition

Soit $F$ une application de $C$ . Rappeler les propriétés que doit posséder $F$ pour être considérée comme une fonction de répartition.
Soit $F$ une application de $C$ qui est une fonction de répartition et $g$ l'application $D(F)$ .
a) Montrer que $g$ est positive.
b) Prouver, pour tout réel $x$ , la double inégalité : $F(x) ⩽ \int_x^(x + 1)F(t)dt ⩽ F(x + 1)$ .

En déduire que les limites

lim_(x \to - \infty)\int_x^(x + 1)F(t)dt

lim_(x \to + \infty)\int_x^(x + 1)F(t)dt

existent et préciser leurs valeurs.
c) Soit

A

B

deux réels vérifiant

A < 0 < B

I(A, B)

l'intégrale :

I(A, B) = \int_A^B g(t)dt

Justifier l'égalité :

I(A, B) = \int_B^(B + 1)F(t)dt - \int_A^(A + 1)F(t)dt

.
d) Prouver alors soigneusement que

g

est une densité de probabilité.

3. Un exemple

On suppose, dans cette question, que

F

est la fonction de répartition d'une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle

[0, 1]

et on pose :

g = D(F)

.
Déterminer

g(x)

pour tout réel

x

, en distinguant les cas

x < - 1, - 1 ⩽ x < 0, 0 ⩽ x < 1

1 ⩽ x

. Représenter graphiquement l'application

g

Partie B : Recherche des valeurs propres de $D$

λ

est un réel, on dit que

λ

est une valeur propre de

D

s'il existe une application

f

C

, distincte de l'application nulle, vérifiant :

D(f) = λf

Soit $a$ un réel. On note $g_a$ l'application de $C$ définie par : $\forallx \in ℝ, g_a(x) = e^(ax)$ .

Déterminer l'application

D(g_a)

.
2. En déduire que tout réel

λ

strictement supérieur à -1 est une valeur propre de

D

.
3. Soit

a

un réel. On note

h_a

l'application de

C

définie par :

\forallx \in ℝ, h_a(x) = sin(πx)e^(ax)

Déterminer l'application

D(h_a)

.
4. En déduire que tout réel

λ

strictement inférieur à -1 est une valeur propre de

D

.
5. Le réel -1 est-il une valeur propre de

D

Partie C : Image par $D$ d'une application polynomiale

Pour tout entier naturel

p

, on désigne par

E_p

le sous-espace de

C

dont les éléments sont les applications polynomiales de degré au plus

p

.
On note

X

l'application

x \mapsto x

et, pour tout entier naturel non nul

k

, on note

X^k

l'application

x \mapsto x^k

. Soit

(H_i)_(i \in ℕ)

la suite d'applications polynomiales définie par :

H_0 = 1 et \foralli \in ℕ^*, H_i = 1/(i!)\prod_(k = 0)^(i - 1)(X - k)

Préciser $H_1, H_2, H_3$ et montrer que $U_3 = (H_0, H_1, H_2, H_3)$ est une base de $E_3$ .
Soit $B_3 = (1, X, X^2, X^3)$ la base canonique de $E_3$ .
a) Écrire la matrice de passage $P$ de la base $B_3$ à la base $U_3$ et calculer la matrice $P^(- 1)$ .
b) Soit $a_0, a_1, a_2, a_3$ des réels et $Q$ l'application polynomiale $a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + a_3 X^3$ .

Quelles sont les coordonnées de

Q

dans la base

U_3

?
En particulier, vérifier l'égalité :

X^3 = H_1 + 6H_2 + 6H_3

3. Application : moment d'ordre 3 d'une variable aléatoire de Poisson

Soit

a

un réel strictement positif et

Z

une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre

a

.
a) Pour tout entier naturel

n

supérieur ou égal à 3 , on pose :

S_n = \sum_(k = 0)^n(k^3 a^k)/(k!)

Transformer

S_n

à l'aide de la relation :

\forallk \in ℕ, k^3 = H_1(k) + 6H_2(k) + 6H_3(k)

.
En déduire que la série de terme général

(n^3 a^n)/(n!)

est convergente et préciser

\sum_(n = 0)^\infty(n^3 a^n)/(n!)

.
b) En déduire que la variable aléatoire

Z

admet un moment d'ordre 3 donné par :

E(Z^3) = a + 3a^2 + a^3

Dans cette question, $p$ est un entier naturel non nul fixé.
a) Montrer que, si $Q$ appartient à $E_p, D(Q)$ appartient aussi à $E_p$ .

On note alors

D_p

l'endomorphisme de

E_p

qui, à tout

Q

E_p

, associe

D(Q)

.
b) Montrer que la famille

U_p = (H_0, H_1, \dots, H_p)

est une base de

E_p

.
c) Déterminer

D_p(H_0), D_p(H_1)

et prouver, pour tout entier

i

vérifiant

0 < i ⩽ p

, l'égalité :

D_p(H_i) = H_(i - 1)

.
d) Écrire la matrice

M_p

représentative de

D_p

dans la base

U_p

.
e) Préciser la ou les valeurs propres de

M_p

. Cette matrice est-elle diagonalisable?

5. Application : moment d'ordre $p$ d'une variable aléatoire de Poisson

Soit

p

un entier naturel non nul fixé et

b_0, b_1, \dots, b_p

les réels vérifiant

X^p = b_0 H_0 + b_1 H_1 + \dots + b_p H_p

Par une méthode analogue à celle de la question 3., montrer que la variable aléatoire

Z

définie dans la question 3. admet un moment d'ordre

p

donné par

E(Z^p) = \sum_(i = 0)^p(b_i a^i)/(i!)

.
6. Dans cette question,

p

est un entier naturel non nul et, pour tout entier

i

vérifiant

0 ⩽ i ⩽ p

, on considère l'application

φ_i

E_p

dans

ℝ

qui, à tout élément

Q

E_p

, associe le réel :

φ_i(Q) = \sum_(k = 0)^i(- 1)^(i - k)C_i^k Q(k)

où

C_i^k

désigne le coefficient binomial d'indices

i

k

.
a) Montrer que, pour tout entier

i

vérifiant

0 ⩽ i ⩽ p

, l'application

φ_i

est linéaire.
b) Soit

i

j

deux entiers vérifiant

0 ⩽ i ⩽ p

0 ⩽ j ⩽ p

; établir les égalités :

φ_i(H_i) = 1 et si j \neq i, φ_i(H_j) = 0

c) En déduire, pour tout entier

i

vérifiant

0 ⩽ i ⩽ p

, la relation :

b_i = \sum_(k = 0)^i(- 1)^(i - k)C_i^k k^p

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MATHÉMATIQUES III

EXERCICE

1. Étude d'un ensemble de suites

2. Expression de la probabilité P(B_(n + 1)) à l'aide de u_n

3. Calcul des nombres u_n et P(B_n)

PROBLÈME

Partie A: Image par D d'une fonction de répartition

3. Un exemple

Partie B : Recherche des valeurs propres de D

Partie C : Image par D d'une application polynomiale

3. Application : moment d'ordre 3 d'une variable aléatoire de Poisson

5. Application : moment d'ordre p d'une variable aléatoire de Poisson

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2. Expression de la probabilité $P(B_(n + 1))$ à l'aide de $u_n$

3. Calcul des nombres $u_n$ et $P(B_n)$

Partie A: Image par $D$ d'une fonction de répartition

Partie B : Recherche des valeurs propres de $D$

Partie C : Image par $D$ d'une application polynomiale

5. Application : moment d'ordre $p$ d'une variable aléatoire de Poisson