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BCE Maths appliquees ESCP ECE 2003

Epreuve de maths appliquees - ECE 2003

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctionsAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)StatistiquesIntégrales généralisées
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Banque
BCE
Année
2003
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2003ECE MathématiquesMathématiques 2003

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Description

Annale de maths appliquees BCE ESCP pour la filiere ECE, session 2003.

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ESCP-EAP

OPTION ÉCONOMIQUE

MATHÉMATIQUES III

Jeudi 15 mai 2003 , de 8 h à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE

Soit deux entiers naturels non nuls et leur somme.
Une urne contient initialement boules noires et boules blanches indiscernables au toucher.
On effectue dans cette urne une suite infinie de tirages au hasard d'une boule selon le protocole suivant :
  • si la boule tirée est blanche, elle est remise dans l'urne ;
  • si la boule tirée est noire, elle est remplacée dans l'urne par une boule blanche prise dans une réserve annexe.
    Avant chaque tirage, l'urne contient donc toujours boules.
    On désigne par ( ) un espace probabilisé qui modélise cette expérience et, pour tout entier naturel non nul, on note :
  • l'événement << la -ième boule tirée est blanche > ;
  • la variable aléatoire désignant le nombre de boules blanches tirées au cours des premiers tirages;
  • l'espérance de la variable aléatoire , c'est-à-dire .

1. Étude d'un ensemble de suites

Soit l'ensemble des suites de réels qui vérifient :
a) Soit et deux réels et la suite définie par: .
Déterminer en fonction de et de les valeurs de et pour que la suite appartienne à .
b) Soit une suite appartenant à la suite déterminée à la question précédente et la suite définie par : .
Montrer que la suite est une suite géométrique et expliciter, pour tout entier naturel non nul, puis en fonction de et .

2. Expression de la probabilité à l'aide de

a) Donner, en fonction de et de , les valeurs respectives de la probabilité et du nombre .
b) Calculer la probabilité et vérifier l'égalité : .
c) Soit un entier naturel vérifiant . Montrer que, pour tout entier de l'intervalle , la probabilité conditionnelle est égale à .
En déduire l'égalité : .
d) Soit un entier naturel vérifiant .
Si est un entier de l'intervalle , quel est l'événement ?
Si est un entier de l'intervalle , justifier l'égalité : .
Montrer enfin que l'égalité est encore vérifiée.

3. Calcul des nombres et

a) Soit un entier naturel non nul. Établir, pour tout entier de l'intervalle , l'égalité :
Vérifier cette égalité pour et pour tout entier de l'intervalle .
b) Calculer, pour tout entier naturel non nul, en fonction de et de . En déduire que la suite appartient à l'ensemble étudié dans la question 1 .
c) Donner, pour tout entier naturel non nul, les valeurs de et de en fonction de et .
d) Quelles sont les limites des suites et ?

PROBLÈME

Dans tout le problème, on désigne par l'espace vectoriel des applications continues de dans . À toute application de , on associe l'application de dans définie par :
Les parties et sont indépendantes.
Question préliminaire : est-il un endomorphisme de ?

Partie A: Image par d'une fonction de répartition

  1. Soit une application de . Rappeler les propriétés que doit posséder pour être considérée comme une fonction de répartition.
  2. Soit une application de qui est une fonction de répartition et l'application .
    a) Montrer que est positive.
    b) Prouver, pour tout réel , la double inégalité : .
En déduire que les limites et existent et préciser leurs valeurs.
c) Soit et deux réels vérifiant et l'intégrale : .
Justifier l'égalité : .
d) Prouver alors soigneusement que est une densité de probabilité.

3. Un exemple

On suppose, dans cette question, que est la fonction de répartition d'une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle et on pose : .
Déterminer pour tout réel , en distinguant les cas et . Représenter graphiquement l'application .

Partie B : Recherche des valeurs propres de

Si est un réel, on dit que est une valeur propre de s'il existe une application de , distincte de l'application nulle, vérifiant : .
  1. Soit un réel. On note l'application de définie par : .
Déterminer l'application .
2. En déduire que tout réel strictement supérieur à -1 est une valeur propre de .
3. Soit un réel. On note l'application de définie par : .
Déterminer l'application .
4. En déduire que tout réel strictement inférieur à -1 est une valeur propre de .
5. Le réel -1 est-il une valeur propre de ?

Partie C : Image par d'une application polynomiale

Pour tout entier naturel , on désigne par le sous-espace de dont les éléments sont les applications polynomiales de degré au plus .
On note l'application et, pour tout entier naturel non nul , on note l'application . Soit la suite d'applications polynomiales définie par :
  1. Préciser et montrer que est une base de .
  2. Soit la base canonique de .
    a) Écrire la matrice de passage de la base à la base et calculer la matrice .
    b) Soit des réels et l'application polynomiale .
Quelles sont les coordonnées de dans la base ?
En particulier, vérifier l'égalité : .

3. Application : moment d'ordre 3 d'une variable aléatoire de Poisson

Soit un réel strictement positif et une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre .
a) Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 3 , on pose : .
Transformer à l'aide de la relation : .
En déduire que la série de terme général est convergente et préciser .
b) En déduire que la variable aléatoire admet un moment d'ordre 3 donné par :
  1. Dans cette question, est un entier naturel non nul fixé.
    a) Montrer que, si appartient à appartient aussi à .
On note alors l'endomorphisme de qui, à tout de , associe .
b) Montrer que la famille est une base de .
c) Déterminer et prouver, pour tout entier vérifiant , l'égalité : .
d) Écrire la matrice représentative de dans la base .
e) Préciser la ou les valeurs propres de . Cette matrice est-elle diagonalisable?

5. Application : moment d'ordre d'une variable aléatoire de Poisson

Soit un entier naturel non nul fixé et les réels vérifiant
Par une méthode analogue à celle de la question 3., montrer que la variable aléatoire définie dans la question 3. admet un moment d'ordre donné par .
6. Dans cette question, est un entier naturel non nul et, pour tout entier vérifiant , on considère l'application de dans qui, à tout élément de , associe le réel :
où désigne le coefficient binomial d'indices et .
a) Montrer que, pour tout entier vérifiant , l'application est linéaire.
b) Soit et deux entiers vérifiant et ; établir les égalités :
c) En déduire, pour tout entier vérifiant , la relation : .

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