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BCE Maths appliquees ESCP ECE 2004

Epreuve de maths appliquees - ECE 2004

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéaireRéduction
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Banque
BCE
Année
2004
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2004ECE MathématiquesMathématiques 2004

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Annale de maths appliquees BCE ESCP pour la filiere ECE, session 2004.

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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE
MATHEMATIQUES III

Année 2004
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE

On désigne par l'espace vectoriel et par sa base canonique: .
On pose et , et on désigne respectivement par et les sous-espaces vectoriels de engendrés par et .
Enfin, est la matrice carrée d'ordre 3 à coefficients réels suivante :
  1. Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est .
Déterminer les valeurs propres de ainsi qu'une base de vecteurs propres.
2. Soit l'application linéaire de vers définie par : et .
Montrer que est un isomorphisme et déterminer la matrice de son isomorphisme réciproque relativement aux bases et .
3. (a) Montrer que, si ( ) est un élément de vérifiant l'égalité , les vecteurs et sont nuls.
(b) En déduire que, si ( ) et ( ) sont deux éléments de vérifiant l'égalité , alors on a : et .
4. Pour tout vecteur de dont les coordonnées dans la base sont , on pose :
(a) Prouver que l'application qui à tout vecteur de associe le vecteur , est un endomorphisme de .
(b) Déterminer le noyau de et en déduire que est un automorphisme.
(c) Montrer que la matrice de dans la base peut s'écrire sous la forme :
  1. On suppose, dans cette question, que est une valeur propre de et que est un vecteur propre associé à ; on définit les vecteurs de et de comme dans la question précédente.
    (a) Justifier que la valeur propre n'est pas nulle.
    (b) Utiliser les résultats de la question 3 pour prouver que les vecteurs et sont tous les deux non nuls et que est un vecteur propre de associé à la valeur propre .
  2. Étudier la fonction définie sur par et en donner une représentation graphique.
  3. On suppose, dans cette question, que est une valeur propre de et que est un vecteur propre de associé à .
    (a) Montrer que l'équation d'inconnue suivante : admet deux solutions distinctes et .
    (b) Montrer que et sont des valeurs propres de .
Donner, en fonction de , un vecteur propre de associé à et un vecteur propre de associé à .
8. La matrice est-elle diagonalisable ?

PROBLÈME

Dans tout le problème, désigne un entier naturel vérifiant . Une urne contient 10 boules distinctes . Une expérience aléatoire consiste à y effectuer une suite de tirages d'une boule avec remise, chaque boule ayant la même probabilité de sortir à chaque tirage. Cette expérience est modélisée par un espace probabilisé ( ).

Partie I : Etude du nombre de tirages nécessaires pour obtenir au moins une fois chacune des boules

On suppose que le nombre de tirages nécessaires pour obtenir au moins une fois chacune des boules définit une variable aléatoire .
  1. Cas particulier .
Montrer que la variable aléatoire suit une loi géométrique; préciser son paramètre, son espérance et sa variance.
2. On suppose que est supérieur ou égal à 2 .
(a) Calculer la probabilité pour que les boules sortent dans cet ordre aux premiers tirages.
(b) En déduire la probabilité .
(c) Préciser l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire .
3. On suppose encore que est supérieur ou égal à 2 . Pour tout entier vérifiant , on désigne par la variable aléatoire représentant le nombre de tirages nécessaires pour que, pour la première fois, boules distinctes parmi les boules soient sorties (en particulier, on a : ).
On pose: et, pour tout vérifiant .
On admet que les variables aléatoires sont indépendantes.
(a) Exprimer la variable aléatoire à l'aide des variables aléatoires .
(b) Interpréter concrètement la variable aléatoire pour tout vérifiant .
(c) Montrer que, pour tout vérifiant , la variable aléatoire suit une loi géométrique; préciser son espérance et sa variance.
(d) On pose : et
Exprimer l'espérance et la variance de à l'aide de et de .
4. (a) Si est un entier naturel non nul, préciser le minimum et le maximum de la fonction sur l'intervalle et en déduire un encadrement de l'intégrale .
(b) Si est supérieur ou égal à 2 , donner un encadrement de et en déduire la double inégalité :
(c) Si supérieur ou égal à 2 , établir par une méthode analogue à celle de la question précédente, la double inégalité :
En déduire un encadrement de .

Partie II : Etude du nombre de boules distinctes parmi les boules tirées au moins une fois au cours des premiers tirages

Pour tout entier supérieur ou égal à 1 , on suppose que le nombre de boules distinctes parmi les boules tirées au moins une fois au cours des premiers tirages, définit une variable aléatoire sur ( ); on note l'espérance de et on pose .
Pour tout entier naturel non nul et pour tout entier naturel , on note la probabilité de l'événement [ ] et on pose : .
  1. Etude des cas particuliers et .
    (a) Déterminer la loi de et donner son espérance.
    (b) On suppose, dans cette question, que est supérieur ou égal à 2 .
Déterminer la loi de et montrer que son espérance est donnée par :
2. Établir, pour tout entier naturel non nul et pour tout entier naturel au plus égal à , l'égalité :
Vérifier que cette égalité reste vraie dans le cas où est supérieur ou égal à .
3. Pour tout entier naturel non nul , on définit le polynôme par : pour tout réel ,
(a) Préciser les polynômes et .
(b) Calculer et exprimer en fonction de ( désignant la dérivée du polynôme ).
(c) En utilisant l'égalité (1), établir, pour tout réel et pour tout entier naturel non nul, la relation suivante :
(d) En dérivant membre à membre l'égalité (2), former, pour tout entier naturel non nul, une relation entre les espérances et .
En déduire, pour tout entier naturel , la valeur de en fonction de et de .
4. (a) Pour tout entier naturel , le polynôme désigne la dérivée du polynôme .
En utilisant une méthode semblable à celle de la question précédente, trouver pour tout entier naturel non nul, une relation entre et .
En déduire que, pour tout entier naturel non nul, l'égalité suivante :
(b) Calculer, pour tout entier naturel , la variance de la variable aléatoire en fonction de et de .

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