BCE Maths appliquees ESSEC ECE 2002

CONCOURS D'ADMISSION DE 2002

Lundi 6 Mai 2002 de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

On désigne par un nombre entier supérieur à 1 et par un nombre réel strictement positif. L'objet du problème est d'étudier la rentabilité d'un investissement en fonction du taux d'intérêt ce qui conduit à l'étude dans les parties II et III des équations suivantes pour :

Dans la partie I, on étudie la première de ces équations dans deux cas particuliers ( et 3 ).

) Résolution numérique de l'équation
On considère dans cette question la fonction définie pour par :

a) Montrer que l'équation a une et une seule racine réelle appartenant à , 1 [, et préciser la valeur de cette racine .
b) Montrer, si désigne un nombre réel appartenant à , que appartient à .
c) Calculer la dérivée de et prouver l'inégalité suivante pour :

d) On considère la suite définie par et .

Prouver l'inégalité suivante et la convergence de la suite vers :

) Résolution numérique de l'équation
On considère dans cette question la fonction définie pour par :

a) Montrer que l'équation a une seule racine réelle appartenant à .
b) Montrer, si désigne un nombre réel appartenant à , que appartient à .
c) Calculer les dérivées et de , et en déduire le maximum de la valeur absolue de pour appartenant à .
d) On considère la suite définie par et .

Majorer en fonction de et prouver la convergence de la suite ( ) vers .

) Etude de l'équation
On note la fonction polynôme définie par : .
a) Montrer que l'équation possède une racine strictement positive et une seule, puis montrer que celle-ci appartient à ]0, lorsque .
b) Montrer la relation .

a) Montrer que et en déduire que la suite ( ) est strictement décroissante.

En déduire que la suite ( ) converge vers un nombre réel appartenant à [ 0,1 [.
b) Montrer que , puis que lorsque où est un entier naturel non nul. En choisissant , en déduire la limite de la suite ( ) lorsque tend vers , puis, à l'aide de la relation (*), exprimer la limite en fonction de .

On convient alors de poser , et tend donc vers 0 lorsque tend vers .
c) Etablir à l'aide de la relation (*) l'égalité suivante :

En déduire les limites de et de lorsque tend vers , puis déterminer à l'aide de la relation (*) un équivalent de en fonction de et .

On considère un investissement qui nécessite l'apport initial d'une somme l'année 0 , puis qui rapporte ensuite la même somme pendant chacune des années suivantes, c'est à dire pendant les années ..

Lorsque le taux d'intérêt des placements est supposé constant au cours du temps et égal à , on sait que le placement d'une somme à l'issue de l'année 0 conduit à une somme à l'issue de l'année , à une somme à l'issue de l'année
Dans ce contexte, on obtiendra une somme à l'issue de l'année si et seulement si on obtient une somme à l'issue de l'année 0 (puisque le placement d'une telle somme conduit précisément à l'obtention de la somme à l'issue de années de placement). Aussi appellera-t-on dans ce contexte valeur présente de la somme la somme .

a) Montrer que la valeur présente (à la fin de l'année 0 ) de l'investissement décrit ci-dessus est égale, compte tenu de la dépense initiale et des revenus attendus, à :

L'investissement précédent est alors réalisé si et seulement si l'inégalité VP( ) est vérifiée, c'est à dire s'il est financièrement plus intéressant de réaliser l'investissement projeté que de placer la somme au taux d'intérêt des placements comme on l'a décrit plus haut.
b) Montrer que l'équation possède une racine strictement positive et une seule si , et donner l'expression de celle-ci en fonction de et montrer que l'investissement décrit est réalisé si et seulement si .
c) Préciser le sens de variation et la limite de la suite ( ), puis exprimer cette limite en fonction de et et préciser un équivalent de l'erreur faite en remplaçant par .

) Etude de l'équation
On note la fonction polynôme définie par : .
a) Montrer que l'équation possède une racine strictement positive et une seule, puis montrer que celle-ci appartient à lorsque .
b) Montrer la relation (**) : .
) Racine positive de l'équation
a) Montrer que et en déduire que la suite est strictement décroissante.

En déduire que la suite converge vers un nombre réel appartenant à .
b) Montrer que pour où est un nombre entier tel que .

En déduire la limite de la suite ( ) lorsque tend vers , et, à l'aide de la relation (**), exprimer la limite en fonction de .

On modifie les hypothèses précédentes et on suppose désormais que l'investissement considéré, qui nécessite toujours l'apport initial d'une somme l'année 0 , rapporte de plus en plus pendant chacune des années suivantes, comme suit : une somme l'année 1 , une somme l'année 2 , une somme l'année , une somme l'année .

a) Montrer que la valeur présente (à la fin de l'année 0 ) de l'investissement décrit est égale à :

L'investissement précédent est alors réalisé si et seulement si l'inégalité VP( ) est vérifiée.
b) Montrer que l'équation possède une racine strictement positive et une seule lorsque , puis donner l'expression de celle-ci en fonction de et montrer que l'investissement décrit est réalisé si et seulement si .
c) Préciser le sens de variation et la limite de la suite ( ), puis exprimer cette limite en fonction de et .