BCE Maths appliquées ESSEC ECE 2001Sujet

Epreuve de maths appliquées - ECE 2001

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Annale de maths appliquées BCE ESSEC pour la filiere ECE, session 2001.

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CONCOURS D'ADMISSION DE 2001

Option économique

MATHEMATIQUES III

Mercredi 2 Mai 2001 de 8 h à 12 h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE 1 (Etude d'une suite de nombres réels)
On étudie dans cet exercice la suite (

S_n

) définie pour

n \geq 1

par :

à S_n = 1 + 1/4 + 1/9 + \dots + 1/(n^2) c'est à dire S_n = \sum_(k = 1)^n 1/(k^2).

A cet effet, on introduit pour tout nombre entier

k \geq 0

les deux intégrales suivantes :

I_k = \int_0^(π/2)cos^(2k)(t)dt; J_k = \int_0^(π/2)t^2 cos^(2k)(t)dt

$1^\circ$ ) Convergence de la suite ( $J_k/I_k$ )

a) Etablir l'inégalité suivante pour tout nombre réel

t

tel que

0 \leq t \leq π/2

t \leq π/2sin(t).

b) Etablir l'inégalité suivante pour tout nombre entier

k \geq 0

0 \leq J_k \leq (π^2)/4(I_k - I_(k + 1)).

c) Exprimer

I_(k + 1)

en fonction de

I_k

en intégrant par parties l'intégrale

I_(k + 1)

(on pourra poser

u^'(t) = cos(t)

v(t) = cos^(2k + 1)(t)

dans l'intégration par parties).
d) Déduire des résultats précédents que

J_k/I_k

tend vers 0 quand

k

tend vers

+ \infty

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DE VERSAILLES VAL D'OISE-VVELINES

$2^\circ$ ) Convergence et limite de la suite ( $S_n$ )

a) Exprimer

I_k

en fonction de

J_k

J_(k - 1)

en intégrant deux fois par parties l'intégrale

I_k(k \geq 1)

.
b) En déduire la relation suivante pour

k \geq 1

(J_(k - 1))/(I_(k - 1)) - (J_k)/(I_k) = 1/(2k^2).

c) Calculer

J_0

I_0

, puis déterminer la limite

S

de la suite (

S_n

).
d) Etablir l'inégalité suivante pour tout nombre entier

k \geq 2

1/k - 1/(k + 1) \leq 1/(k^2) \leq 1/(k - 1) - 1/k

En déduire un encadrement de

S_(n + p) - S_n

pour

n \geq 1

p \geq 1

, puis de

S - S_n

, et montrer que :

0 \leq S_n - S + 1/n \leq 1/(n^2).

Autrement dit,

S_n + 1/n

constitue une valeur approchée de

S

1/(n^2)

près.
e) Ecrire un programme en PASCAL calculant et affichant une valeur approchée du nombre

S

10^(- 6)

près.

EXERCICE 2 (Algèbre linéaire et étude d'une marche aléatoire)
Cet exercice a pour but l'étude d'une marche aléatoire sur les sommets d'un triangle, ce qui fait l'objet de la partie II. Dans la partie I, on aborde des questions préliminaires d'algèbre linéaire.

Partie I

On associe à tout triplet

(x, y, z)

de nombres réels la matrice

M(x, y, z)

définie par :

M(x, y, z) = [x, y, z; z, x, y; y, z, x]

La matrice

M(1, 0, 0)

n'est autre que la matrice identité

I_3

et la matrice

M(0, 1, 0)

est notée

J

1^\circ

) L'espace vectoriel

E

des matrices

M(x, y, z)

a) Calculer les matrices

J^2

J^3

.
b) Etablir que l'ensemble

E

des matrices de la forme

M(x, y, z)

où

(x, y, z)

décrit

ℝ^3

constitue un sous-espace vectoriel de l'espace

M_3(ℝ)

des matrices carrées d'ordre 3 .
c) Etablir que (

I_3, J, J^2

) forme une base de

E

2^\circ

) Matrices inversibles de l'espace vectoriel

E

a) Calculer le produit

M(x, y, z) \times M(x^', y^', z^')

et montrer que celui-ci est élément de

E

. Les matrices

M(x, y, z)

M(x^', y^', z^')

commutent-elles?
b) En déduire l'égalité suivante :

M(x, y, z) \times M(x^2 - yz, z^2 - xy, y^2 - zx) = 1/2(x + y + z)[(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2]I_3

c) Etablir qu'une condition suffisante pour que

M(x, y, z)

soit inversible est que

x, y, z

soient tels que

x + y + z \neq 0

et pas tous égaux. Quelle est alors la matrice inverse de

M(x, y, z)

?
d) Etablir enfin que cette condition suffisante d'inversibilité est également nécessaire.

3^\circ

) Eléments propres des matrices

M(x, y, z)

a) Etablir qu'un nombre réel

λ

est valeur propre de

M(x, y, z)

si et seulement si

M(x - λ, y, z)

n'est pas inversible.
b) Montrer que

x + y + z

est valeur propre de

M(x, y, z)

et préciser le sous-espace propre associé.
c) On suppose ici que

y \neq z

. Montrer que

M(x, y, z)

n'a pas d'autre valeur propre. La matrice

M(x, y, z)

est-elle diagonalisable?
d) On suppose ici que

y = z

. Montrer sans calcul que

M(x, y, y)

est diagonalisable, et préciser quelles sont ses valeurs propres.

4^\circ

) Diagonalisation des matrices

M(x, y, y)

a) Calculer les produits matriciels suivants :

M(x, y, y)[1; 1; 1]; M(x, y, y)[+ 1; - 1; 0]; M(x, y, y)[+ 1; 0; - 1]

b) Déterminer deux matrices

P

P^(- 1)

inverses l'une de l'autre telles que :

P^(- 1)M(x, y, y)P = [x + 2y, 0, 0; 0, x - y, 0; 0, 0, x - y].

c) En déduire la relation suivante pour tout nombre entier naturel

n

[M(x, y, y)]^n = 1/3(x + 2y)^n M(1, 1, 1) + 1/3(x - y)^n M(2, - 1, - 1)

Partie II

On désigne dans toute cette partie par

p

un nombre réel tel que

0 < p < 1/2

et on considère la marche aléatoire d'un point

S

sur les sommets d'un triangle

ABC

.
A l'instant initial

t = 0

, le point

S

est en

A

, et il se déplace ensuite selon les règles suivantes :

Si $S$ est à l'instant $n$ au sommet $A$ du triangle : il est à l'instant $n + 1$ au sommet $B$ avec la probabilité $p$ , au sommet $C$ avec la probabilité $p$ , ou encore au sommet $A$ avec la probabilité $1 - 2p$ .
Si $S$ est à l'instant $n$ au sommet $B$ du triangle : il est à l'instant $n + 1$ au sommet $C$ avec la probabilité $p$ , au sommet $A$ avec la probabilité $p$ , ou encore au sommet $B$ avec la probabilité $1 - 2p$ .
Si $S$ est à l'instant $n$ au sommet $C$ du triangle : il est à l'instant $n + 1$ au sommet $A$ avec la probabilité $p$ , au sommet $B$ avec la probabilité $p$ , ou encore au sommet $C$ avec la probabilité $1 - 2p$ .

Pour tout nombre entier naturel

n

, on désigne enfin par :

$A_n$ l'événement "le point $S$ est au sommet $A$ à l'instant $n$ " et par $a_n$ sa probabilité.
$B_n$ l'événement "le point $S$ est au sommet $B$ à l'instant $n$ " et par $b_n$ sa probabilité.
$C_n$ l'événement "le point $S$ est au sommet $C$ à l'instant $n$ " et par $c_n$ sa probabilité.
$1^\circ$ ) Calcul des probabilités $a_n, b_n, c_n$
a) Exprimer à l'aide de la formule des probabilités totales les probabilités $a_(n + 1), b_(n + 1), c_(n + 1)$ en fonction des probabilités $a_n, b_n, c_n$ .
b) En déduire une matrice $M$ telle qu'on ait pour tout nombre entier naturel $n$ :

[a_(n + 1); b_(n + 1); c_(n + 1)] = M[a_n; b_n; c_n]

c) En déduire en fonction de

p

les probabilités

a_n, b_n, c_n

et leurs limites quand

n

tend vers

+ \infty

$2^\circ$ ) Nombres moyens des passages en $A, B, C$ entre les instants 1 et $n$

a) On désigne dans cette question par

X_n

la variable aléatoire prenant la valeur 1 lorsque

S

est au sommet

A

à l'instant

n

, et prenant la valeur 0 sinon..
Interpréter la variable aléatoire

X_1 + X_2 + \dots + X_n

et son espérance

m_n = E(X_1 + X_2 + \dots + X_n)

, puis établir que :

m_n = 1/3[n + 2(1 - 3p)(1 - (1 - 3p)^n)/(3p)]

Donner un équivalent de

m_n

lorsque

n

tend vers

+ \infty

.
b) Déterminer les espérances des nombres de passage du point

S

au sommet

B

et au sommet

C

entre les instants 1 et

n

(compris).

3^\circ

) Instant moyen du premier passage du point

S

aux sommets

B

C

a) Déterminer la probabilité conditionnelle de l'événement

B_(n + 1)

sachant que l'événement

B¯_n

(événement contraire de

B_n

) est réalisé.
b) On note

T_B

la variable aléatoire indiquant l'instant où, pour la première fois, le point

S

est au sommet

B

. Déterminer la loi de

T_B

, puis l'espérance

E(T_B)

T_B

.
c) Que dire de

T_C

, variable aléatoire indiquant l'instant où, pour la première fois, le point

S

est au sommet

C

1
ESSEC BUSINESS SCHOOL
ETARLISSEMENTS PRIVES D'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ASSOCIATION LOI 1901.
ACCREDITES AACSB - THE INTERNATIONAL ASSOCIATION FOR MANAGEMENT EDUCATION
AFFILIES A LA CHAMBRE DE COMMERCE ET D'INDUSTRIE DE VERSAILLES VAL D'OISE-YVELINES
eque en plowinger
D
$(ACTING FIRST)/(more on pounder)$

ALTI ACTING FIRST
$(thisti)/(ACTING EISUST)$

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Option économique

MATHEMATIQUES III

1^∘ ) Convergence de la suite ( J_k/I_k )

2^∘ ) Convergence et limite de la suite ( S_n )

Partie I

Partie II

2^∘ ) Nombres moyens des passages en A, B, C entre les instants 1 et n

Commentaires• BCE Maths appliquées ESSEC ECE 2001

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$1^\circ$ ) Convergence de la suite ( $J_k/I_k$ )

$2^\circ$ ) Convergence et limite de la suite ( $S_n$ )

$2^\circ$ ) Nombres moyens des passages en $A, B, C$ entre les instants 1 et $n$