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BCE Maths appliquees ESSEC ECE 2001

Epreuve de maths appliquees - ECE 2001

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctionsIntégrales généraliséesAlgèbre linéaireRéduction
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Banque
BCE
Année
2001
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2001ECE MathématiquesMathématiques 2001

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Description

Annale de maths appliquees BCE ESSEC pour la filiere ECE, session 2001.

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CONCOURS D'ADMISSION DE 2001

Option économique

MATHEMATIQUES III

Mercredi 2 Mai 2001 de 8 h à 12 h
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
EXERCICE 1 (Etude d'une suite de nombres réels)
On étudie dans cet exercice la suite ( ) définie pour par :
à
A cet effet, on introduit pour tout nombre entier les deux intégrales suivantes :

) Convergence de la suite ( )

a) Etablir l'inégalité suivante pour tout nombre réel tel que :
b) Etablir l'inégalité suivante pour tout nombre entier :
c) Exprimer en fonction de en intégrant par parties l'intégrale (on pourra poser et dans l'intégration par parties).
d) Déduire des résultats précédents que tend vers 0 quand tend vers .
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) Convergence et limite de la suite ( )

a) Exprimer en fonction de et en intégrant deux fois par parties l'intégrale .
b) En déduire la relation suivante pour :
c) Calculer et , puis déterminer la limite de la suite ( ).
d) Etablir l'inégalité suivante pour tout nombre entier :
En déduire un encadrement de pour et , puis de , et montrer que :
Autrement dit, constitue une valeur approchée de à près.
e) Ecrire un programme en PASCAL calculant et affichant une valeur approchée du nombre à près.
EXERCICE 2 (Algèbre linéaire et étude d'une marche aléatoire)
Cet exercice a pour but l'étude d'une marche aléatoire sur les sommets d'un triangle, ce qui fait l'objet de la partie II. Dans la partie I, on aborde des questions préliminaires d'algèbre linéaire.

Partie I

On associe à tout triplet de nombres réels la matrice définie par :
La matrice n'est autre que la matrice identité et la matrice est notée .
) L'espace vectoriel des matrices
a) Calculer les matrices et .
b) Etablir que l'ensemble des matrices de la forme où décrit constitue un sous-espace vectoriel de l'espace des matrices carrées d'ordre 3 .
c) Etablir que ( ) forme une base de .
) Matrices inversibles de l'espace vectoriel
a) Calculer le produit et montrer que celui-ci est élément de . Les matrices et commutent-elles?
b) En déduire l'égalité suivante :
c) Etablir qu'une condition suffisante pour que soit inversible est que soient tels que et pas tous égaux. Quelle est alors la matrice inverse de ?
d) Etablir enfin que cette condition suffisante d'inversibilité est également nécessaire.
) Eléments propres des matrices
a) Etablir qu'un nombre réel est valeur propre de si et seulement si n'est pas inversible.
b) Montrer que est valeur propre de et préciser le sous-espace propre associé.
c) On suppose ici que . Montrer que n'a pas d'autre valeur propre. La matrice est-elle diagonalisable?
d) On suppose ici que . Montrer sans calcul que est diagonalisable, et préciser quelles sont ses valeurs propres.
) Diagonalisation des matrices
a) Calculer les produits matriciels suivants :
b) Déterminer deux matrices et inverses l'une de l'autre telles que :
c) En déduire la relation suivante pour tout nombre entier naturel :

Partie II

On désigne dans toute cette partie par un nombre réel tel que et on considère la marche aléatoire d'un point sur les sommets d'un triangle .
A l'instant initial , le point est en , et il se déplace ensuite selon les règles suivantes :
  • Si est à l'instant au sommet du triangle : il est à l'instant au sommet avec la probabilité , au sommet avec la probabilité , ou encore au sommet avec la probabilité .
  • Si est à l'instant au sommet du triangle : il est à l'instant au sommet avec la probabilité , au sommet avec la probabilité , ou encore au sommet avec la probabilité .
  • Si est à l'instant au sommet du triangle : il est à l'instant au sommet avec la probabilité , au sommet avec la probabilité , ou encore au sommet avec la probabilité .
Pour tout nombre entier naturel , on désigne enfin par :
  • l'événement "le point est au sommet à l'instant " et par sa probabilité.
  • l'événement "le point est au sommet à l'instant " et par sa probabilité.
  • l'événement "le point est au sommet à l'instant " et par sa probabilité.
    ) Calcul des probabilités
    a) Exprimer à l'aide de la formule des probabilités totales les probabilités en fonction des probabilités .
    b) En déduire une matrice telle qu'on ait pour tout nombre entier naturel :
c) En déduire en fonction de les probabilités et leurs limites quand tend vers .

) Nombres moyens des passages en entre les instants 1 et

a) On désigne dans cette question par la variable aléatoire prenant la valeur 1 lorsque est au sommet à l'instant , et prenant la valeur 0 sinon..
Interpréter la variable aléatoire et son espérance , puis établir que :
Donner un équivalent de lorsque tend vers .
b) Déterminer les espérances des nombres de passage du point au sommet et au sommet entre les instants 1 et (compris).
) Instant moyen du premier passage du point aux sommets ou
a) Déterminer la probabilité conditionnelle de l'événement sachant que l'événement (événement contraire de ) est réalisé.
b) On note la variable aléatoire indiquant l'instant où, pour la première fois, le point est au sommet . Déterminer la loi de , puis l'espérance de .
c) Que dire de , variable aléatoire indiquant l'instant où, pour la première fois, le point est au sommet ?
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