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BCE Maths appliquees ESSEC ECE 2002

Epreuve de maths appliquees - ECE 2002

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Algèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctionsInformatiqueStatistiques
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Banque
BCE
Année
2002
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2002ECE MathématiquesMathématiques 2002

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Description

Annale de maths appliquees BCE ESSEC pour la filiere ECE, session 2002.

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Epreuve maths 3 voie économique

EXERCICE 1 : algèbre linéaire et probabilités

Dans cet exercice, on désigne par un nombre entier naturel non nul et par l'espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à .
  1. Étude d'un endomorphisme de
    a : On associe à toute fonction polynôme P la fonction définie sur par :
  • Montrer que la fonction est une fonction polynôme admettant 1 pour racine.
  • Montrer que la fonction est une fonction polynôme de même degré que lorsque .
    b : On considère l'application associant à toute fonction polynôme appartenant à la fonction polynôme définie ci-dessus.
    Montrer que est un endomorphisme de . Est-il injectif? surjectif?
    : Déterminer les images par des fonctions polynômes pour , puis en déduire la matrice de dans la base canonique de .
    d: Quelles sont les valeurs propres de ? est-il diagonalisable?
  1. Étude des éléments propres de l'endomorphisme
    a: Déterminer les fonctions propres de associée à la valeur propre 1 .
    b : On considère une valeur propre de et une fonction polynôme propre associée .
    Montrer que, pour tout nombre réel :
En déduire, si , que 1 est nécessairement racine de .
: Déterminer les images par des fonctions polynômes pour et montrer que ( ) est une base de .
d: On considère une fonction polynôme exprimée comme suit dans la base précédente:
Montrer que , calculer puis pour . Déterminer pour tout nombre réel la limite de quand tend vers et en déduire en particulier que, si , la limite de quand tend vers est égale à 1 .
3) Application à une marche aléatoire
Un individu se déplace sur les points d'abscisse selon les règles suivantes :
  • il est au point d'abscisse à l'instant 0 .
  • il est au point d'abscisse à l'instant , il est de façon équiprobable en l'un des points d'abscisses à l'instant .
Pour tout nombre entier naturel , on désigne par la variable aléatoire indiquant l'abscisse du point où se trouve l'individu à l'instant et par , son espérance.
a : Exprimer à l'aide du théorème des probabilités totales la probabilité où en fonction des probabilités .
b : En déduire une matrice carrée telle que où désigne la matrice-colonne dont les éléments sont du haut vers le bas .
: Exprimer le produit matriciel en fonction de . En multipliant l'égalité à gauche par la matrice-ligne ( ), exprimer en fonction de puis préciser en fonction de ainsi que sa limite.
d : Préciser , puis donner en fonction de et de .
En déduire, à l'aide de la question 2.d que les composantes de ont pour limites (de haut en bas) quand tend vers puis interpréter ce résultat.

EXERCICE 2 : probabilités et simulation informatique

On considère une suite de lancers successifs (supposés indépendants) d'une pièce de monnaie, pour laquelle la probabilité d'apparition de pile, noté P , est et celle de face, noté , est , avec et , et on s'intéresse à l'apparition de deux piles consécutifs.
Par exemple, si l'on considère les seize premiers lancers suivants :
F P P F P P P F P F P P P P P F
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
deux piles consécutifs sont réalisés aux rangs et 14 , mais non aux rangs 7 , 13 et 15 (car un pile ne peut pas participer à la réalisation de deux piles consécutifs plus d'une fois).
On notera, pour tout entier naturel non nul :
  • l'événement : " deux piles consécutifs sont réalisés au rang n ".
  • l'événement : " deux piles consécutifs sont pour la première fois réalisés au rang ". Enfin on désigne par et les probabilités de ces événements et .
  1. Calcul des probabilités
    a: On a bien sûr . Calculer de plus .
    b : Démontrer, pour tout nombre entier naturel non nul : .
    : On pose, pour tout entier naturel non nul : où vérifie .
    Démontrer que ( ) est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 .
  • En déduire, pour tout nombre entier naturel .
  1. Nombre moyen de réalisations de deux piles consécutifs en lancers
Pour tout entier naturel non nul , on note la variable aléatoire prenant la valeur 1 lorsque l'événement est réalisé, et 0 sinon.
a: Préciser la loi de et son espérance.
b : Que peut-on dire de la variable aléatoire ?
: Déterminer la loi de la variable aléatoire .
d : Déterminer pour tout nombre entier la loi de la variable aléatoire conditionnée par l'événement , c'est à dire les probabilités et l).
e: Interpréter la variable aléatoire .
Donner un équivalent du nombre moyen de réalisations de deux piles consécutifs parmi lancers lorsque tend vers .
3) Calcul récursif des probabilités
a: Justifier l'égalité : .
b : Soit un nombre entier tel que . Que vaut ?
c: En déduire la formule suivante pour tout nombre entier naturel non nul :
(et ce dernier "sigma" est supposé nul pour ). Calculer ainsi .
4) Simulation informatique dans le cas particulier
On peut alors établir à l'aide de la formule précédente (ce qu'on ne demande pas de faire) que
a: Montrer que l'application associant à toute suite de lancers successifs le numéro du jet où l'on obtient pour la première fois un double pile est une variable aléatoire.
b : Déterminer l'espérance de cette variable aléatoire .
c : Le programme Pascal suivant dans lequel on code Pile par 1 et Face par 0 fournit (dans le cas ) une simulation de l'expérience aléatoire précédente.
On signale de plus que :
  • random (3) fournit un nombre entier aléatoire parmi .
  • les lignes d'instruction notées ++++++ sont volontairement incomplètes.
program ESSEC2002;
var n,k : integer ; m:real;
function lancer : integer;
var z : integer;
begin
if random(3)=0 then z:=0
            else z:=1;
lancer:=z;
end;
function attente:integer;
var x,y,k:integer;
begin
x:=lancer;
y:=lancer;
k:=2;
while x*y=0 do
    begin
            ++++++
            ++++++
            ++++++;
    end;
attente: = k;
end;
begin
randomize;
write('Nombre de simulations 1);
readln(n);
m:=0;
for k:=l to n do
rn: =m / n;
write('Moyenne : ' ,m:0:2);
End.
i. On considère l'instruction y :=lancer ;
Quelle est la probabilité que la variable y contienne 1?
ii. Compléter la boucle while de la fonction attente de façon que cette fonction retourne le rang d'apparition du premier double pile.
iii. Compléter la boucle for du programme principal de façon que le programme ESSEC2002 affiche la moyenne du rang d'apparition du premier double pile sur n expériences, le nombre entier naturel non nul étant fourni par 1'utilisateur.
Pour de grandes valeurs de , autour de quelle valeur fluctue le contenu de la variable ?
iv. Réécrire la fonction attente pour que le programme ESSEC2002 affiche la moyenne du rang d'apparition du premier triple pile.

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