BCE Maths appliquées ESSEC ECE 2002Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2002

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Annale de maths appliquées BCE ESSEC pour la filiere ECE, session 2002.

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Epreuve maths 3 voie économique

EXERCICE 1 : algèbre linéaire et probabilités

Dans cet exercice, on désigne par

p

un nombre entier naturel non nul et par

ℝ_p[X]

l'espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à

p

Étude d'un endomorphisme $φ$ de $ℝ_p[X]$
a : On associe à toute fonction polynôme P la fonction $Pˆ$ définie sur $ℝ$ par :

Pˆ(x) = 1/(x - 1)\int_1^x P(t)dt si x \neq 1 et Pˆ(1) = P(1)

Montrer que la fonction $x \to \int_1^x P(t)dt$ est une fonction polynôme admettant 1 pour racine.
Montrer que la fonction $Pˆ$ est une fonction polynôme de même degré que $P$ lorsque $P \neq 0$ .
b : On considère l'application $φ$ associant à toute fonction polynôme $P$ appartenant à $ℝ_p[X]$ la fonction polynôme $Pˆ$ définie ci-dessus.
Montrer que $φ$ est un endomorphisme de $ℝ_p[X]$ . Est-il injectif? surjectif?
$c$ : Déterminer les images par $φ$ des fonctions polynômes $e_k : x \to x^k$ pour $0 ⩽ k ⩽ p$ , puis en déduire la matrice de $φ$ dans la base canonique de $ℝ_p[X]$ .
d: Quelles sont les valeurs propres de $φ$ ? $φ$ est-il diagonalisable?

Étude des éléments propres de l'endomorphisme $φ$
a: Déterminer les fonctions propres de $φ$ associée à la valeur propre 1 .
b : On considère une valeur propre $λ$ de $φ$ et une fonction polynôme propre associée $P$ .
Montrer que, pour tout nombre réel $x$ :

(1 - λ)P(x) = λ(x - 1)P^'(x)

En déduire, si

λ \neq 1

, que 1 est nécessairement racine de

P

c

: Déterminer les images par

φ

des fonctions polynômes

P_k : xrightarrow (x - 1)^k

pour

0 ⩽ k ⩽ p

et montrer que (

P_0, P_l, \dots, P_p

) est une base de

ℝ_p[X]

.
d: On considère une fonction polynôme

P

exprimée comme suit dans la base précédente:

P = a_0 P_0 + a_1 P_1 + \dots + a_p P_p

Montrer que

a_0 = P(1)

, calculer

Φ_1 = φ(P), Φ_2 = (φ \circ φ)(P)

puis

Φ_n = φ^n(P)

pour

n \in ℕ^*

. Déterminer pour tout nombre réel

x

la limite de

Φ_n(x)

quand

n

tend vers

+ \infty

et en déduire en particulier que, si

P(x) = x^p

, la limite de

Φ_n(x)

quand

n

tend vers

+ \infty

est égale à 1 .
3) Application à une marche aléatoire

Un individu se déplace sur les points d'abscisse

0, 1, 2, p

selon les règles suivantes :

il est au point d'abscisse $p$ à l'instant 0 .
il est au point d'abscisse $k(0 ⩽ k ⩽ p)$ à l'instant $n(n \in ℕ)$ , il est de façon équiprobable en l'un des $k + 1$ points d'abscisses $0, 1, \dots, k$ à l'instant $n + 1$ .

Pour tout nombre entier naturel

n

, on désigne par

X_n

la variable aléatoire indiquant l'abscisse du point où se trouve l'individu à l'instant

n

et par

E(X_n)

, son espérance.
a : Exprimer à l'aide du théorème des probabilités totales la probabilité

P(X_(n + 1) = k)

où

0 ⩽ k ⩽ p

en fonction des probabilités

P(X_n = 0), P(X_n = 1), \dotsP(X_n = p)

.
b : En déduire une matrice carrée

M

telle que

U_(n + 1) = MU_n

où

U_n

désigne la matrice-colonne dont les éléments sont du haut vers le bas

P(X_n = 0), P(X_n = 1), \dotsP(X_n = p)

c

: Exprimer le produit matriciel

(0, 1, 2, \dots, p)M

en fonction de

(0, 1, 2, \dots, p)

. En multipliant l'égalité

U_(n + 1) = M.U_n

à gauche par la matrice-ligne (

0, 1, 2, \dots, p

), exprimer

E(X_(n + 1))

en fonction de

E(X_n)

puis préciser

E(X_n)

en fonction de

n

ainsi que sa limite.
d : Préciser

U_0

, puis donner

U_n

en fonction de

M

et de

n

.
En déduire, à l'aide de la question 2.d que les

p + 1

composantes de

U_n

ont pour limites (de haut en bas)

1, 0, 0, \dots, 0

quand

n

tend vers

+ \infty

puis interpréter ce résultat.

EXERCICE 2 : probabilités et simulation informatique

On considère une suite de lancers successifs (supposés indépendants) d'une pièce de monnaie, pour laquelle la probabilité d'apparition de pile, noté P , est

p

et celle de face, noté

F

, est

q

, avec

0 < p < 1

p + q = 1

, et on s'intéresse à l'apparition de deux piles consécutifs.
Par exemple, si l'on considère les seize premiers lancers suivants :

F	P	P	F	P	P	P	F	P	F	P	P	P	P	P	F
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16

deux piles consécutifs sont réalisés aux rangs

3, 6, 12

et 14 , mais non aux rangs 7 , 13 et 15 (car un pile ne peut pas participer à la réalisation de deux piles consécutifs plus d'une fois).
On notera, pour tout entier naturel

n

non nul :

$A_n$ l'événement : " deux piles consécutifs sont réalisés au rang n ".
$B_n$ l'événement : " deux piles consécutifs sont pour la première fois réalisés au rang $n$ ". Enfin on désigne par $a_n$ et $b_n$ les probabilités de ces événements $A_n$ et $B_n$ .

Calcul des probabilités $a_n$
a: On a bien sûr $a_1 = 0$ . Calculer de plus $a_2, a_3, a_4$ .
b : Démontrer, pour tout nombre entier naturel $n$ non nul : $a_(n + 2) = p^2 a_n + qp^2$ .
$c$ : On pose, pour tout entier naturel $n$ non nul : $u_n = a_n - c$ où $c$ vérifie $c = p^2 c + qp^2$ .
Démontrer que ( $u_n$ ) est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 .

En déduire, pour tout nombre entier naturel $n : a_n = p/(1 + p)(p + (- p)^n)$ .

Nombre moyen de réalisations de deux piles consécutifs en $n$ lancers

Pour tout entier naturel

n

non nul , on note

X_n

la variable aléatoire prenant la valeur 1 lorsque l'événement

A_n

est réalisé, et 0 sinon.
a: Préciser la loi de

X_n

et son espérance.
b : Que peut-on dire de la variable aléatoire

X_n X_(n + l)

c

: Déterminer la loi de la variable aléatoire

X_n X_(n + 2)

.
d : Déterminer pour tout nombre entier

k ⩾ 1

la loi de la variable aléatoire

X_(n + k)

conditionnée par l'événement

X_n = 1

, c'est à dire les probabilités

P(X_(n + k) = 0/X_n = 1)

P(X_(n + k) = 1/X_n =

l).
e: Interpréter la variable aléatoire

X_1 + X_2 + \dots + X_n

.
Donner un équivalent du nombre moyen

m_n

de réalisations de deux piles consécutifs parmi

n

lancers lorsque

n

tend vers

+ \infty

.
3) Calcul récursif des probabilités

b_n

a: Justifier l'égalité :

P(A_n) = \sum_(k = 1)^n P(A_n \cap B_k)

.
b : Soit

k

un nombre entier tel que

1 ⩽ k ⩽ n

. Que vaut

P(A_n/B_k)

?
c: En déduire la formule suivante pour tout nombre entier naturel non nul

n

a_n = b_n + \sum_(k = 1)^(n - 1)b_k a_(n - k)

(et ce dernier "sigma" est supposé nul pour

n = 1

). Calculer ainsi

b_2, b_3, b_4, b_5

.
4) Simulation informatique dans le cas particulier

p = 2/3

On peut alors établir à l'aide de la formule précédente (ce qu'on ne demande pas de faire) que

\foralln ⩾ 1 b_n = 4/9[(2/3)^(n - 1) - (- 1/3)^(n - 1)]

a: Montrer que l'application

T

associant à toute suite de lancers successifs le numéro du jet où l'on obtient pour la première fois un double pile est une variable aléatoire.
b : Déterminer l'espérance

E(T)

de cette variable aléatoire

T

.
c : Le programme Pascal suivant dans lequel on code Pile par 1 et Face par 0 fournit (dans le cas

p = 2/3

) une simulation de l'expérience aléatoire précédente.
On signale de plus que :

random (3) fournit un nombre entier aléatoire parmi $0, 1, 2$ .
les lignes d'instruction notées ++++++ sont volontairement incomplètes.

program ESSEC2002;
var n,k : integer ; m:real;
function lancer : integer;
var z : integer;
begin
if random(3)=0 then z:=0
            else z:=1;
lancer:=z;
end;
function attente:integer;
var x,y,k:integer;
begin
x:=lancer;
y:=lancer;
k:=2;
while x*y=0 do
    begin
            ++++++
            ++++++
            ++++++;
    end;
attente: = k;
end;
begin
randomize;
write('Nombre de simulations 1);
readln(n);
m:=0;
for k:=l to n do
rn: =m / n;
write('Moyenne : ' ,m:0:2);
End.

i. On considère l'instruction y :=lancer ;

Quelle est la probabilité que la variable y contienne 1?
ii. Compléter la boucle while de la fonction attente de façon que cette fonction retourne le rang d'apparition du premier double pile.
iii. Compléter la boucle for du programme principal de façon que le programme ESSEC2002 affiche la moyenne du rang d'apparition du premier double pile sur n expériences, le nombre entier naturel non nul

n

étant fourni par 1'utilisateur.
Pour de grandes valeurs de

n

, autour de quelle valeur fluctue le contenu de la variable

m

?
iv. Réécrire la fonction attente pour que le programme ESSEC2002 affiche la moyenne du rang d'apparition du premier triple pile.

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