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BCE Maths appliquées ESSEC ECE 2003Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2003

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Annale de maths appliquées BCE ESSEC pour la filiere ECE, session 2003.

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ESSEC option Eco 2003 Maths III

Exercice 1 Suites récurrentes et algèbre linéaire

Soit a un nombre réel. On note ℝ^ℕ l'ensemble des suites réelles définies sur ℕ, et F le sous- ensemble de ℝ^ℕ formé des suites (u_n)_(n ∈ ℕ) qui vérifient : ∀n ∈ ℕu_(n + 3) = 3au_(n + 1) + (1 − 3a)u_n.
L'objet de ce problème est l'étude de l'ensemble F.
I. Étude du cas particulier a = 1.
Soit (u_n)_(n ∈ ℕ) la suite définie par ses trois premiers termes u_0, u_1, u_2, et la relation de récurrence
∀n ∈ ℕu_(n + 3) = 3u_(n + 1) − 2u_n
Pour tout entier naturel n, on pose : X_n = (u_n; u_(n + 1); u_(n + 2)) et on note M la matrice carrée (0, 1, 0; 0, 0, 1; − 2, 3, 0)
  1. Reconnaître, pour tout entier naturel n, le produit MX_n.
En déduire l'expression de X_n en fonction des matrices M, X_0 et de l'entier naturel n.
2. a) Déterminer les valeurs propres de la matrice M et leur sous-espace propre associé.
b) La matrice M est-elle diagonalisable ?
3. On note f l'endomorphisme de ℝ^3 canoniquement associé à M, c'est-à-dire tel que M soit la matrice de f dans la base canonique B de ℝ^3.
a) Déterminer une base B^′ = (e_1^′, e_2^′, e_3^′) telle que la matrice T de f dans B^′ vérifie T = (− 2, 0, 0; 0, 1, 1; 0, 0, 1), et que les vecteurs e_1^′, e_2^′, e_3^′ aient respectivement pour première composante 1,1 et 0 .
b) Déterminer, pour tout entier naturel n, l'expression de T^n
4. Soit P la matrice de passage de la base B à la base B, . Exprimer M en fonction de T, P et P^(− 1), puis M^n en fonction des mêmes matrices et de l'entier naturel n.
5. a) Calculer P^(− 1) (les calculs devront figurer sur la copie)
b) Pour tout entier naturel n, calculer les coefficients de la première ligne de M^n; en déduire l'expression de u_n en fonction de u_0, u_1, u_2 et de l'entier naturel n.

II . Étude du cas général .

On revient au cas général où a est un réel quelconque.

1. Structure de F .

a) Démontrer que F est un sous-espace vectoriel de ℝ^ℕ
b) On considère l'application φ : F → ℝ^3
(u_n)_n → (u_0, u_1, u_2)
Démontrer que φ est un isomorphisme d'espaces vectoriels ; en déduire que F est de dimension finie et préciser sa dimension.
c) Justifier que des suites (u_n)_(n ∈ ℕ), (v_n)_(n ∈ ℕ), (w_n)_(n ∈ ℕ) de F forment une base de F si, et seulement si, la matrice (u_0, v_0, w_0; u_1, v_1, w_1; u_2, v_2, w_2) est inversible.
d) On suppose dans cette question: a = 0.
On note s, s^′, s^(′′) les suites définies par:
s = φ^(− 1)((1, 0, 0)), s^′ = φ^(− 1)((0, 1, 0)), s^(′′) = φ^(− 1)((0, 0, 1))
Déterminer s, s^′, s^(′′) (on donnera les dix premiers termes de chacune de ces trois suites); en déduire la forme générale d'un élément de F.
e) Reprendre la question précédente dans le cas a = 1/3

2. Suites géométriques de F .

a) Démontrer que la suite (r^n)_(n ∈ ℕ) appartient à F si, et seulement si, le réel r est racine de la fonction polynomiale p : x → x^3 − 3ax + 3a − 1
(avec la convention : 0^0 = 1 )
b) Déterminer, en fonction du réel a, le nombre de racines de la fonction p ainsi que leur valeur.

3. Cas où p admet trois racines distinctes.

a) Démontrer que, lorsque la fonction p admet trois racines distinctes 1, r_1 et r_2, les suites (1)_(n ∈ ℕ), (r_1^n)_(n ∈ ℕ) et (r_2^n)_(n ∈ ℕ) forment une base de l'espace vectoriel F
b) Dans le cas où a = 7, exprimer, en fonction de l'entier naturel n, le terme général u_n de la suite, appartenant à F, qui vérifie: u_0 = 1, u_1 = 10, u_2 = − 8

4. Cas où p admet une racine double.

a) Soit r un nombre réel et (u_n)_(n ∈ ℕ) la suite de terme général nr^n. Démontrer que, pour tout n de ℕ :
u_(n + 3) − 3au_(n + 1) − (1 − 3a)u_n = r^n(np(r) + rp^′(r))
b) En déduire que, lorsque p admet une racine double r_0 et une racine simple r_1 la suite (nr_0^n)_(n ∈ ℕ) appartient à F, et démontrer que les suites (r_0^n)_(n ∈ ℕ), (nr_0^n)_(n ∈ ℕ) et (r_1^n)_(n ∈ ℕ) forment une base de F.
c) Dans le cas où a = 1/4, exprimer le terme général u_n d' un élément quelconque (u_n)_(n ∈ ℕ) de F en fonction de u_0, u_1 et u_2 et de l'entier naturel n; préciser la limite de (u_n)_(n ∈ ℕ).

Exercice 2: probabilités et simulation informatique.

I. Exemple introductif.

On effectue des lancers successifs (indépendants) d'un dé cubique équilibré, dont les faces sont numérotées de 1 à 6 , et on note X_1, X_2, …X_n, …, les variables aléatoires donnant le numéro amené par le dé aux premier lancer, deuxième lancer, ... .
Pour tout entier naturel n non nul, on note Y_n, la somme des points obtenus aux n premiers lancers. Enfin, pour tout entier naturel k non nul, la variable aléatoire T_k compte le nombre de celles des variables aléatoires Y_1, Y_2, …, Y_n, … qui prennent une valeur inférieure ou égale à k.
Par exemple, si les cinq premiers numéros amenés par le dé sont, dans l'ordre: 3, 1, 2, 3, 6, alors les événements suivants sont réalisés : (Y_1 = 3), (Y_2 = 4), (Y_3 = 6), (Y_4 = 9), (Y_5 = 15), et les variables aléatoires T_2, T_3, T_9 et T_(12) prennent respectivement pour valeurs 0, 1, 4 et 4 .

1. On s'intéresse dans cette question à la variable aléatoire T_(12).

a) Donner les valeurs prises par T_(12)
(On explicitera un exemple de résultat correspondant à chacune des deux valeurs extrêmes). Quelle est la probabilité que T_(12) prenne la valeur 12 ?
b) Simulation informatique
Compléter les lignes marquées par les symboles . . . du programme Pascal ci-dessous, de façon qu'il simule l'expérience aléatoire étudiée et affiche la valeur de T_(12).
On rappelle que random(6) fournit un entier aléatoire parmi 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Program ESSEC2003A;
var x,y,t:integer;
begin
    randomize;
    y:=0;t:=0;
    repeat
        x:=random(6)+1;
        y:=...;
        t:=...;
    until ...;
    writeln(T=',t);
end.

2. On s'intéresse dans cette question à la variable aléatoire T_2

a) Déterminer la loi de probabilité de T_2.
b) Qu'obtient-on à l'affichage en exécutant le programme ci-dessous ?
program Essec2003B;
var i,d1,d2:integer;
loi:array[0..2] of integer;
begin
    for i:=0 to 2 do loi[il:=0;
    for d1:=1 to 6 do for d2:=1 to 6 do
        if d1 > 2 then loi[0]:=loi[0]+1 else
            if d1+d2 > 2 then loi[1]:=Ioi[1]+1
                else loi[2]:=Ioi[2]+1;
    for i:=0 to 2 do write(loi[i]/36);
end.
Dorénavant, on considère une suite (X_i)_(i ≥ 1) de variables aléatoires, définies sur un même espace probabilisé ( Ω; T; P ), mutuellement indépendantes, de même loi, à valeurs positives ou nulles.
Pour tout entier naturel n non nul, on pose alors : Y_n = X_1 + X_2 + ⋯ + X_n et on note F_n la fonction de répartition de la variable aléatoire Y_n.
On fixe un réel strictement positif x, et on s'intéresse au nombre T_x des variables aléatoires Y_n telles que l'événement ( Y_n ≤ x ) soit réalisé.

II. Cas général.

  1. Démontrer que la suite (F_n(x))_(n ≥ 1) est décroissante.
  2. Démontrer chacune des deux relations suivantes :
  • P(T_x = 0) = 1 − F_1(x)
  • pour tout entier naturel n non nul, P(T_x = n) = F_n(x) − F_(n + 1)(x)
  1. En déduire l'équivalence :
∑_(n = 0)^(+ ∞)P(T_x = n) = 1 ⟺ lim_(n → + ∞)F_n(x) = 0
Autrement dit, T_x est une variable aléatoire si, et seulement si : lim_(n → + ∞)F_n(x) = 0

III. Cas d'une loi géométrique.

Dans cette troisième partie, les variables aléatoires X_i, i ∈ ℕ^∗, suivent la loi géométrique G(p) de paramètre p, (0 < p < 1), et on pose : q = 1 − p.
De plus, x est ici un entier naturel non nul fixé.
On rappelle que, par convention : C_n^m = 0 si n et m sont des entiers naturels tels que m > n.
  1. Loi de Y_n, n ∈ ℕ^∗
    a) Préciser Y_n(Ω)
    b) Par un calcul de loi de somme, déterminer la loi de Y_2, puis celle de Y_3.
    c) Démontrer que, pour tous entiers naturels m et n tels que m ≥ n, on a l'égalité :
∑_(k = n)^m C_k^n = C_(m + 1)^(n + 1)
d) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul :
P(Y_n = k) = C_(k − 1)^(n − 1)q^(k − n)p^n
si k est un entier supérieur ou égal à n.
2. Calcul de P(T_x = n).
a) Justifier que T_x est une variable aléatoire et préciser T_x(Ω). Calculer P(T_x = 0)
b) Vérifier chacune des deux égalités :
F_n(x), = p^n∑_(k = n)^x C_k^n q^(k − n) − qp^n∑_(k = n + 1)^x C_(k − 1)^n q^(k − n − 1); F_(n + 1)(x), = p^(n + 1)∑_(k = n + 1)^x C_(k − 1)^n q^(k − n − 1)
En utilisant II.2. , en déduire le calcul de P(T_x = n) pour n entier supérieur ou égal à 1 .
c) Reconnaître la loi de T_x; préciser son espérance et sa variance.
3. Sachant que les variables aléatoires X_1, X_2… sont des temps d'attente, et en observant que la réalisation de n premiers succès équivaut à la réalisation du n^(ième) succès, donner une interprétation, soigneusement exposée, de chacune des variables aléatoires Y_n et T_x, et retrouver ainsi la loi de T_x.

IV. Cas d'une loi exponentielle.

Dans cette dernière partie, les variables aléatoires X_n suivent la loi exponentielle E(λ) de paramètre λ > 0.
On admettra qu'alors Y_n admet pour densité la fonction f_n définie sur ℝ par :
f_n(t) = {0, si t < 0; (λ^n)/((n − 1)!)e^(− λt)t^(n − 1), si t ≥ 0
  1. À l'aide de II.2. , calculer P(T_x = 0), puis P(T_x = n) pour tout entier naturel n non nul.
  2. Reconnaître la loi de T_x; préciser son espérance et sa variance.

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