J-0
00m
00j
00h
00min
00s

BCE Maths appliquees ESSEC ECE 2003

Epreuve de maths appliquees - ECE 2003

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Suites et séries de fonctionsAlgèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continues
RetourLire
Logo concours BCE - Voir tous les sujets BCE

Voir tous les sujets

Logo concours BCE
🔗 Explorer
Banque
BCE
Année
2003
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2003ECE MathématiquesMathématiques 2003

Téléchargements disponibles

Sujet et rapport

Télécharger le sujet →Rapport du jury → indisponible

Corrigés

Télécharger corrigé →

Lecture et formats

Lire en ligne →LaTeX →Word →

Description

Annale de maths appliquees BCE ESSEC pour la filiere ECE, session 2003.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
5945ccd9-2ac5-4c7c-aeb5-d8b48752802c

ESSEC option Eco 2003 Maths III

Exercice 1 Suites récurrentes et algèbre linéaire

Soit un nombre réel. On note l'ensemble des suites réelles définies sur , et le sous- ensemble de formé des suites qui vérifient : .
L'objet de ce problème est l'étude de l'ensemble .
I. Étude du cas particulier .
Soit la suite définie par ses trois premiers termes , et la relation de récurrence
Pour tout entier naturel , on pose : et on note la matrice carrée
  1. Reconnaître, pour tout entier naturel , le produit .
En déduire l'expression de en fonction des matrices et de l'entier naturel .
2. a) Déterminer les valeurs propres de la matrice et leur sous-espace propre associé.
b) La matrice est-elle diagonalisable ?
3. On note l'endomorphisme de canoniquement associé à , c'est-à-dire tel que soit la matrice de dans la base canonique de .
a) Déterminer une base telle que la matrice de dans vérifie , et que les vecteurs aient respectivement pour première composante 1,1 et 0 .
b) Déterminer, pour tout entier naturel , l'expression de
4. Soit la matrice de passage de la base à la base , . Exprimer en fonction de et , puis en fonction des mêmes matrices et de l'entier naturel .
5. a) Calculer (les calculs devront figurer sur la copie)
b) Pour tout entier naturel , calculer les coefficients de la première ligne de ; en déduire l'expression de en fonction de et de l'entier naturel .

II . Étude du cas général .

On revient au cas général où est un réel quelconque.

1. Structure de F .

a) Démontrer que est un sous-espace vectoriel de
b) On considère l'application
Démontrer que est un isomorphisme d'espaces vectoriels ; en déduire que est de dimension finie et préciser sa dimension.
c) Justifier que des suites de forment une base de si, et seulement si, la matrice est inversible.
d) On suppose dans cette question: .
On note les suites définies par:
Déterminer (on donnera les dix premiers termes de chacune de ces trois suites); en déduire la forme générale d'un élément de .
e) Reprendre la question précédente dans le cas

2. Suites géométriques de F .

a) Démontrer que la suite appartient à si, et seulement si, le réel est racine de la fonction polynomiale
(avec la convention : )
b) Déterminer, en fonction du réel , le nombre de racines de la fonction ainsi que leur valeur.

3. Cas où p admet trois racines distinctes.

a) Démontrer que, lorsque la fonction admet trois racines distinctes et , les suites et forment une base de l'espace vectoriel
b) Dans le cas où , exprimer, en fonction de l'entier naturel , le terme général de la suite, appartenant à , qui vérifie:

4. Cas où p admet une racine double.

a) Soit un nombre réel et la suite de terme général . Démontrer que, pour tout de :
b) En déduire que, lorsque admet une racine double et une racine simple la suite appartient à , et démontrer que les suites et forment une base de .
c) Dans le cas où , exprimer le terme général d' un élément quelconque de en fonction de et et de l'entier naturel ; préciser la limite de .

Exercice 2: probabilités et simulation informatique.

I. Exemple introductif.

On effectue des lancers successifs (indépendants) d'un dé cubique équilibré, dont les faces sont numérotées de 1 à 6 , et on note , les variables aléatoires donnant le numéro amené par le dé aux premier lancer, deuxième lancer, ... .
Pour tout entier naturel non nul, on note , la somme des points obtenus aux premiers lancers. Enfin, pour tout entier naturel non nul, la variable aléatoire compte le nombre de celles des variables aléatoires qui prennent une valeur inférieure ou égale à .
Par exemple, si les cinq premiers numéros amenés par le dé sont, dans l'ordre: , alors les événements suivants sont réalisés : , et les variables aléatoires et prennent respectivement pour valeurs et 4 .

1. On s'intéresse dans cette question à la variable aléatoire .

a) Donner les valeurs prises par
(On explicitera un exemple de résultat correspondant à chacune des deux valeurs extrêmes). Quelle est la probabilité que prenne la valeur 12 ?
b) Simulation informatique
Compléter les lignes marquées par les symboles . . . du programme Pascal ci-dessous, de façon qu'il simule l'expérience aléatoire étudiée et affiche la valeur de .
On rappelle que random(6) fournit un entier aléatoire parmi .
Program ESSEC2003A;
var x,y,t:integer;
begin
    randomize;
    y:=0;t:=0;
    repeat
        x:=random(6)+1;
        y:=...;
        t:=...;
    until ...;
    writeln(T=',t);
end.

2. On s'intéresse dans cette question à la variable aléatoire

a) Déterminer la loi de probabilité de .
b) Qu'obtient-on à l'affichage en exécutant le programme ci-dessous ?
program Essec2003B;
var i,d1,d2:integer;
loi:array[0..2] of integer;
begin
    for i:=0 to 2 do loi[il:=0;
    for d1:=1 to 6 do for d2:=1 to 6 do
        if d1 > 2 then loi[0]:=loi[0]+1 else
            if d1+d2 > 2 then loi[1]:=Ioi[1]+1
                else loi[2]:=Ioi[2]+1;
    for i:=0 to 2 do write(loi[i]/36);
end.
Dorénavant, on considère une suite de variables aléatoires, définies sur un même espace probabilisé ( ), mutuellement indépendantes, de même loi, à valeurs positives ou nulles.
Pour tout entier naturel non nul, on pose alors : et on note la fonction de répartition de la variable aléatoire .
On fixe un réel strictement positif , et on s'intéresse au nombre des variables aléatoires telles que l'événement ( ) soit réalisé.

II. Cas général.

  1. Démontrer que la suite est décroissante.
  2. Démontrer chacune des deux relations suivantes :
  • pour tout entier naturel non nul,
  1. En déduire l'équivalence :
Autrement dit, est une variable aléatoire si, et seulement si :

III. Cas d'une loi géométrique.

Dans cette troisième partie, les variables aléatoires , suivent la loi géométrique de paramètre , et on pose : .
De plus, est ici un entier naturel non nul fixé.
On rappelle que, par convention : si et sont des entiers naturels tels que .
  1. Loi de
    a) Préciser
    b) Par un calcul de loi de somme, déterminer la loi de , puis celle de .
    c) Démontrer que, pour tous entiers naturels et tels que , on a l'égalité :
d) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul :
si est un entier supérieur ou égal à .
2. Calcul de .
a) Justifier que est une variable aléatoire et préciser . Calculer
b) Vérifier chacune des deux égalités :
En utilisant II.2. , en déduire le calcul de pour entier supérieur ou égal à 1 .
c) Reconnaître la loi de ; préciser son espérance et sa variance.
3. Sachant que les variables aléatoires sont des temps d'attente, et en observant que la réalisation de premiers succès équivaut à la réalisation du succès, donner une interprétation, soigneusement exposée, de chacune des variables aléatoires et , et retrouver ainsi la loi de .

IV. Cas d'une loi exponentielle.

Dans cette dernière partie, les variables aléatoires suivent la loi exponentielle de paramètre .
On admettra qu'alors admet pour densité la fonction définie sur par :
  1. À l'aide de II.2. , calculer , puis pour tout entier naturel non nul.
  2. Reconnaître la loi de ; préciser son espérance et sa variance.

Pas de description pour le moment