J-0
00m
00j
00h
00min
00s

BCE Maths appliquees ESSEC ECE 2012

Epreuve de maths appliquees - ECE 2012

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Probabilités continuesProbabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSéries entières (et Fourier)
RetourLire
Logo concours BCE - Voir tous les sujets BCE

Voir tous les sujets

Logo concours BCE
🔗 Explorer
Banque
BCE
Année
2012
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2012ECE MathématiquesMathématiques 2012

Téléchargements disponibles

Sujet et rapport

Télécharger le sujet →Rapport du jury →

Corrigés

Télécharger corrigé →

Lecture et formats

Lire en ligne →LaTeX →Word →

Description

Annale de maths appliquees BCE ESSEC pour la filiere ECE, session 2012.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
6e06d602-4e34-43a9-b436-a92e8d928ca4

BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES

CONCOURS D'ADMISSION DE 2012

Concepteur : ESSEC

OPTION ÉCONOMIQUE

MATHEMATIQUES

Jeudi 10 mai de 14 h à 18 h

Abstract

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Ce problème comporte trois parties relativement indépendantes.
Dans la première partie on étudie les lois log-normales. On s'intéresse dans la partie II à une modélisation du cours d'une action appelée modèle binomial ou de Cox-Ross-Rubinstein et à son comportement asymptotique. Dans la troisième partie, on établit la formule de Black et Scholes, pour le prix d'une option dans le modèle limite obtenu dans la partie II.

Notations et DÉFINITIONS

  • Les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont toutes définies sur le même espace probabilisé ( ).
  • On note la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
  • On note respectivement et l'espérance et la variance d'une variable aléatoire , lorsque celles-ci existent.
  • Soit un réel et un réel strictement positif. On dit qu'une variable aléatoire suit la loi lognormale de paramètres si est à valeurs strictement positives et si suit la loi normale de paramètres . On écrit alors .

Partie I - Quelques propriétés des lois log-normales

On note dans cette partie un réel et un réel strictement positif.
Soit une variable aléatoire réelle suivant la loi log-normale de paramètres ( ).
On pourra dans la suite utiliser la variable aléatoire .
  1. Soit et deux réels, étant différent de 0 . On rappelle que si est une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètres , alors suit aussi une loi normale.
    Quels en sont les paramètres?
  2. Cas où .
On suppose dans cette question 2 que .
(a) Densité.
Exprimer la fonction de répartition de en fonction de .
En déduire que est une variable aléatoire à densité et que la fonction définie par
est une densité de probabilité de .
(b) Espérance.
i. Établir l'existence de et l'égalité .
ii. En utilisant le changement de variable , en déduire en fonction de .
(c) Variance.
i. Soit un réel non nul. Montrer que suit une loi log-normale dont on précisera les paramètres.
ii. En déduire que admet une variance et que .
3. On reprend le cas général : .
(a) Soit un réel strictement positif.
Montrer que suit une loi log-normale de paramètres .
(b) Justifier l'existence de , de , et établir :

Partie II - Le modèle binomial de Cox-Ross-Rubinstein

Soit un entier naturel non nul.
On souhaite modéliser l'évolution du cours d'une action entre les dates 0 et fixé, strictement positif. On suppose qu'initialement ce cours est et si l'on note la valeur aléatoire de ce cours à la date , on a la relation :
ù
  • est une constante réelle strictement positive liée au rendement moyen de l'action sur une durée égale à ;
  • est une constante réelle strictement positive appelée volatilité de l'action sur la durée ;
  • est une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi uniforme sur (autrement dit, ).
    On suppose que est assez grand pour que .
    On admet que sont des variables aléatoires discrètes.
    On note la variable aléatoire , qui modélise le cours de l'action à l'instant .
  1. Simulation de la variable aléatoire .
    (a) Quelles sont les valeurs que peut prendre l'expression Pascal : random(2)-1?
    (b) Dans la déclaration de fonction qui suit, remplacer les «... » par des expressions Pascal pour que la fonction ainsi déclarée simule la variable aléatoire .
function C(n:integer;mu,v:real):real;
var k:integer; tmp:real;
begin
    tmp:=1;
    for k:= ... to ... do
        tmp:=tmp* ... ;
    C:= ... ;
end;
  1. (a) Calculer l'espérance et la variance commune aux .
    (b) i. Montrer l'égalité : .
    ii. En déduire que et .
    (c) Déterminer et montrer que .
Déterminer les paramètres de la loi log-normale ayant pour espérance la première limite et pour variance la seconde.
6. (a) Expliciter un couple de réels tel que:
(b) En déduire que .
(c) Établir la convergence en loi, quand tend vers , de vers la loi normale centrée réduite. On énoncera précisément le théorème utilisé.
7. (a) Rappeler le développement limité à l'ordre 2 de la fonction au voisinage de 0 .
(b) Déterminer les développements limités à l'ordre 2 au voisinage de 0 des fonctions et .
(c) Montrer que: et .
En déduire que est strictement positif à partir d'un certain rang.
On suppose dans la suite que cette condition est réalisée.
8. On note la fonction de répartition de et la fonction de répartition de .
Soit un réel. On pose .
(a) Soit un réel strictement positif.
i. Établir l'existence d'un réel strictement positif tel que
ii. Montrer qu'il existe un entier naturel tel que, pour tout :
iii. Montrer qu'il existe un entier naturel tel que, pour tout :
iv. Montrer que , et en déduire que, pour assez grand, on a:
(b) En conclure que la suite de variables aléatoires converge en loi vers une variable aléatoire suivant une loi normale dont on précisera les paramètres.
9. Démontrer que converge en loi vers une variable aléatoire de loi log-normale de paramètres .

Partie III - La formule de Black et Scholes

Soit un réel strictement positif.
À la date 0 , un investisseur achète sur un marché une option sur une action dont la date d'échéance est et le prix d'exercice , un réel strictement positif.
  • Si à la date , le cours de l'action est supérieur ou égal à , il peut acheter l'action au prix et la revendre au prix ;
  • dans le cas contraire, son option n'a plus de valeur à la date .
Le but de cette partie est de donner une valeur raisonnable au prix d'achat de l'option, que l'on note .
On fait les hypothèses suivantes :
  • On choisit comme unité le cours de l'action à la date 0 c'est-à-dire qu'à cet instant le cours de l'action vaut 1 .
  • Le cours de l'action à la date est une variable aléatoire qui suit une loi log-normale de paramètres .
  • On suppose qu'il existe sur le marché un actif non risqué dont le taux de rentabilité entre les dates 0 et vaut , où est un réel strictement positif.
  • On définit la fonction sur par, pour tout réel, .
  1. (a) Justifier que la valeur de l'option à la date est .
    (b) Si au lieu d'acheter l'option, l'investisseur avait placé à la date 0 son prix d'achat sur l'actif non risqué, quel serait la valeur de son placement à la date ?
    (c) En déduire qu'il convient de poser si l'on veut que ces deux stratégies aient la même rentabilité moyenne.
    Dans les questions suivantes, c'est cette valeur de que l'on utilise.
  2. (a) Montrer que est continue sur .
    (b) Établir l'existence de et l'égalité
  1. (a) Montrer l'égalité :
(b) On suppose que , ce qui signifie que le rendement moyen de l'action et de l'actif non risqué sont identiques.
Établir la formule de Black-Scholes :
  1. Dans la pratique, le prix de l'option est fixé par le marché et vaut , où est un réel strictement positif. On pose , de sorte que le prix d'échéance vaut .
    On appelle alors volatilité implicite de l'action, tout réel positif , s'il en existe, tel que :
On définit alors la fonction sur .
(a) Montrer que est de classe sur et que pour tout ,
Dresser le tableau de variations de en y faisant figurer les limites en 0 et en .
On distinguera les cas et .
(b) Déterminer pour quelles valeurs de il existe une volatilité implicite et prouver alors qu'elle est unique.
En conclure finalement que l'on peut définir la volatilité implicite si et seulement si :

Pas de description pour le moment