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BCE Maths appliquees ESSEC ECE 2013

Epreuve de maths appliquees - ECE 2013

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesStatistiquesAlgèbre linéaireSuites et séries de fonctionsIntégrales généralisées
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Banque
BCE
Année
2013
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2013ECE MathématiquesMathématiques 2013

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Description

Annale de maths appliquees BCE ESSEC pour la filiere ECE, session 2013.

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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

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BANQUE COMMUNE D'EPREUVES
CONCOURS D'ADMISSION DE 2013
Concepteur : ESSEC

OPTION ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES

Vendredi 10 mai de 14 h à 18 h
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Toutes les variables aléatoires de ce problème sont définies sur le même espace probabilisé ( ).

Introduction

On s'intéresse dans ce problème à la détermination de lois de probabilité composées qui interviennent en particulier dans la gestion du risque en assurance et en théorie de la ruine.
On étudie le modèle suivant :
  • le nombre de sinistres à prendre en charge par une compagnie d'assurances sur une période donnée est une variable aléatoire à valeurs dans ;
  • les coûts des sinistres successifs sont modélisés par une suite de variables aléatoires . On suppose que les variables sont à valeurs dans , indépendantes et identiquement distribuées, et sont indépendantes de ;
  • On pose, pour tout , et est la variable certaine de valeur 0 ;
  • la charge sinistrale totale pour la compagnie d'assurance sur une période est donnée par la variable aléatoire définie par :
et l'on précise que si prend la valeur 0 .
On dit que suit une loi composée.
  • Pour tout entier naturel , on pose et .

Partie I - Des exemples

Dans cette partie I, on suppose que les variables suivent la loi de Bernoulli de paramètre , où est un réel de l'intervalle .
  1. Pour dans , quelle est la loi de ?
  2. Pour tout entier naturel , établir : .
  3. Dans cette question 3 , on suppose que suit la loi binomiale de paramètres , entier naturel, et , réel dans .
    Soit un entier naturel.
    (a) Justifier que si .
    (b) Établir : si .
    (c) Vérifier : pour tous entiers tels que .
    (d) En déduire, pour tout .
    (e) Montrer finalement que suit une loi binomiale et préciser ses paramètres en fonction de et .
  4. On suppose dans cette question 4 que suit la loi de Poisson de paramètre , réel strictement positif.
    (a) Montrer que pour tout entier naturel , on a :
(b) En déduire que suit une loi de Poisson, et préciser son paramètre en fonction de et .

Partie II - La loi binomiale négative

On généralise la définition des coefficients binômiaux aux nombres réels en posant, pour tout réel et tout entier , et .
5. Écrire une fonction récursive en Pascal d'entête function cb(y:real;k:integer):real qui calcule .
6. La formule du binôme négatif.
Soit un réel strictement positif, et un réel de .
(a) Pour tout entier naturel , on pose .
En utilisant une formule de Taylor, établir :
(b) Vérifier que pour tout .
En déduire l'encadrement : .
(c) i. Montrer, pour tout dans .
ii. Montrer que pour tout réel positif, .
iii. Établir, pour tout entier naturel .
En déduire: .
iv. Montrer que pour tout dans .
En déduire : .
(d) En conclure que la série est convergente, et établir la formule du binôme négatif :
  1. Soit un réel de et un réel strictement positif. Montrer que la suite de nombres définie par définit une loi de probabilité d'une variable aléatoire à valeurs dans . On l'appelle loi binomiale négative de paramètres et .
  2. Si est une variable aléatoire suivant la loi binomiale négative de paramètres 1 et , reconnaître la loi de .
  3. Espérance et variance.
Soit une variable aléatoire suivant la loi binomiale négative de paramètres réel strictement positif et .
(a) Montrer : pour tout entier .
(b) Montrer que admet une espérance et que l'on a : .
(c) Montrer que admet une variance et que l'on a : .
On pourra commencer par calculer l'espérance de .

Partie III - Les lois de Panjer

On reprend les notations du début du problème : la variable aléatoire à valeurs dans a sa loi donnée par pour .
On suppose dans toute la suite du sujet que la loi de vérifie la relation de Panjer : il existe deux réels et , avec et , tels que
On dira alors que suit la loi .
10. Détermination des lois de Panjer.
(a) Montrer que pour tout entier strictement positif, on a : .
(b) Dans cette question, on suppose que .
Montrer que suit une loi de Poisson de paramètre .
(c) Dans cette question, on suppose que .
i. Montrer qu'il existe un unique entier naturel , tel que : et , .
On pourra raisonner par l'absurde, et supposer les tous strictement positifs.
ii. Montrer : .
iii. Établir que pour tout .
En déduire que .
iv. En conclure que suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres en fonction de et .
(d) Dans cette question, on suppose que .
i. Montrer que pour tout entier naturel , on a : .
ii. En déduire que suit une loi binomiale négative et préciser ses paramètres en fonction de et .
11. Montrer que, dans tous les cas, admet une espérance et une variance, et qu'elles sont données par : et .

Partie IV - L'algorithme de Panjer

  • On reprend les notations de l'introduction du sujet et de la partie III.
  • Si est un événement et une variable aléatoire, on note, si elle existe, l'espérance de la loi conditionnelle de sachant .
  1. Pour tout , exprimer en fonction de puis établir que .
  2. Soit .
    (a) Soit , que vaut ? En déduire : .
    (b) Établir : .
    (c) Montrer que pour tout :
(d) En conclure : , puis :
Cette formule permet de calculer récursivement les nombres et ainsi de déterminer la loi de .
14. Des exemples d'application.
(a) Dans cette question, les variables suivent la loi de Bernoulli de paramètre .
i. Montrer que pour tout .
En déduire que suit une loi de Panjer.
ii. Retrouver les résultats des questions 3 et 4 de la partie I.
(b) Dans cette question, on suppose que , rappelons que cela entraîne que suit la loi de Poisson de paramètre .
Soit un réel de l'intervalle .
i. Montrer qu'il existe un unique réel tel que la famille de nombre définie par définisse une loi de probabilité d'un variable aléatoire à valeurs dans (loi logarithmique discrète). On pose .
On suppose que les variables suivent cette loi de probabilité.
ii. Montrer que pour tout entier , on a : .
iii. En utilisant un changement d'indice, établir pour tout , puis montrer que cette égalité est encore vérifiée pour .
iv. Conclure que suit une loi binomiale négative et préciser ses paramètres en fonction de et .

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