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BCE Maths appliquees ESSEC ECE 2016

Epreuve de maths appliquees - ECE 2016

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Probabilités continuesStatistiquesProbabilités finies, discrètes et dénombrementFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)InformatiqueNombres complexes et trigonométrie, calculs, outils
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Banque
BCE
Année
2016
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2016ECE MathématiquesMathématiques 2016

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Description

Annale de maths appliquees BCE ESSEC pour la filiere ECE, session 2016.

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5ef2e974-9e4c-4a47-9a3d-d49152a10329

Conception : ESSEC

OPTION Economique

MATHÉMATIQUES

Vendredi 6 mai 2016, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une régle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
On s'intéresse dans ce problème à deux mesures du risque utilisées par les marchés financiers.
Pour cela, on considère des variables aléatoires sur un espace probabilisé ( ) qui modélisent des pertes financières subies par des acteurs économiques sur une période donnée.
Toutes les variables aléatoires définies dans ce problème sont des variables aléatoires sur cet espace probabilisé.
Soit l'ensemble des variables aléatoires réelles à densité vérifiant :
  • admet une espérance, notée .
  • Il existe un intervalle (dont on admet l'unicité) sur lequel la fonction de répartition de , notée , réalise une bijection de classe strictement croissante de sur .
    On note la bijection réciproque, définie de sur . Les notations et seront utilisées dans tout le sujet.
Dans tout le problème est un réel appartenant à et représentant un niveau de confiance.

Partie I - Définition et propriétés de la «Value at Risk»

  1. Soit . Montrer qu'il existe un unique réel tel que , et que l'on a : .
  • On définit alors , appelé la «Value at Risk» au niveau de confiance de , par . C'est une grandeur qui permet d'évaluer le risque pris par l'acteur qui détient l'actif dont les pertes sont modélisées par .
  • On remarque que est égale au capital minimal qu'il faut détenir pour être en mesure de couvrir les pertes de l'actif associé à avec une probabilité égale à .
  1. On suppose que dans cette question que est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre .
    (a) Rappeler la valeur de pour tout réel .
    (b) En déduire que , et que l'on a .
  2. On suppose dans cette question que et sont deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi normale de paramètres et pour , et de paramètres et pour .
    On note la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et la densité usuelle de cette loi.
    (a) i. Justifier que réalise une bijection de sur [. On note la bijection réciproque.
    ii. Pour tout , exprimer en fonction de et .
    iii. En déduire que et que .
    (b) Quelle est la loi de ?
En déduire en fonction de et .
(c) Pour quels a-t-on ?
4. Soit une variable aléatoire appartenant à un réel, et un réel strictement positif.
On pose et et on admet que et appartiennent à .
(a) Montrer que .
(b) Montrer que .
5. Soit et deux variables aléatoires appartenant à et telles que pour tout .
(a) Comparer, pour tout réel et .
(b) En déduire que .

Partie II - Estimation de la valeur de

Dans la pratique la loi de n'est pas totalement connue et on a besoin d'avoir une idée assez précise de la «Value at Risk» ne connaissant qu'un certain nombre de valeurs de cette variable.
On modélise cette situation en supposant, dans cette partie, que la loi de dépend d'un paramètre inconnu appartenant à un sous-ensemble de ou , que où est une fonction définie sur et que pour tout .
On utilise aussi les hypothèses et notations suivantes:
  • est une suite de variables aléatoires réelles appartenant à , mutuellement indépendantes, de même loi que .
  • pour tout et , on ordonne dans l'ordre croissant et on note alors les valeurs obtenues.
    En particulier est la plus petite des valeurs et la plus grande.
  • on admet que pour tout et , les sont des variables aléatoires.
  • pour tout réel et tout entier naturel non nul , on définit la variable aléatoire ainsi : pour tout est le nombre d'indices compris entre 1 et tels que l'on ait .
  1. Montrer que pour tout et tout suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. En déduire l'espérance et la variance de .
  2. Montrer que pour tout et :
  1. Soit et .
    (a) Montrer que pour tout , il y a égalité entre les événements et .
    (b) En déduire que pour tout :
et que est une variable aléatoire réelle à densité.
9. Soit une suite de variables aléatoires et un réel. On suppose que pour tout :
On considère une suite convergente de réels et on pose .
(a) Établir que :
(b) On suppose que et on pose .
En remarquant que , montrer qu'à partir d'un certain rang, .
En déduire que .
(c) Montrer de même que si .
10. On définit pour tout tel que , la variable aléatoire sur ( ) par où désigne la partie entière de et on pose .
Soit .
(a) Montrer que : .
(b) En déduire que :
(c) En déduire que .
Que peut-on en déduire concernant l'estimateur de ?
11. On suppose que l'on a défini une fonction d'en-tête function triCroissant (T) qui renvoie le tableau des valeurs se trouvant dans T rangées dans l'ordre croissant. Par exemple, si alors disp(triCroissant(T)) affiche :
ans
  • 1 . 0.0 .2 . 2. 3. 4.
Ecrire une fonction Scilab d'entête function , beta) qui renvoie la valeur de l'estimation obtenue avec l'estimateur pour si le tableau X contient la réalisation de l'échantillon et beta la valeur de .

Partie III - L' «Expected Shortfall » (ES)

On conserve les notations de la partie 1.
Pour qu'une mesure de risque soit acceptable, on souhaite qu'elle vérifie un certain nombre de propriétés.
On dit qu'une fonction définie sur à valeurs réelles est une mesure de risque cohérente sur si elle vérifie les quatre propriétés :
;
;
( , si pour tout alors ;
( ) , telles que .
12. Montrer que l'espérance est une mesure de risque cohérente sur .
13. La «Value at Risk » est-elle une mesure de risque cohérente sur pour toute valeur de ? On détaillera si chacune des propriétés de ( ) à ( ) est satisfaite ou non.
Soit une variable aléatoire appartenant à , admettant une densité . On définit l'«Expected Shortfall» de de niveau de confiance par
Le but de cette partie est de démontrer que, pour tout est une mesure de risque cohérente sur , assez « proche» de .
14. Soit une variable aléatoire appartenant à .
(a) Montrer que est bien définie, et que .
(b) À l'aide du changement de variable , établir :
On pourra ainsi utiliser (1) ou (2) au choix dans la suite pour définir .
15. (a) Montrer que vérifie la propriété .
(b) Montrer que vérifie la propriété .
16. On suppose dans cette question que suit la loi exponentielle de paramètre .
(a) Montrer que : .
(b) En déduire que .
17. On suppose dans cette question que suit la loi normale centrée réduite.
(a) Montrer .
(b) Pour tout , établir l'égalité : .
(c) Montrer que, pour tout .
En déduire que : .
(d) En conclure que l'on a aussi dans ce cas : .
Dans les questions qui suivent, est une variable aléatoire appartenant à .
  • On note la fonction définie par, .
  • On admet que si et sont deux variables aléatoires telles que, et existe alors existe et .
  • On note pour tout événement 𝟙 la variable aléatoire indicatrice de l'événement . Rappelons qu'il s'agit de la variable aléatoire prenant la valeur 1 si est réalisé, et la valeur 0 sinon.
  1. (a) Montrer que admet une espérance, et que l'on a :
où désigne une densité de .
(b) En déduire :
  1. En utilisant la méthode de Monte-Carlo, dont on supposera la validité, et la fonction VaR définie dans la question 11, écrire une fonction Scilab qui calcul une valeur approchée de à partir de la réalisation d'un échantillon de taille de la loi de dont les valeurs se trouvent dans le tableau Scilab X et de la valeur de se trouvant dans la variable Scilab beta.
  2. Soit une variable aléatoire telle que : et .
    (a) Justifier l'égalité entre variables aléatoires : 𝟙.
    (b) Montrer que existe et établir l'égalité :
𝟙
(c) En déduire que .
Comment choisir pour que ?
21. On note l'ensemble des variables aléatoires sur telles que et . Justifier l'égalité : .
22. Démontrer que, pour tout , la fonction est une mesure de risque cohérente sur .

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