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BCE Maths appliquees HEC ECE 2003

Epreuve de maths appliquees - ECE 2003

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesSuites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)StatistiquesInformatique
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Banque
BCE
Année
2003
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2003ECE MathématiquesMathématiques 2003

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Description

Annale de maths appliquees BCE HEC pour la filiere ECE, session 2003.

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ÉCOLE DES HAUTES ÉTUDES COMMERCIALES

OPTION ÉCONOMIQUE

MATHÉMATIQUES II

Mardi 13 mai 2003 , de 8 h à 12 h.

Abstract

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'objet du problème est l'étude de la rentabilité du «surbooking » pour une compagnie aérienne.

Partie I: Expression de l'espérance du chiffre d'affaire

Dans cette partie, est un entier naturel non nul, un entier supérieur ou égal à 2 , et un réel strictement compris entre 0 et 1 .
Une compagnie aérienne a vendu billets à cent euros pour le vol 714 qui peut accueillir jusqu'à passagers. La probabilité pour qu'un acheteur se présente à l'embarquement est et les comportements des acheteurs sont supposés indépendants les uns des autres.
Un acheteur qui ne se présente pas à l'embarquement est remboursé à , tandis qu'un acheteur qui se présente à l'embarquement mais n'obtient pas de place, le vol étant déjà complet, est remboursé à . Soit la variable aléatoire désignant le nombre d'acheteurs d'un billet se présentant à l'embarquement, soit la variable aléatoire désignant le nombre d'acheteurs d'un billet se présentant à l'embarquement mais n'obtenant pas de place et soit la variable aléatoire désignant le montant en centaines d'euros du chiffre d'affaire de la compagnie sur le vol considéré.
On suppose ces variables aléatoires définies sur le même espace de probabilité ( ).
  1. Quelle est la loi de ? Donner son espérance et sa variance.
  2. Préciser, pour tout élément de , la valeur de en fonction de et de , en distinguant les cas et .
  3. Écrire l'expression de en fonction de .
  4. On suppose, dans cette question seulement, que est inférieur ou égal à . Calculer alors l'espérance de la variable aléatoire .
    La compagnie cherche alors à évaluer la probabilité et à savoir si le nombre aurait pu être choisi de façon à optimiser son chiffre d'affaire.

Partie II : Approximations dans des cas particuliers

On reprend, dans cette partie les notations et les définitions de la Partie I.
  1. On suppose, dans cette question, que est égal à 0,5 .
    a) Soit la variable aléatoire définie par : .
Donner l'espérance et la variance de la variable aléatoire .
b) Par quelle loi approcher la loi de si est assez grand? Montrer qu'alors une valeur approchée de la probabilité est ,
où désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
c) Pour tout réel supérieur ou égal à 1, on pose : .
Montrer que la fonction est croissante.
d) On suppose que est égal à 320 et on donne : .
Que peut-on en déduire pour si est inférieur ou égal à 645 , puis si est supérieur ou égal à 646 ?
2. Pour tout entier naturel non nul , on considère la fonction définie sur par
a) Montrer que la fonction dérivée de est définie sur par : .
Montrer qu'elle vérifie la double inégalité :
b) En déduire que, si et sont deux réels vérifiant , on a :
  1. On suppose, dans cette question, que est égal à 0,99 et que est strictement supérieur à .
    a) Préciser la loi de la variable aléatoire .
    b) On supposera, dans les prochains calculs, que la loi de la variable aléatoire peut être remplacée par la loi de Poisson de paramètre dont on note la fonction de répartition. Que vaut alors ?
    c) Exprimer le nombre à l'aide d'une fonction particulière de la question 2.
    d) On suppose que est égal à 300 .
Pour tout réel strictement positif , on note la fonction de répartition de la loi de Poisson de paramètre et on donne :
Montrer que, si est égal à est au plus égal à 0,5 et que, si est égal à 303 , est strictement supérieur à 0,6 .

Partie III : Étude d'une suite de variables aléatoires

On suppose, dans cette partie, que est un entier naturel supérieur ou égal à 2 , que un réel strictement compris entre 0 et 1 et que est une suite de variables aléatoires de Bernoulli de paramètre , indépendantes, définies sur un espace de probabilité ( ).
Pour tout entier naturel non nul, on pose et on définit sur ( ) les variables aléatoires et par :
  1. a) Soit un entier naturel non nul. Préciser la loi de .
    b) Que peut-on dire de la variable aléatoire dans le cas ?
    c) Calculer l'espérance de la variable aléatoire .
    d) Préciser les valeurs que peut prendre dans le cas .
    e) Pour tout entier naturel non nul, comparer les événements et . En déduire que la suite est monotone et convergente.
    f) Prouver, pour tout entier naturel non nul et tout réel strictement positif , l'inégalité :
g) Déterminer la limite : ; en déduire l'égalité : .
2. Soit un entier naturel non nul.
a) Montrer que la variable est une variable de Bernoulli et justifier l'égalité des événements et .
b) En déduire les égalités :
c) Étudier la variation sur de la fonction .
d) Montrer que, si est inférieur ou égal à , la suite est croissante.
3. On suppose, dans cette question, que est strictement supérieur à .
a) Comparer les nombres et 1 , puis montrer qu'il existe un entier naturel supérieur ou égal à , vérifiant :
b) En déduire que la valeur maximale de la suite est obtenue pour . On note cette valeur maximale.
c) Calculer et en déduire l'inégalité : .
4. On suppose à nouveau, dans cette question, que est strictement supérieur à .
a) Justifier, pour tout entier naturel non nul, l'inégalité : .
b) Établir, pour tout entier naturel supérieur ou égal à , l'égalité :
c) En déduire, pour , les inégalités puis .
d) Comparer les nombres et .
e) En déduire l'inégalité : .
5. On suppose, dans cette question, que est égal à 0,5 et que est égal à 320 .
En remarquant que, pour fixé, la variable aléatoire suit la même loi que la variable aléatoire de la partie I. et en exploitant les résultats de la question 1. de la Partie II., déterminer la valeur de et donner un encadrement pour .
6. On suppose, dans cette question, que est égal à 0,99 et que est égal à 300 .
On a alors .
En exploitant les résultats de la question 3. de la Partie II., déterminer la valeur de et donner un encadrement pour .

Partie IV : Programmation des calculs utiles

On reprend, dans cette partie, les notations et les définitions de la Partie III.
  1. Pour tout couple d'entiers naturel, on définit un nombre réel de la façon suivante :
a) Donner la valeur de pour tout entier naturel .
b) Prouver, pour tout couple d'entiers naturels non nuls, l'égalité :
c) Tracer un tableau donnant les valeurs de pour et , dans le cas particulier où est égal à 0,5 .
2. Un programme écrit en Pascal comporte les déclarations suivantes :
CONST p=0.5 ;
        N=320 ;
VAR A :ARRAY[O..N] OF REAL;
PROCEDURE Init;
    VAR j :INTEGER;
    BEGIN
            A[0] :=1 ;
            FOR j := 1 TO N DO A[j] :=0
    END ;
PROCEDURE Calcul;
    VAR j :INTEGER ;
    BEGIN
            FOR j := N DOWNTO 1 DO A[j] :=(1-p)*A[j]+p*A[j-1]
    END ;
a) Soit un entier naturel non nul. On suppose que, dans le programme principal, la procédure Init est appelée une fois et la procédure Calcul fois : que contient le tableau A après exécution du programme?
b) Écrire un programme principal faisant appel aux procédures ci-dessus, permettant de calculer et d'afficher les nombres et définis dans la question 3.a de la Partie III.

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