BCE Maths appliquées HEC ECE 2004, épreuve 2Sujet, corrigé et rapport du jury

Epreuve de maths appliquées - ECE 2004

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Annale de maths appliquées BCE HEC pour la filiere ECE, session 2004.

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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES
MATH II ECONOMIQUE

Dans tout le problème, on considère une suite infinie de lancers d'une pièce équilibrée, c'est-à-dire pour laquelle, à chaque lancer, les apparitions de «pile» et de « face» sont équiprobables.
On admet que l'expérience est modélisée par un espace probabilisé (

Ω, A, P

).
Pour tout entier naturel non nul

n

, on désigne par

R_n

l'événement « pile apparaît au lancer de rang

n

» et par

S_n

l'événement « face apparaît au lancer de rang

n

Partie I: Un résultat utile

On considère une variable aléatoire

X

définie sur

(Ω, A, P)

, prenant ses valeurs dans

ℕ^*

et, pour tout entier naturel non nul

n

, on pose :

a_n = P([X = n])

a) Justifier que la suite $(a_n)_(n ⩾ 1)$ est une suite de nombres réels positifs ou nuls vérifiant $\sum_(n = 1)^(+ \infty)a_n = 1$ .
b) Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0, 1]$ , la série de terme général $a_n x^n$ est convergente.
On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0, 1]$ par : $\forallx \in [0, 1], f(x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)a_n x^n$ .

On suppose que cette fonction est dérivable au point 1 ; elle vérifie donc :

lim_(x \to 1; x < 1)(f(1) - f(x))/(1 - x) = f^'(1)

a) Établir pour tout nombre réel

x

de l'intervalle [0,1] l'égalité :

(f(1) - f(x))/(1 - x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)(a_n\sum_(k = 0)^(n - 1)x^k)

.
b) En déduire que la fonction

x \mapsto (f(1) - f(x))/(1 - x)

est croissante sur [0,1[ et qu'elle vérifie pour tout nombre réel

x

de l'intervalle

[0, 1[

les inégalités suivantes :

0 ⩽ (f(1) - f(x))/(1 - x) ⩽ f^'(1)

.
c) Montrer que, pour tout entier naturel

N

non nul, on a :

0 ⩽ \sum_(n = 1)^N na_n ⩽ f^'(1)

En déduire que la série de terme général

na_n

est convergente.
d) À l'aide des résultats des question a) et c), justifier pour tout nombre réel

x

de l'intervalle

[0, 1[

, les inégalités suivantes :

0 ⩽ (f(1) - f(x))/(1 - x) ⩽ \sum_(n = 1)^(+ \infty)na_n ⩽ f^'(1)

e) Montrer que la variable aléatoire

X

admet une espérance donnée par :

E(X) = f^'(1)

Partie II : Loi du temps d'attente de la première configuration « pile, pile, face »

Soit

Y

la variable aléatoire désignant le rang du lancer où pour la première fois apparaît un face précédé de deux piles si cette configuration apparaît, et prenant la valeur 0 si celle-ci n'apparaît jamais.
Par exemple, si les résultats des premiers lancers sont (face, face, pile, face, pile, face, pile, pile, face, ...), la variable aléatoire

Y

prend la valeur 9 .
On pose

c_1 = c_2 = 0

et, pour tout entier

n

supérieur ou égal à 3 :

c_n = P([Y = n])

.
Pour tout entier

n

supérieur ou égal à 3 , on note

B_n

l'événement

R_(n - 2) \cap R_(n - 1) \cap S_n

U_n

l'événement

⋃_(i = 3)^n B_i

On pose $u_1 = u_2 = 0$ , et pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3 : $u_n = P(U_n)$ .

Montrer que la suite

(u_n)_(n ⩾ 1)

est monotone et convergente.
2. a) Calculer, pour tout entier naturel

n

supérieur ou égal à 3 , la probabilité de l'événement

B_n

.
b) Vérifier que, pour tout entier naturel

n

supérieur ou égal à 3 , les événements

B_n, B_(n + 1)

B_(n + 2)

sont deux à deux incompatibles.
c) En déduire les valeurs des nombres

u_3, u_4

u_5

.
3. Soit

n

un entier

n

supérieur ou égal à 5 .
a) Justifier l'égalité des événements

U_n \cap B_(n + 1)

U_(n - 2) \cap B_(n + 1)

et préciser leur probabilité.
b) Exprimer l'événement

U_(n + 1)

en fonction des événements

U_n

B_(n + 1)

; en déduire l'égalité suivante :

u_(n + 1) = u_n + 1/8(1 - u_(n - 2))

.
c) Vérifier les égalités suivantes

u_3 = u_2 + 1/8(1 - u_1)

u_4 = u_3 + 1/8(1 - u_2)

.
d) Déterminer la limite de la suite

(u_n)_(n ⩾ 1)

et en déduire la probabilité de l'événement

[Y = 0]

.
4. Pour tout entier naturel non nul

n

, on pose :

v_n = 1 - u_n

.
a) Préciser les nombres

v_1, v_2, v_3, v_4

.
b) Exprimer, pour tout entier naturel

n

supérieur ou égal à

3, v_(n + 1)

en fonction de

v_n

et de

v_(n - 2)

.
c) En déduire pour tout entier

N

supérieur ou égal à 1, l'égalité suivante :

7/8 - v_(N + 3) = 1/8\sum_(k = 1)^N v_k

.
d) Montrer que la série de terme général

v_n

est convergente et calculer sa somme.
5. Soit

g

h

les fonctions définies sur l'intervalle

[0, 1]

par :

\forallx \in [0, 1], g(x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)c_n x^n et h(x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)v_n x^n

a) Soit

n

un entier supérieur ou égal à 4 . Exprimer l'événement

[Y = n]

en fonction des événements

U_(n - 1)^-

U_n(U_(n - 1)^-

désignant l'événement contraire de

U_(n - 1))

. En déduire l'égalité :

c_n = v_(n - 1) - v_n

.
b) Valider l'égalité

c_n = v_(n - 1) - v_n

dans le cas où

n

est égal à 2 ou 3 .
c) Établir pour tout nombre réel

x

appartenant à l'intervalle [ 0,1 ], l'égalité :

g(x) = (x - 1)h(x) + x

.
d) Exprimer pour tout nombre réel

x

appartenant à l'intervalle [ 0,1 [, le quotient

(g(x) - g(1))/(x - 1)

en fonction de

h(x)

.
e) Justifier la croissance de la fonction

h

et, pour tout entier naturel

N

non nul et tout nombre réel

x

de l'intervalle

[0, 1]

, la double inégalité suivante :

\sum_(k = 1)^N v_k x^k ⩽ h(x) ⩽ h(1)

.
En déduire la relation suivante:

lim_(x \to 1; x < 1)h(x) = h(1)

.
f) Montrer que

g

est dérivable au point 1 et, à l'aide de la Partie I, en déduire que la variable aléatoire

Y

admet une espérance égale à 8 .

Partie III : Paradoxe de Walter Penney (1969)

Deux joueurs

J

J^'

s'affrontent dans un jeu utilisant la même expérience aléatoire que précédemment avec les règles suivantes :

le joueur $J$ est gagnant si la configuration «pile, pile, face» apparaît dans la suite des résultats des lancers, avant que la configuration « face, pile, pile» n'apparaisse;
le joueur $J^'$ est gagnant si la configuration « face, pile, pile» apparaît dans la suite des résultats des lancers, avant que la configuration «pile, pile, face» n'apparaisse;
si l'un des joueurs est gagnant, l'autre est perdant.

On se propose de démontrer que, dans ce jeu, le joueur

J^'

possède un net avantage sur le joueur

J

Soit $Y^'$ la variable aléatoire désignant le rang du lancer où, pour la première fois, apparaît un pile précédé d'un pile lui-même précédé d'un face si cette configuration apparaît, et prenant la valeur 0 si celle-ci n'apparaît jamais.
Par exemple, si les résultats des premiers lancers sont (face, face, pile, face, pile, pile, face, ...), la variable aléatoire $Y^'$ prend la valeur 6 .
Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3 , on désigne par $B_n^'$ l'événement $S_(n - 2) \cap R_(n - 1) \cap R_n$ , par $U_n^'$ l'événement $⋃_(i = 3)^n B_i^'$ et on note $u_n^'$ la probabilité de $U_n^'$ .
a) Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 3 .

Les événements

B_n^', B_(n + 1)^'

B_(n + 2)^'

sont-ils deux à deux incompatibles?
b) En déduire que, si on pose

u_1^' = u_2^' = 0

, le même raisonnement que dans la Partie II, conduit à l'égalité

u_(n + 1)^' = u_n^' + 1/8(1 - u_(n - 2)^')

, pour tout entier

n

supérieur ou égal à 3 .
c) En déduire l'égalité des suites

(u_n)_(n ⩾ 1)

(u_n^')_(n ⩾ 1)

.
d) Prouver que les deux variables aléatoires

Y

Y^'

suivent la même loi et vérifient :

E(Y) = E(Y^')

.
2. Pour tout entier

n

supérieur ou égal à 3 , on note

G_n

l'événement « le joueur

J

est déclaré gagnant à l'issue du lancer de rang

n≫

g_n

la probabilité de

G_n

.
a) Calculer

g_3

g_4

et établir, pour tout entier

n

supérieur ou égal à 3, l'égalité suivante :

g_n = (1/2)^n

.
b) En déduire la probabilité pour que le joueur

J

soit déclaré gagnant.
3. Pour tout entier naturel

n

non nul, on désigne par

d_n

la probabilité que lors des

n

premiers lancers n'apparaissent jamais deux piles consécutifs.
a) Préciser

d_1

d_2

.
b) En considérant les résultats des lancers de rang 1 et 2 , justifier pour tout entier naturel

n

non nul, l'égalité suivante :

d_(n + 2) = 1/2d_(n + 1) + 1/4d_n

.
c) Montrer qu'il existe deux constantes réelles

α

β

que l'on ne cherchera pas à calculer, telles que, pour tout tout entier naturel

n

non nul, on ait :

d_n = α((1 + \sqrt5)/4)^n + β((1 - \sqrt5)/4)^n

.
d) En déduire que la série de terme général

d_n

converge et, en utilisant l'égalité du b), prouver l'égalité suivante :

\sum_(n = 1)^(+ \infty)d_n = 5

.
4. On désigne par

T

la variable aléatoire qui prend pour valeur le rang du lancer à l'issue duquel l'un des joueurs est déclaré gagnant, si cela se produit, et la valeur 0 si aucun des joueurs n'est gagnant.
a) Justifier, pour tout entier

n

supérieur ou égal à 2, l'égalité :

P([T > n] \cup [T = 0]) = 1/(2^n) + d_n

.
b) En déduire, pour tout entier

n

supérieur ou égal à 3, l'égalité :

P([T = n]) = 1/(2^n) + d_(n - 1) - d_n

.
c) Montrer que la probabilité que l'un des joueurs soit déclaré gagnant est égale à 1 .
5. Calculer la probabilité que le joueur

J^'

soit déclaré gagnant et conclure.
6. Si la configuration gagnante du joueur

J

avait été « pile, pile, face, pile, pile, face» et la configuration gagnante du joueur

J^'

avait été « face, face, pile, face, face, pile», quelle aurait-été la conclusion?
7. Soit

d

t

les fonctions définies sur l'intervalle

[0, 1]

par :

\forallx \in [0, 1], d(x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)d_n x^n et t(x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)P([T = n])x^n

a) Établir pour tout nombre réel

x

appartenant à l'intervalle

[0, 1]

l'égalité suivante :

t(x) = (x - 1)(d(x) + (x^2)/(2(2 - x))) + x

b) Exprimer pour tout nombre réel

x

appartenant à l'intervalle [ 0 , 1 [, le quotient

(t(x) - t(1))/(x - 1)

en fonction de

d(x)

.
c) En s'inspirant de la question 5.e de la Partie II, justifier l'égalité suivante :

lim_(x \to 1; x < 1)d(x) = d(1)

.
d) Montrer que la variable aléatoire

T

admet une espérance et préciser

E(T)

Partie IV : Simulation informatique

On rappelle que dans un programme PASCAL, l'instruction « r :=RANDOM(2) » a pour effet de donner aléatoirement à la variable

r

la valeur 0 ou 1 , ces deux valeurs étant équiprobables.
On considère la procédure PASCAL suivante :

PROCEDURE Quigagne ;
    VAR x,y,r,k :INTEGER;
    BEGIN
        x :=0; y :=0;k :=0;
        WHILE (x<3) AND (y<3) DO
            BEGIN
                k :=k+1;r:=RANDOM(2);
                IF r=1 THEN BEGIN
                                IF x>=1 THEN x :=2 ELSE x :=1;
                                IF y>=1 THEN y :=y+1;
                        END
                    ELSE BEGIN
                            IF x=2 THEN x:=3
                                ELSE x :=0;
                            y :=1;
                        END ;
            END ;
        IF x=3 THEN WRITE ('...') ELSE WRITE('...');
    END ;

Donner sous forme d'un tableau les valeurs successives prises par les variables $x, y$ et k lors de l'exécution de cette procédure, si les valeurs données à la variable r par la fonction «RANDOM(2)» sont successivement :
a) $1, 1, 1, 1, 0$
b) $1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1$
c) $0, 1, 0, 1, 0, 1, 1$
Que représente la dernière valeur prise dans la procédure par la variable $k$ et quels textes pourrait-on substituer aux pointillés de la dernière instruction?
Qu'afficherait alors l'ordinateur dans les trois exemples de la question précédente?

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