BCE Maths appliquees HEC ECE 2004

Epreuve de maths appliquees - ECE 2004

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile

0.0(0 votes)

Probabilités finies, discrètes et dénombrementSéries et familles sommablesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsInformatique

Retour aux écritsRetour Lecture webLire

Voir tous les sujets

🔗 Explorer

Annales BCE ECE Mathématiques BCE ECE 2004 ECE Mathématiques Mathématiques 2004

Téléchargements disponibles

Description

Annale de maths appliquees BCE HEC pour la filiere ECE, session 2004.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF

41d6161d-35a6-44d4-9dc7-4a9e4664c84c

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES
MATH II ECONOMIQUE

Dans tout le problème, on considère une suite infinie de lancers d'une pièce équilibrée, c'est-à-dire pour laquelle, à chaque lancer, les apparitions de «pile» et de « face» sont équiprobables.
On admet que l'expérience est modélisée par un espace probabilisé (

).
Pour tout entier naturel non nul

, on désigne par

l'événement « pile apparaît au lancer de rang

» et par

l'événement « face apparaît au lancer de rang

Partie I: Un résultat utile

On considère une variable aléatoire

définie sur

, prenant ses valeurs dans

et, pour tout entier naturel non nul

, on pose :

a) Justifier que la suite est une suite de nombres réels positifs ou nuls vérifiant .
b) Montrer que, pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle , la série de terme général est convergente.
On désigne par la fonction définie sur l'intervalle par : .

On suppose que cette fonction est dérivable au point 1 ; elle vérifie donc :

a) Établir pour tout nombre réel

de l'intervalle [0,1] l'égalité :

.
b) En déduire que la fonction

est croissante sur [0,1[ et qu'elle vérifie pour tout nombre réel

de l'intervalle

les inégalités suivantes :

.
c) Montrer que, pour tout entier naturel

non nul, on a :

En déduire que la série de terme général

est convergente.
d) À l'aide des résultats des question a) et c), justifier pour tout nombre réel

de l'intervalle

, les inégalités suivantes :

e) Montrer que la variable aléatoire

admet une espérance donnée par :

Partie II : Loi du temps d'attente de la première configuration « pile, pile, face »

Soit

la variable aléatoire désignant le rang du lancer où pour la première fois apparaît un face précédé de deux piles si cette configuration apparaît, et prenant la valeur 0 si celle-ci n'apparaît jamais.
Par exemple, si les résultats des premiers lancers sont (face, face, pile, face, pile, face, pile, pile, face, ...), la variable aléatoire

prend la valeur 9 .
On pose

et, pour tout entier

supérieur ou égal à 3 :

.
Pour tout entier

supérieur ou égal à 3 , on note

l'événement

On pose , et pour tout entier supérieur ou égal à 3 : .

Montrer que la suite

est monotone et convergente.
2. a) Calculer, pour tout entier naturel

supérieur ou égal à 3 , la probabilité de l'événement

.
b) Vérifier que, pour tout entier naturel

supérieur ou égal à 3 , les événements

sont deux à deux incompatibles.
c) En déduire les valeurs des nombres

.
3. Soit

un entier

supérieur ou égal à 5 .
a) Justifier l'égalité des événements

et préciser leur probabilité.
b) Exprimer l'événement

en fonction des événements

; en déduire l'égalité suivante :

.
c) Vérifier les égalités suivantes

.
d) Déterminer la limite de la suite

et en déduire la probabilité de l'événement

.
4. Pour tout entier naturel non nul

, on pose :

.
a) Préciser les nombres

.
b) Exprimer, pour tout entier naturel

supérieur ou égal à

en fonction de

et de

.
c) En déduire pour tout entier

supérieur ou égal à 1, l'égalité suivante :

.
d) Montrer que la série de terme général

est convergente et calculer sa somme.
5. Soit

les fonctions définies sur l'intervalle

par :

a) Soit

un entier supérieur ou égal à 4 . Exprimer l'événement

en fonction des événements

désignant l'événement contraire de

. En déduire l'égalité :

.
b) Valider l'égalité

dans le cas où

est égal à 2 ou 3 .
c) Établir pour tout nombre réel

appartenant à l'intervalle [ 0,1 ], l'égalité :

.
d) Exprimer pour tout nombre réel

appartenant à l'intervalle [ 0,1 [, le quotient

en fonction de

.
e) Justifier la croissance de la fonction

et, pour tout entier naturel

non nul et tout nombre réel

de l'intervalle

, la double inégalité suivante :

.
En déduire la relation suivante:

.
f) Montrer que

est dérivable au point 1 et, à l'aide de la Partie I, en déduire que la variable aléatoire

admet une espérance égale à 8 .

Partie III : Paradoxe de Walter Penney (1969)

Deux joueurs

s'affrontent dans un jeu utilisant la même expérience aléatoire que précédemment avec les règles suivantes :

le joueur est gagnant si la configuration «pile, pile, face» apparaît dans la suite des résultats des lancers, avant que la configuration « face, pile, pile» n'apparaisse;
le joueur est gagnant si la configuration « face, pile, pile» apparaît dans la suite des résultats des lancers, avant que la configuration «pile, pile, face» n'apparaisse;
si l'un des joueurs est gagnant, l'autre est perdant.

On se propose de démontrer que, dans ce jeu, le joueur

possède un net avantage sur le joueur

Soit la variable aléatoire désignant le rang du lancer où, pour la première fois, apparaît un pile précédé d'un pile lui-même précédé d'un face si cette configuration apparaît, et prenant la valeur 0 si celle-ci n'apparaît jamais.
Par exemple, si les résultats des premiers lancers sont (face, face, pile, face, pile, pile, face, ...), la variable aléatoire prend la valeur 6 .
Pour tout entier supérieur ou égal à 3 , on désigne par l'événement , par l'événement et on note la probabilité de .
a) Soit un entier supérieur ou égal à 3 .

Les événements

sont-ils deux à deux incompatibles?
b) En déduire que, si on pose

, le même raisonnement que dans la Partie II, conduit à l'égalité

, pour tout entier

supérieur ou égal à 3 .
c) En déduire l'égalité des suites

.
d) Prouver que les deux variables aléatoires

suivent la même loi et vérifient :

.
2. Pour tout entier

supérieur ou égal à 3 , on note

l'événement « le joueur

est déclaré gagnant à l'issue du lancer de rang

la probabilité de

.
a) Calculer

et établir, pour tout entier

supérieur ou égal à 3, l'égalité suivante :

.
b) En déduire la probabilité pour que le joueur

soit déclaré gagnant.
3. Pour tout entier naturel

non nul, on désigne par

la probabilité que lors des

premiers lancers n'apparaissent jamais deux piles consécutifs.
a) Préciser

.
b) En considérant les résultats des lancers de rang 1 et 2 , justifier pour tout entier naturel

non nul, l'égalité suivante :

.
c) Montrer qu'il existe deux constantes réelles

que l'on ne cherchera pas à calculer, telles que, pour tout tout entier naturel

non nul, on ait :

.
d) En déduire que la série de terme général

converge et, en utilisant l'égalité du b), prouver l'égalité suivante :

.
4. On désigne par

la variable aléatoire qui prend pour valeur le rang du lancer à l'issue duquel l'un des joueurs est déclaré gagnant, si cela se produit, et la valeur 0 si aucun des joueurs n'est gagnant.
a) Justifier, pour tout entier

supérieur ou égal à 2, l'égalité :

.
b) En déduire, pour tout entier

supérieur ou égal à 3, l'égalité :

.
c) Montrer que la probabilité que l'un des joueurs soit déclaré gagnant est égale à 1 .
5. Calculer la probabilité que le joueur

soit déclaré gagnant et conclure.
6. Si la configuration gagnante du joueur

avait été « pile, pile, face, pile, pile, face» et la configuration gagnante du joueur

avait été « face, face, pile, face, face, pile», quelle aurait-été la conclusion?
7. Soit

les fonctions définies sur l'intervalle

par :

a) Établir pour tout nombre réel

appartenant à l'intervalle

l'égalité suivante :

b) Exprimer pour tout nombre réel

appartenant à l'intervalle [ 0 , 1 [, le quotient

en fonction de

.
c) En s'inspirant de la question 5.e de la Partie II, justifier l'égalité suivante :

.
d) Montrer que la variable aléatoire

admet une espérance et préciser

Partie IV : Simulation informatique

On rappelle que dans un programme PASCAL, l'instruction « r :=RANDOM(2) » a pour effet de donner aléatoirement à la variable

la valeur 0 ou 1 , ces deux valeurs étant équiprobables.
On considère la procédure PASCAL suivante :

PROCEDURE Quigagne ;
    VAR x,y,r,k :INTEGER;
    BEGIN
        x :=0; y :=0;k :=0;
        WHILE (x<3) AND (y<3) DO
            BEGIN
                k :=k+1;r:=RANDOM(2);
                IF r=1 THEN BEGIN
                                IF x>=1 THEN x :=2 ELSE x :=1;
                                IF y>=1 THEN y :=y+1;
                        END
                    ELSE BEGIN
                            IF x=2 THEN x:=3
                                ELSE x :=0;
                            y :=1;
                        END ;
            END ;
        IF x=3 THEN WRITE ('...') ELSE WRITE('...');
    END ;

Donner sous forme d'un tableau les valeurs successives prises par les variables et k lors de l'exécution de cette procédure, si les valeurs données à la variable r par la fonction «RANDOM(2)» sont successivement :
a)
b)
c)
Que représente la dernière valeur prise dans la procédure par la variable et quels textes pourrait-on substituer aux pointillés de la dernière instruction?
Qu'afficherait alors l'ordinateur dans les trois exemples de la question précédente?

Contenu du sujet

Source LaTeX du sujet • Code source complet

Aperçu du contenu :

\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{bbold}

\title{ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES \\
 MATH ...

13271 caractères • Texte complet disponible ci-dessus

Pas de description pour le moment

Commentaires• BCE Maths appliquees HEC ECE 2004

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

BCE Maths appliquees HEC ECE 2004

Epreuve de maths appliquees - ECE 2004

Téléchargements disponibles

Sujet et rapport

Corrigés

Lecture et formats

Description

Lecture web du sujet

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES MATH II ECONOMIQUE

Partie I: Un résultat utile

Partie II : Loi du temps d'attente de la première configuration « pile, pile, face »

Partie III : Paradoxe de Walter Penney (1969)

Partie IV : Simulation informatique

Contenu du sujet

Commentaires• BCE Maths appliquees HEC ECE 2004

Contenu du sujet

Commentaires• BCE Maths appliquees HEC ECE 2004

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES
MATH II ECONOMIQUE