J-0
00m
00j
00h
00min
00s

BCE Maths appliquees HEC ECE 2005

Epreuve de maths appliquees - ECE 2005

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Probabilités finies, discrètes et dénombrementSéries entières (et Fourier)Intégrales généraliséesStatistiquesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries et familles sommables
RetourLire
Logo concours BCE - Voir tous les sujets BCE

Voir tous les sujets

Logo concours BCE
🔗 Explorer
Banque
BCE
Année
2005
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2005ECE MathématiquesMathématiques 2005

Téléchargements disponibles

Sujet et rapport

Télécharger le sujet →Rapport du jury →

Corrigés

Télécharger corrigé →

Lecture et formats

Lire en ligne →LaTeX →Word →

Description

Annale de maths appliquees BCE HEC pour la filiere ECE, session 2005.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
22c2daf3-f79d-4421-ab8a-13ffa7485346

(3)
BANQUE COMMUNE D'EPREUVES

Concepteurs : H.E.C. - E.S.C.P. - E.A.P.

CODE EPREUVE :
284
CCIP_M2_E
OPTION : ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES II

Mardi 10 Mai 2005, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'objet du problème est d'étudier quelques propriétés d'un estimateur du paramètre d'une loi géométrique.

Partie I. Formule du binôme négatif

Pour tout couple ( ) d'entiers naturels tels que , on rappelle la formule du « triangle de Pascal»
  1. Montrer que pour tout entier de , on a :
  1. Soit ( ) un couple d'entiers naturels, tels que . Pour tout réel de , on définit la fonction par :
a) Montrer, pour tout réel de , l'égalité : .
b) On suppose l'entier fixé. Montrer, lorsque tend vers , l'équivalence : .
3. Soit un réel fixé de [ et soit un entier naturel fixé. On veut établir l'existence de la limite de lorsque tend vers , et déterminer la valeur de cette limite.
a) Justifier l'existence et donner la valeur de et .
b) Soit un entier naturel non nul. On suppose que, pour tout réel de , on a :
Montrer que, pour tout réel de . Ainsi, .

Partie II. Développement en série de

Soit un réel de .
  1. Montrer, pour tout entier de , l'égalité : .
  2. À l'aide d'un encadrement simple, montrer que .
  3. En déduire la convergence de la série de terme général ainsi que l'égalité : .

Partie III. Loi binomiale négative

Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans cette partie sont définies sur un même espace probabilisé .
Soit un réel de . On pose , et on considère une variable aléatoire à valeurs dans , qui suit la loi géométrique de paramètre . On rappelle que pour tout entier de .
  1. Calculer la valeur de l'espérance et de la variance de la variable aléatoire .
  2. On considère la variable aléatoire définie par .
    a) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par ainsi que la loi de probabilité de .
    b) Montrer que admet une espérance , que l'on calculera en fonction de et .
    c) Pour tout entier supérieur ou égal à 2 , établir l'existence du moment d'ordre de .
  3. Soit et deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans , qui suivent la même loi géométrique de paramètre . On pose : .
    a) Déterminer la loi de probabilité de chacune des variables aléatoires et .
    b) Établir l'existence de l'espérance de la variable aléatoire .
    c) Calculer cette espérance en fonction de et .
  4. On considère une suite de variables aléatoires à valeurs dans , indépendantes, de même loi géométrique de paramètre . Pour tout de , on pose .
    a) Calculer l'espérance et la variance de la variable aléatoire .
    b) Montrer que la loi de probabilité de la variable aléatoire est donnée, pour tout entier de , par :
  1. Pour tout entier de , on pose .
    a) Préciser l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire , ainsi que la loi de probabilité de .
    b) Soit un réel quelconque de . Montrer que, pour tout de , la série de terme général est convergente.
    En déduire, en particulier, l'existence des moments d'ordre 1 et et , de la variable aléatoire .

Partie IV. Une estimation ponctuelle du paramètre

Soit un réel de . Dans cette partie, on considère une variable aléatoire réelle à valeurs dans , qui suit une loi géométrique de paramètre inconnu. On pose .
Pour tout entier naturel non nul , on considère un -échantillon ( ) de variables aléatoires à valeurs dans , indépendantes, de même loi que .
Les variables aléatoires sont définies sur un même espace probabilisé ( ).
On pose .
  1. Montrer que est un estimateur sans biais pour le paramètre .
Quel est le risque quadratique de en ?
2. Pour tout entier de , on note et les applications définies sur [ 0,1 a à valeurs dans telles que :
On admet dans toute la suite du problème, que est de classe et que pour tout réel de , la dérivée de vérifie :
On admet également que la fonction est dérivable sur , de dérivée , et que pour tout de , .
a) Montrer que . Établir que, pour tout de , on a :
b) À l'aide du changement de variable , que l'on justifiera, montrer que pour tout de :
En déduire, en utilisant une intégration par parties, que l'on peut écrire pour tout de :
  1. Pour tout de , soit la fonction définie sur à valeurs réelles qui, à tout réel de , associe représente le biais de pour estimer ).
    a) Montrer que .
    b) En déduire que la suite est convergente et préciser sa limite. Calculer .
    c) À l'aide d'une intégration par parties, montrer l'égalité : .

Partie V. Limite de la variance de

Le contexte de cette partie est identique à celui de la partie IV.
  1. a) En utilisant la formule établie dans la question IV.2.b, montrer que, pour tout de lorsque tend vers 0 par valeurs supérieures.
    b) En déduire que pour tout réel de , l'intégrale est convergente et que .
  2. a) Pour tout entier de , et pour tout réel de , on pose .
Montrer que, pour tout de , on a :
b) Établir l'existence de l'intégrale , et en déduire l'égalité :
  1. a) Établir l'encadrement suivant : .
En déduire que .
b) Montrer, pour tout réel de , l'égalité :
En déduire que .
c) On désigne par la variance de . Calculer .

Partie VI. Un intervalle de confiance du paramètre

Dans cette partie, le contexte est identique à celui des deux parties précédentes.
  1. a) En utilisant le résultat de la question IV.3.c, montrer que, lorsque tend vers :
b) On admet que, lorsque tend vers :
Établir que, lorsque tend vers .
2. Pour tout entier de , on pose .
On admet que la suite de variables aléatoires converge en loi vers une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée, réduite.
Cette question a pour objectif la détermination, pour assez grand, d'un intervalle de confiance du paramètre inconnu , au risque donné. Autrement dit, il s'agit de trouver des variables aléatoires et , fonctions de , telles que .
a) Soit le réel strictement positif tel que . Ainsi, pour assez grand, on peut considérer que :
En déduire l'égalité : .
b) Montrer que l'on peut choisir les «statistiques» et de la façon suivante :
c) On suppose que . Un échantillon observé de réalisations des variables aléatoires a fourni le résultat suivant : .
Calculer la réalisation de la variable aléatoire .
On se donne un niveau de risque ; le nombre est à peu près égal à 2 . Sachant que , trouver un intervalle de confiance réalisé qui contienne le paramètre inconnu avec un niveau de confiance au moins égal à 0.95 .

Pas de description pour le moment