BCE Maths appliquées HEC ECE 2005, épreuve 2Sujet, corrigé et rapport du jury

Epreuve de maths appliquées - ECE 2005

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BanqueBCE Année2005 FilièreECE MatièreMathématiques

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Annale de maths appliquées BCE HEC pour la filiere ECE, session 2005.

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(3)
BANQUE COMMUNE D'EPREUVES

Concepteurs : H.E.C. - E.S.C.P. - E.A.P.

____

CODE EPREUVE :
284
CCIP_M2_E

OPTION : ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES II

Mardi 10 Mai 2005, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'objet du problème est d'étudier quelques propriétés d'un estimateur du paramètre

p

d'une loi géométrique.

Partie I. Formule du binôme négatif

Pour tout couple (

n, r

) d'entiers naturels tels que

0 ⩽ r ⩽ n

, on rappelle la formule du « triangle de Pascal»

(n/r) = ((n - 1)/(r - 1)) + ((n - 1)/r)

Montrer que pour tout entier $r$ de $[ [1, n] ]$ , on a :

(n/r) = \sum_(k = r)^n((k - 1)/(r - 1))

Soit ( $n, r$ ) un couple d'entiers naturels, tels que $1 ⩽ r ⩽ n$ . Pour tout réel $x$ de $]0, 1[$ , on définit la fonction $f_(r, n)$ par :

f_(r, n)(x) = \sum_(k = r)^n(k/r)x^k

a) Montrer, pour tout réel

x

]0, 1[

, l'égalité :

(1 - x)f_(r, n)(x) = xf_(r - 1, n - 1)(x) - (n/r)x^(n + 1)

.
b) On suppose l'entier

r

fixé. Montrer, lorsque

n

tend vers

+ \infty

, l'équivalence :

(n/r) \sim (n^r)/(r!)

.
3. Soit

x

un réel fixé de

]0, 1

[ et soit

r

un entier naturel fixé. On veut établir l'existence de la limite de

f_(r, n)(x)

lorsque

n

tend vers

+ \infty

, et déterminer la valeur de cette limite.
a) Justifier l'existence et donner la valeur de

lim_(n \to + \infty)f_(0, n)(x)

lim_(n \to + \infty)f_(1, n)(x)

.
b) Soit

r

un entier naturel non nul. On suppose que, pour tout réel

x

]0, 1[

, on a :

lim_(n \to + \infty)f_(r - 1, n)(x) = (x^(r - 1))/((1 - x)^r)

Montrer que, pour tout réel

x

]0, 1[, lim_(n \to + \infty)f_(r, n)(x) = (x^r)/((1 - x)^(r + 1))

. Ainsi,

\sum_(k = r)^\infty(k/r)x^k = (x^r)/((1 - x)^(r + 1))

Partie II. Développement en série de $ln(1 - x)$

Soit

x

un réel de

]0, 1[

Montrer, pour tout entier $n$ de $ℕ^*$ , l'égalité : $\int_0^x(1 - t^n)/(1 - t)dt = \sum_(k = 1)^n(x^k)/k$ .
À l'aide d'un encadrement simple, montrer que $lim_(n \to + \infty)\int_0^x(t^n)/(1 - t)dt = 0$ .
En déduire la convergence de la série de terme général $(x^k)/k$ ainsi que l'égalité : $\sum_(k = 1)^\infty(x^k)/k = - ln(1 - x)$ .

Partie III. Loi binomiale négative

Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans cette partie sont définies sur un même espace probabilisé

(Ω, A, P)

.
Soit

p

un réel de

]0, 1[

. On pose

q = 1 - p

, et on considère une variable aléatoire

X

à valeurs dans

ℕ^*

, qui suit la loi géométrique de paramètre

p

. On rappelle que pour tout entier

k

ℕ^*, P(X = k) = pq^(k - 1)

Calculer la valeur de l'espérance $E(X)$ et de la variance $V(X)$ de la variable aléatoire $X$ .
On considère la variable aléatoire $Y$ définie par $Y = 1/X$ .
a) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par $Y$ ainsi que la loi de probabilité de $Y$ .
b) Montrer que $Y$ admet une espérance $E(Y)$ , que l'on calculera en fonction de $p$ et $q$ .
c) Pour tout entier $i$ supérieur ou égal à 2 , établir l'existence du moment $E(Y^i)$ d'ordre $i$ de $Y$ .
Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans $ℕ^*$ , qui suivent la même loi géométrique de paramètre $p$ . On pose : $S_1 = X_1, S_2 = X_1 + X_2, Y_2 = 2/(S_2)$ .
a) Déterminer la loi de probabilité de chacune des variables aléatoires $S_2$ et $Y_2$ .
b) Établir l'existence de l'espérance $E(Y_2)$ de la variable aléatoire $Y_2$ .
c) Calculer cette espérance en fonction de $p$ et $q$ .
On considère une suite $(X_n)_(n \in ℕ^*)$ de variables aléatoires à valeurs dans $ℕ^*$ , indépendantes, de même loi géométrique de paramètre $p$ . Pour tout $n$ de $ℕ^*$ , on pose $S_n = \sum_(k = 1)^n X_k$ .
a) Calculer l'espérance $E(S_n)$ et la variance $V(S_n)$ de la variable aléatoire $S_n$ .
b) Montrer que la loi de probabilité de la variable aléatoire $S_n$ est donnée, pour tout entier $s$ de $ℕ^*$ , par :

P(S_n = s) = {0, si s < n; ((s − 1)/(n − 1))p^n q^(s − n), si s ⩾ n

Pour tout entier $n$ de $ℕ^*$ , on pose $Y_n = n/(S_n)$ .
a) Préciser l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $Y_n$ , ainsi que la loi de probabilité de $Y_n$ .
b) Soit $t$ un réel quelconque de $[0, 1[$ . Montrer que, pour tout $m$ de $ℤ$ , la série de terme général $s^m t^s(\sum_(s ⩾ 1)s^m t^s)$ est convergente.
En déduire, en particulier, l'existence des moments d'ordre 1 et $2, E(Y_n)$ et $E(Y_n^2)$ , de la variable aléatoire $Y_n$ .

Partie IV. Une estimation ponctuelle du paramètre $p$

Soit

p

un réel de

]0, 1[

. Dans cette partie, on considère une variable aléatoire réelle

X

à valeurs dans

ℕ^*

, qui suit une loi géométrique de paramètre

p

inconnu. On pose

q = 1 - p

.
Pour tout entier naturel non nul

n

, on considère un

n

-échantillon (

X_1, X_2, \dots, X_n

) de variables aléatoires à valeurs dans

ℕ^*

, indépendantes, de même loi que

X

.
Les variables aléatoires

X, X_1, X_2, \dots, X_n

sont définies sur un même espace probabilisé (

Ω, A, P

).
On pose

X¯_n = (S_n)/n = 1/(Y_n)

Montrer que $X¯_n$ est un estimateur sans biais pour le paramètre $1/p$ .

Quel est le risque quadratique de

X¯_n

1/p

?
2. Pour tout entier

n

ℕ^*

, on note

h_n

φ_n

les applications définies sur [ 0,1 a à valeurs dans

ℝ

telles que :

h_n(t) = \sum_(s = n)^\infty1/s((s - 1)/(n - 1))t^s, φ_n(t) = \sum_(s = n)^\infty1/(s^2)((s - 1)/(n - 1))t^s

On admet dans toute la suite du problème, que

h_n

est de classe

C^1

et que pour tout réel

t

[0, 1[

, la dérivée

h_n^'

h_n

vérifie :

h_n^'(t) = \sum_(s = n)^\infty((s - 1)/(n - 1))t^(s - 1)

On admet également que la fonction

φ_n

est dérivable sur

]0, 1[

, de dérivée

φ_n^'

, et que pour tout

t

]0, 1[

φ_n^'(t) = 1/th_n(t)

.
a) Montrer que

E(Y_n) = n(p/q)^n h_n(q)

. Établir que, pour tout

q

[0, 1[

, on a :

h_n(q) = \int_0^q(t^(n - 1))/((1 - t)^n)dt

b) À l'aide du changement de variable

y = t/(1 - t)

, que l'on justifiera, montrer que pour tout

q

[0, 1[

h_n(q) = \int_0^(q/p)(y^(n - 1))/(1 + y)dy

En déduire, en utilisant une intégration par parties, que l'on peut écrire pour tout

q

[0, 1[

h_n(q) = (q^n)/(np^(n - 1)) + 1/n\int_0^(q/p)(y^n)/((1 + y)^2)dy

Pour tout $n$ de $ℕ^*$ , soit $b_n$ la fonction définie sur $]0, 1[$ à valeurs réelles qui, à tout réel $p$ de $]0, 1[$ , associe $b_n(p) = E(Y_n) - p(b_n$ représente le biais de $Y_n$ pour estimer $p$ ).
a) Montrer que $b_n(p) = (p/q)^n\int_0^(q/p)(y^n)/((1 + y)^2)dy$ .
b) En déduire que la suite $(b_n(p))_(n \in ℕ^*)$ est convergente et préciser sa limite. Calculer $lim_(n \to + \infty)E(Y_n)$ .
c) À l'aide d'une intégration par parties, montrer l'égalité : $b_n(p) = (pq)/n + o(1/n)$ .

Partie V. Limite de la variance de $Y_n$

Le contexte de cette partie est identique à celui de la partie IV.

a) En utilisant la formule établie dans la question IV.2.b, montrer que, pour tout $n$ de $ℕ^*, h_n(t) \sim (t^n)/n$ lorsque $t$ tend vers 0 par valeurs supérieures.
b) En déduire que pour tout réel $q$ de $]0, 1[$ , l'intégrale $\int_0^q(h_n(t))/tdt$ est convergente et que $φ_n(q) = \int_0^q(h_n(t))/tdt$ .
a) Pour tout entier $n$ de $ℕ^*$ , et pour tout réel $t$ de $]0, 1[$ , on pose $H_n(t) = \int_0^(t/(1 - t))(y^n)/((1 + y)^2)dy$ .

Montrer que, pour tout

t

]0, 1[

, on a :

φ_n^'(t) = 1/n[(t^(n - 1))/((1 - t)^(n - 1)) + (H_n(t))/t]

b) Établir l'existence de l'intégrale

\int_0^q(H_n(t))/tdt

, et en déduire l'égalité :

φ_n(q) = 1/n[\int_0^q(t^(n - 1))/((1 - t)^(n - 1))dt + \int_0^q(H_n(t))/tdt]

a) Établir l'encadrement suivant : $0 ⩽ \int_0^q(H_n(t))/tdt ⩽ (h_(n + 1)(q))/(n + 1)$ .

En déduire que

lim_(n \to + \infty)n(p/q)^n\int_0^q(H_n(t))/tdt = 0

.
b) Montrer, pour tout réel

q

]0, 1[

, l'égalité :

\int_0^q(t/(1 - t))^(n - 1)dt = (q^n)/(np^(n - 2)) + 2/n\int_0^(q/p)(y^n)/((1 + y)^3)dy

En déduire que

lim_(n \to + \infty)n(p/q)^n\int_0^q(t/(1 - t))^(n - 1)dt = p^2

.
c) On désigne par

V(Y_n)

la variance de

Y_n

. Calculer

lim_(n \to + \infty)V(Y_n)

Partie VI. Un intervalle de confiance du paramètre $p$

Dans cette partie, le contexte est identique à celui des deux parties précédentes.

a) En utilisant le résultat de la question IV.3.c, montrer que, lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ :

[E(Y_n)]^2 = p^2 + (2p^2 q)/n + o(1/n)

b) On admet que, lorsque

n

tend vers

+ \infty

E(Y_n^2) = p^2 + (3p^2 q)/n + o(1/n)

Établir que, lorsque

n

tend vers

+ \infty, V(Y_n) \sim (p^2 q)/n

.
2. Pour tout entier

n

ℕ^*

, on pose

T_n = (Y_n - p)/(\sqrt((p^2 q)/n))

On admet que la suite de variables aléatoires

(T_n)_(n \in ℕ^*)

converge en loi vers une variable aléatoire

T

qui suit la loi normale centrée, réduite.
Cette question a pour objectif la détermination, pour

n

assez grand, d'un intervalle de confiance du paramètre inconnu

p

, au risque

α

donné. Autrement dit, il s'agit de trouver des variables aléatoires

I_n

J_n

, fonctions de

Y_n

, telles que

P(I_n ⩽ p ⩽ J_n) ⩾ 1 - α

.
a) Soit

a_α

le réel strictement positif tel que

P(T ⩾ a_α) = α/2

. Ainsi, pour

n

assez grand, on peut considérer que :

P(- a_α ⩽ T_n ⩽ a_α) = 1 - α

En déduire l'égalité :

P(Y_n - a_α p\sqrt(q/n) ⩽ p ⩽ Y_n + a_α p\sqrt(q/n)) = 1 - α

.
b) Montrer que l'on peut choisir les «statistiques»

I_n

J_n

de la façon suivante :

I_n = Y_n - (2a_α)/(3\sqrt3) \times 1/(\sqrtn) et J_n = Y_n + (2a_α)/(3\sqrt3) \times 1/(\sqrtn)

c) On suppose que

n = 900

. Un échantillon observé

x_1, x_2, \dots, x_(900)

de réalisations des variables aléatoires

X_1, X_2, \dots, X_(900)

a fourni le résultat suivant :

x¯_(900) = 1/(900)\sum_(i = 1)^(900)x_i = 4

.
Calculer la réalisation

y_(900)

de la variable aléatoire

Y_(900)

.
On se donne un niveau de risque

α = 0.05

; le nombre

a_(0.05)

est à peu près égal à 2 . Sachant que

2/(45\sqrt3) \approx 0.026

, trouver un intervalle de confiance réalisé qui contienne le paramètre inconnu

p

avec un niveau de confiance au moins égal à 0.95 .

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