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BCE Maths appliquees HEC ECE 2001

Epreuve de maths appliquees - ECE 2001

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RéductionProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)InformatiqueSuites et séries de fonctions
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Banque
BCE
Année
2001
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2001ECE MathématiquesMathématiques 2001

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Description

Annale de maths appliquees BCE HEC pour la filiere ECE, session 2001.

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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES

CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES III

Mardi 8 Mai 2001, de 8h. à 12h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE I

On note un paramètre réel et on considère les matrices définies par
On note l'endomorphisme de représenté par dans la base canonique de .
  1. a) On suppose dans cette question que . Déterminer les valeurs propres de la matrice et les sous-espaces propres associés.
    b) La matrice est-elle diagonalisable? Si oui, donner une base de vecteurs propres.
  2. Etudier de même les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice . Cette matrice est-elle diagonalisable ?
  3. a) Montrer qu'il existe un récl , qu'on déterminera, qui est une valeur propre de la matrice pour toutes les valeurs du paramètre .
    b) Déterminer, pour chaque valeur de , le sous-espace propre de associé à la valeur propre a. Montrer qu'on peut trouver un vecteur non nul appartenant à tous ces sous-espaces.
  4. Soit le sous-espace de engendré par les vecteurs et .
Déterminer les vecteurs et et montrer que ces vecteurs appartiennent à pour tout réel.
5. En se plaçant dans la base de formée par les vecteurs et , déterminer les valeurs de pour lesquelles la matrice est diagonalisable.

EXERCICE II

On réalise une suite de lancers indépendants d'une pièce de monnaie équilibrée. On associe à cette expérience une suite de variables aléatoires indépendantes, définies sur un espace probabilisé et suivant la loi de Bernoulli de paramètre .
Pour tout entier supérieur ou égal à 1 , on pose .
Notation : Si est une variable aléatoire définie sur ( ), on note son espérance.
N.B. La partie II peut être traitée indépendamment de la partie I.

I. Préliminaire

  1. a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire .
    b) Quelles sont l'espérance et la variance de ?
  2. a) Montrer que, pour tout réel strictement positif, on peut trouver une constante telle que, pour tout entier supérieur ou égal à 1 , on ait l'inégalité .
    b) Déduire de la majoration obtenue que, pour tout réel vérifiant , on a :
  1. Montrer d'autre part, à l'aide du théorème de la limite centrée, que la suite définie pour supérieur ou égal à 1 par admet une limite non nulle.
L'objet de la suite de l'exercice est l'étude d'une majoration de la probabilité meilleure que la majoration obtenue à la question 2.a.

II. Étude de fonctions

On considère la fonction définie sur par .
  1. a) Étudier les variations de la fonction .
    b) Montrer qu'il existe des réels et , que l'on déterminera, tels que l'on ait :
c) Montrer de même qu'il existe des réels et , tels que l'on ait :
  1. Soit un réel vérifiant et soit la fonction définie sur par .
    a) Étudier les variations de la fonction et préciser les valeurs de et de . Montrer que la fonction atteint un minimum en un unique point de dont on donnera l'expression en fonction de .
    b) Étudier le signe de suivant les valeurs de . Montrer, pour tout réel vérifiant , l'inégalité : .
Dans toute la suite, pour tout réel a vérifiant , on pose .
III. Étude de l'écart de à sa moyenne
  1. Montrer que si est une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs réelles positives , on a la majoration .
  2. Calculer, pour tout réel et tout entier supérieur ou égal à 1 , l'espérance . En déduire que, pour tout entier supérieur ou égal à 1 , si est un réel vérifiant et un réel quelconque, on a :
  1. On suppose, dans cette question, que a est un réel vérifiant .
    a) Montrer que, pour tout réel strictement positif et tout entier supérieur ou égal à 1 , on a l'inégalité :
b) En donnant à , dans l'inégalité précédente, une valeur convenablement choisie, établir, pour tout entier supérieur ou égal à 1 , l'inégalité
  1. Soit un réel vérifiant ; on pose .
    a) Comparer, pour tout entier supérieur ou égal à 1 , les lois de probabilité des variables aléatoires et . En déduire l'égalité :
puis la majoration :
En quoi cette majoration peut-elle être considérée, pour strictement positif fixé, comme meilleure que celle de la question I.2.a ?
b) À l'aide de l'expression de trouvée à la question II.2.a, établir l'égalité :
  1. a) En déduire qu'on a : , quand tend vers 0 .
    b) Montrer qu'on peut retrouver ainsi la limite obtenue à la question I.2.b.

IV. Étude d'un algorithme

On se propose d'illustrer cet exercice par une simulation. On considère pour cela le programme Turbo-Pascal Simulation reproduit ci-dessous dans lequel RANDOM (100) désigne un nombre entier tiré au hasard par l'ordinateur, avec la loi uniforme, dans l'intervalle [0,99] (la procédure RANDOMIZE sert à initialiser la fonction RANDOM).
  1. Que fait la procédure EP de ce programme ?
  2. Quels nombres entiers sont comptabilisés dans les variables et à la fin du programme ?
  3. De quels nombres les valeurs de P1, P2 et P3 fournies par le programme sont-elles des estimations ?
  4. À quoi peut-on s'attendre pour la valeur de P1 ?
PROGRAM Simulation;
VAR
    n,K,U,V,W,i,j,X : INTEGER;
    S : REAL;
CONST
    nombre_de_lancers = 20000;
    nombre_d_essais = 2000;
PROCEDURE EP(n:INTEGER);
    BEGIN
        S:= 0;
        FOR i:=1 TO n DO
        BEGIN
            X:= RANDOM(100);
            IF X>49 THEN S:= S+1;
        END;
    END;
BEGIN
    RANDOMIZE;
    n:=nombre_de_lancers;
    K:=nombre_d_essais;
    U:=0; V:=0; W:=0;
    FOR j:=1 TO K DO
        BEGIN
            EP(n);
            IF Abs(S/n-0.5) > exp((-0.4)*Ln(n)) THEN U:=U+1;
            IF Abs(S/n-0.5) > exp((-0.5)*Ln(n)) THEN V:=V+1;
            IF Abs(S/n-0.5) > exp((-0.9)*Ln(n)) THEN W:=W+1;
        END;
    WRITELN ('P1 = ' ,U/K);
    WRITELN ('P2 = ' ,V/K);
    WRITELN ('P3 = ' ,W/K);
END.

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