BCE Maths appliquées HEC ECE 2001Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2001

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Annale de maths appliquées BCE HEC pour la filiere ECE, session 2001.

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MATHEMATIQUES III

Mardi 8 Mai 2001, de 8h. à 12h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE I

On note

m

un paramètre réel et on considère les matrices

H_m

définies par

H_m = (- 1 - m, m, 2; - m, 1, m; - 2, m, 3 - m)

On note

h_m

l'endomorphisme de

ℝ^3

représenté par

H_m

dans la base canonique de

ℝ^3

a) On suppose dans cette question que $m = 2$ . Déterminer les valeurs propres de la matrice $H_2$ et les sous-espaces propres associés.
b) La matrice $H_2$ est-elle diagonalisable? Si oui, donner une base de vecteurs propres.
Etudier de même les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice $H_0$ . Cette matrice est-elle diagonalisable ?
a) Montrer qu'il existe un récl $a$ , qu'on déterminera, qui est une valeur propre de la matrice $H_m$ pour toutes les valeurs du paramètre $m$ .
b) Déterminer, pour chaque valeur de $m$ , le sous-espace propre de $H_m$ associé à la valeur propre a. Montrer qu'on peut trouver un vecteur non nul $v_1$ appartenant à tous ces sous-espaces.
Soit $F$ le sous-espace de $ℝ^3$ engendré par les vecteurs $v_2 = (1, 0, 1)$ et $v_3 = (1, 1, 0)$ .

Déterminer les vecteurs

h_m(v_2)

h_m(v_3)

et montrer que ces vecteurs appartiennent à

F

pour tout

m

réel.
5. En se plaçant dans la base de

ℝ^3

formée par les vecteurs

v_1, v_2

v_3

, déterminer les valeurs de

m

pour lesquelles la matrice

H_m

est diagonalisable.

EXERCICE II

On réalise une suite de lancers indépendants d'une pièce de monnaie équilibrée. On associe à cette expérience une suite

(X_n)_(n \geq 1)

de variables aléatoires indépendantes, définies sur un espace probabilisé

(Ω, A, P)

et suivant la loi de Bernoulli de paramètre

1/2

.
Pour tout entier

n

supérieur ou égal à 1 , on pose

S_n = X_1 + \dots + X_n

.
Notation : Si

Z

est une variable aléatoire définie sur (

Ω, A, P

), on note

E(Z)

son espérance.
N.B. La partie II peut être traitée indépendamment de la partie I.

I. Préliminaire

a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $S_n$ .
b) Quelles sont l'espérance et la variance de $S_n$ ?
a) Montrer que, pour tout réel $ε$ strictement positif, on peut trouver une constante $K_ε$ telle que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 , on ait l'inégalité $P(|(S_n)/n - 1/2| \geq ε) \leq (K_ε)/n$ .
b) Déduire de la majoration obtenue que, pour tout réel $r$ vérifiant $0 < r < 1/2$ , on a :

lim_(n \to + \infty)P(|(S_n)/n - 1/2| \geq 1/(n^r)) = 0

Montrer d'autre part, à l'aide du théorème de la limite centrée, que la suite définie pour $n$ supérieur ou égal à 1 par $n \mapsto P(|(S_n)/n - 1/2| > 1/(\sqrtn))$ admet une limite non nulle.

L'objet de la suite de l'exercice est l'étude d'une majoration de la probabilité

P(|(S_n)/n - 1/2| \geq ε)

meilleure que la majoration obtenue à la question 2.a.

II. Étude de fonctions

On considère la fonction

f

définie sur

ℝ

par

f(x) = ln((e^x + 1)/2)

a) Étudier les variations de la fonction $f$ .
b) Montrer qu'il existe des réels $α$ et $β$ , que l'on déterminera, tels que l'on ait :

lim_(x \to + \infty)(f(x) - (αx + β)) = 0

c) Montrer de même qu'il existe des réels

α^'

β^'

, tels que l'on ait :

lim_(x \to - \infty)(f(x) - (α^' x + β^')) = 0

Soit $a$ un réel vérifiant $0 < a < 1$ et soit $φ_a$ la fonction définie sur $ℝ$ par $φ_a(x) = f(x) - ax$ .
a) Étudier les variations de la fonction $φ_a$ et préciser les valeurs de $φ_a(0)$ et de $φ_a^'(0)$ . Montrer que la fonction $φ_a$ atteint un minimum en un unique point $x_a$ de $ℝ$ dont on donnera l'expression en fonction de $a$ .
b) Étudier le signe de $x_a$ suivant les valeurs de $a$ . Montrer, pour tout réel $a$ vérifiant $a \neq 1/2$ , l'inégalité : $e^(φ_a(x_a)) < 1$ .

Dans toute la suite, pour tout réel a vérifiant

0 < a < 1

, on pose

h_a = e^(φ_a(x_a))

.
III. Étude de l'écart de

(S_n)/n

à sa moyenne

Montrer que si $Z$ est une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs réelles positives $z_1, z_2, \dots, z_r$ , on a la majoration $P(Z \geq 1) \leq E(Z)$ .
Calculer, pour tout réel $u$ et tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 , l'espérance $E(e^(uS_n))$ . En déduire que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 , si $a$ est un réel vérifiant $0 < a < 1$ et $t$ un réel quelconque, on a :

E(e^(t((S_n)/n - a))) = e^(nφ_a(1/n))

On suppose, dans cette question, que a est un réel vérifiant $1/2 < a < 1$ .
a) Montrer que, pour tout réel $t$ strictement positif et tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 , on a l'inégalité :

P((S_n)/n - a \geq 0) \leq e^(nφ_a(t/n))

b) En donnant à

t

, dans l'inégalité précédente, une valeur convenablement choisie, établir, pour tout entier

n

supérieur ou égal à 1 , l'inégalité

P((S_n)/n \geq a) \leq (h_a)^n

Soit un réel $ε$ vérifiant $0 < ε < 1/2$ ; on pose $a = 1/2 + ε$ .
a) Comparer, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 , les lois de probabilité des variables aléatoires $S_n$ et $n - S_n$ . En déduire l'égalité :

P((S_n)/n \geq a) = P((S_n)/n \leq 1 - a)

puis la majoration :

P(|(S_n)/n - 1/2| \geq ε) \leq 2(h_a)^n

En quoi cette majoration peut-elle être considérée, pour

ε

strictement positif fixé, comme meilleure que celle de la question I.2.a ?
b) À l'aide de l'expression de

x_a

trouvée à la question II.2.a, établir l'égalité :

φ_a(x_a) = - ((1/2 + ε)ln(1 + 2ε) + (1/2 - ε)ln(1 - 2ε))

a) En déduire qu'on a : $φ_(1/2 + ε)(x_(1/2 + ε)) = - 2ε^2 + o(ε^2)$ , quand $ε$ tend vers 0 .
b) Montrer qu'on peut retrouver ainsi la limite obtenue à la question I.2.b.

IV. Étude d'un algorithme

On se propose d'illustrer cet exercice par une simulation. On considère pour cela le programme Turbo-Pascal Simulation reproduit ci-dessous dans lequel RANDOM (100) désigne un nombre entier tiré au hasard par l'ordinateur, avec la loi uniforme, dans l'intervalle [0,99] (la procédure RANDOMIZE sert à initialiser la fonction RANDOM).

Que fait la procédure EP de ce programme ?
Quels nombres entiers sont comptabilisés dans les variables $U, V$ et $W$ à la fin du programme ?
De quels nombres les valeurs de P1, P2 et P3 fournies par le programme sont-elles des estimations ?
À quoi peut-on s'attendre pour la valeur de P1 ?

PROGRAM Simulation;
VAR
    n,K,U,V,W,i,j,X : INTEGER;
    S : REAL;
CONST
    nombre_de_lancers = 20000;
    nombre_d_essais = 2000;
PROCEDURE EP(n:INTEGER);
    BEGIN
        S:= 0;
        FOR i:=1 TO n DO
        BEGIN
            X:= RANDOM(100);
            IF X>49 THEN S:= S+1;
        END;
    END;
BEGIN
    RANDOMIZE;
    n:=nombre_de_lancers;
    K:=nombre_d_essais;
    U:=0; V:=0; W:=0;
    FOR j:=1 TO K DO
        BEGIN
            EP(n);
            IF Abs(S/n-0.5) > exp((-0.4)*Ln(n)) THEN U:=U+1;
            IF Abs(S/n-0.5) > exp((-0.5)*Ln(n)) THEN V:=V+1;
            IF Abs(S/n-0.5) > exp((-0.9)*Ln(n)) THEN W:=W+1;
        END;
    WRITELN ('P1 = ' ,U/K);
    WRITELN ('P2 = ' ,V/K);
    WRITELN ('P3 = ' ,W/K);
END.

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