Année 2004

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

On note la suite réelle définie pour tout entier strictement positif par :

(a) Montrer que est une suite décroissante de réels positifs.
(b) Montrer que, pour tout entier strictement positif, l'on a :
(c) Établir, pour tout entier supérieur ou égal à 2 , la double inégalité :

En déduire un équivalent simple de quand tend vers l'infini.
(d) Calculer et prouver, pour tout entier supérieur ou égal à 2 , l'égalité :

(e) Écrire un programme en Turbo-Pascal qui, pour une valeur d'un entier strictement positif entrée par l'utilisateur, calcule et affiche la valeur de .

Pour tout entier strictement positif, on note l'application de dans définie par :

(a) À l'aide d'un changement de variable, établir pour tout entier strictement positif et pour tout réel supérieur ou égal à 1 , l'égalité :

(b) En déduire que, pour tout entier strictement positif, est une densité de probabilité. Dans la suite de l'exercice, on suppose que est une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé ( ), telle que, pour tout entier strictement positif, prend ses valeurs dans et admet comme densité. On note la fonction de répartition de .
(c) Pour quelles valeurs de la variable aléatoire admet-elle une espérance? Dans le cas où l'espérance de existe, calculer cette espérance en fonction de et de .
(d) Dans cette question, exclusivement, on suppose que est égal à 1. Préciser la fonction .

En déduire l'ensemble des réels vérifiant Déterminer une densité de la variable aléatoire .
(e) Soit un réel strictrement supérieur à 1 .

Justifier l'encadrement :

En déduire la limite suivante :

Transformer, pour tout entier naturel non nul, à l'aide d'une intégration par parties et en déduire l'égalité suivante :

(f) Que vaut si est un réel inférieur ou égal à 1 ?

Montrer que la suite de variables aléatoires converge en loi vers une variable que l'on précisera.

Dans ce problème, désigne un entier naturel non nul et désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à .
Pour tout entier naturel non nul , on note le polynôme et on rappelle que la famille est une base de .
Si sont réels et est le polynôme défini sur par :

on définit le polynôme par :

Autrement dit, est le polynôme obtenu à partir de en "inversant l'ordre des coefficients".
Par exemple, si n est égal à 2 et si , on obtient .
Les trois parties de ce problème sont largement indépendantes.

Montrer que l'application est une application linéaire de dans lui-même.

(a) On considère la matrice carrée d'ordre .

Justifier sans calcul que la matrice est diagonalisable. Déterminer les valeurs propres de et, pour chacune d'entre elles, donner une base du sous-espace propre associé.
(b) Vérifier que, dans le cas particulier est la matrice de l'application linéaire dans la base . Donner alors une base de vecteurs propres pour .

On définit la famille de polynômes ( ) par :

(a) Déterminer l'endomorphisme .
(b) Soit un polynôme non nul et un réel vérifiant .

Calculer et en déduire que les valeurs propres de appartiennent à .
(c) Déterminer pour tout entier vérifiant .
(d) Montrer que la famille ( ) est libre.
(e) En déduire que l'endomorphisme est diagonalisable, préciser ses valeurs propres et la dimension de chacun de ses sous-espaces propres.

On définit une suite de polynômes par : pour tout réel ,

et pour tout entier supérieur ou égalà 2 ,

(a) Déterminer les polynômes et .
(b) Montrer que, pour tout entier strictement positif, est un polynôme de degré vérifiant pour tout réel non nul, l'égalité :

(c) Pour tout réel , déterminer, s'ils existent, les réels non nuls qui vérifient la relation suivante : .

Dans cette question, désigne un polynôme de degré défini par : , tel que soit non nul et tel que, pour tout entier de l'intervalle , l'on ait : .
On définit alors le polynôme par :

(a) Vérifier que 0 n'est pas racine de .
(b) Soit un réel non nul, on pose : .

Montrer que est nul si et seulement si est nul.
Quel est l'intérêt de ce résultat dans la recherche des racines de ?
(c) On suppose que est égal à 3 et que est défini par :

Déterminer les racines de .

Dans cette partie, désigne un entier supérieur ou égal à 2 .
On désigne par l'ensemble des éléments de dont les coefficients sont des entiers de l'intervalle , par l'ensemble des parties de et par la probabilité uniforme sur , c'est à dire que, pour tout polynôme de , l'on a :

Si est un élément de et un entier naturel non nul, on dit que et présentent coïncidences lorsqu'il existe exactement entiers qui vérifient .
On définit alors la variable aléatoire qui, à tout polynôme de , associe le nombre de coïncidences entre et .
Par exemple pour , si , on a .

Dans cette question, on suppose que est égal à 1 et que est égal à 2 .
Ecrire tous les éléments de puis déterminer la loi, l'espérance et la variance de .
2. Étude générale de la variable aléatoire

On revient au cas général : est strictement positif et est supérieur ou égal à 2 .
(a) Calculer le cardinal de .
(b) Montrer que la plus petite valeur que peut prendre est 1 et justifier l'égalité suivante :

(c) Montrer que la plus grande valeur que peut prendre est et justifier l'égalité suivante :

(d) Montrer que ne peut prendre que des valeurs impaires et, pour un entier vérifiant , calculer .
(e) On pose . Montrer que suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

En déduire l'espérance et la variance de en fonction de et de .