Conceptions : H.E.C.
Code épreuve : 289

Mercredi 2 mai 2012, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

Soit un réel donné strictement positif et l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est donnée par : .

On note la matrice identité de et Id l'endomorphisme identité de .
Pour tout endomorphisme de , on pose Id et pour tout de .

Sous réserve d'existence, on note et respectivement, l'espérance mathématique et la variance d'une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( ).
Pour entier supérieur ou égal à 2 , on dit que les variables aléatoires à densité sont indépendantes si pour tout -uplet ( ) de réels, les événements sont indépendants.
L'objet du problème est l'étude de quelques propriétés d'une loi de probabilité utilisée notamment en fiabilité. Les parties I et II sont largement indépendantes. La partie III est indépendante des parties I et II.

On note un paramètre réel strictement positif. On considère la fonction de dans définie par :

1.a) Montrer que la fonction est de classe sur .
b) Dresser le tableau de variation de sur et préciser les limites suivantes : et .
c) Établir la convexité de la fonction sur .
d) Tracer l'allure de la courbe représentative de dans le plan rapporté à un repère orthogonal.
2.a) Vérifier que la fonction est une primitive de sur .
b) Établir la convergence de l'intégrale et calculer sa valeur.
c) En déduire que la fonction est une densité de probabilité sur .
3. Soit une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( ), à valeurs strictement positives, ayant pour densité. On note la fonction de répartition de et on pose : .
a) Calculer pour tout réel, .
b) Montrer que suit la loi exponentielle de paramètre 1.
c) Établir pour tout de , l'existence de .
d) Montrer que pour tout de , on a : .
e) En déduire pour tout de et . En particulier, calculer et .
4. Soit une suite de variables aléatoires définies sur , indépendantes et de même loi que . Soit et deux suites de réels strictement positifs vérifiant et . On pose pour tout de et . On admet que et sont des variables aléatoires à densité définies sur ( ).
Montrer que la suite converge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la loi.

Pour entier de , on note un -échantillon de variables aléatoires à valeurs strictement positives, indépendantes et de même loi que la variable aléatoire définie dans la question 3 .
On rappelle que , et on pose pour tout de et une densité de .
On admet que pour tout entier supérieur ou égal à 2 , les variables aléatoires sont indépendantes et que pour tout de , les variables aléatoires et sont indépendantes.
On admet que si et sont deux variables aléatoires à densité indépendantes définies sur le même espace probabilisé, de densités respectives et telles que (ou ) soit bornée, alors la variable aléatoire admet une densité définie pour tout réel par : .
5.a) En utilisant les propriétés admises, montrer que : .
b) À l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout de , on a :

c) On admet que pour tout de est une variable aléatoire à densité. Pour quelles valeurs de , l'espérance et la variance existent-elles ? Calculer alors leurs valeurs respectives.
6. On note un -uplet de constituant une réalisation du -échantillon . On suppose que le paramètre est inconnu. Soit la fonction de dans définie par :

Montrer que la fonction admet un maximum atteint en un unique point dont on donnera la valeur.
7. On pose pour tout entier supérieur ou égal à 3 : .
a) Que représente pour ?
b) Construire à partir de un estimateur sans biais de et calculer le risque quadratique de .
c) Calculer . Commenter.

où exp désigne la fonction exponentielle.
a) Montrer que est une densité de probabilité sur .

Soit une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( ), à valeurs strictement positives, de densité . On dit que suit la loi .
b) On note la fonction de répartition de . Calculer pour tout réel, .
c) Montrer que la variable aléatoire suit la loi uniforme sur .
d) Écrire une fonction Pascal d'en-tête function W (lambda, alpha : real) : real ; permettant de simuler .
9. Soit une variable aléatoire à densité définie sur un espace probabilisé ( ), à valeurs strictement positives, de densité nulle sur , continue sur , de classe sur et strictement positive sur . On note la fonction de répartition de .
On pose pour tout réel : et (où est la fonction dérivée de ).
a) On suppose dans cette question que suit la loi avec .

Établir les propriétés (i) et (ii) suivantes:
(i) la fonction est continue et strictement croissante sur , et .
(ii) la variable aléatoire suit la loi .
b) Réciproquement, on suppose dans cette question que les propriétés (i) et (ii) sont vérifiées.

Montrer que suit la loi . Conclusion.
Dans les questions 10 et 11 , l'entier est supérieur ou égal à 2 . On note des réels strictement positifs et non tous égaux.
10. Soit la fonction de dans définie par: .
a) Soit des réels non tous nuls et des réels quelconques.

En étudiant la fonction polynomiale du second degré définie sur par , établir l'inégalité : .
b) Montrer que la fonction est strictement croissante sur .
c) On note le nombre d'entiers de vérifiant . Montrer que : .
d) Donner un équivalent de en fonction de et , lorsque tend vers .
e) Calculer en fonction de , la limite de lorsque tend vers . (on distinguera les deux cas : et )
f) En déduire que sur , l'équation admet une unique solution.
11. On note un -échantillon de variables aléatoires à valeurs strictement positives, indépendantes et de même loi définie dans la question 8 , dont une réalisation est le -uplet . On suppose que les paramètres et sont inconnus.
Soit la fonction de dans définie par : .
a) Montrer que la fonction admet un unique point critique .
b) Montrer que la fonction admet un maximum local au point .