BCE Maths appliquées HEC ECE 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

Conceptions : H.E.C.
Code épreuve : 289

Mercredi 2 mai 2012, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

Soit m un réel donné strictement positif et f l'endomorphisme de ℝ^3 dont la matrice M dans la base canonique de ℝ^3 est donnée par : M = (0, 1/m, 1/m^2; m, 0, 1/m; m^2, m, 0).

On note I la matrice identité de M_3(ℝ) et Id l'endomorphisme identité de ℝ^3.
Pour tout endomorphisme g de ℝ^3, on pose g^0 = Id et pour tout k de ℕ^∗, g^k = g ∘ g^(k − 1).

Sous réserve d'existence, on note E(U) et V(U) respectivement, l'espérance mathématique et la variance d'une variable aléatoire U définie sur un espace probabilisé ( Ω, A, P ).
Pour p entier supérieur ou égal à 2 , on dit que les variables aléatoires à densité U_1, …, U_p sont indépendantes si pour tout p-uplet ( u_1, …, u_p ) de réels, les événements [U_1 ⩽ u_1], …, [U_p ⩽ u_p] sont indépendants.
L'objet du problème est l'étude de quelques propriétés d'une loi de probabilité utilisée notamment en fiabilité. Les parties I et II sont largement indépendantes. La partie III est indépendante des parties I et II.

On note λ un paramètre réel strictement positif. On considère la fonction f_λ de ℝ dans ℝ définie par :

1.a) Montrer que la fonction f_λ est de classe C^2 sur ℝ_+^∗.
b) Dresser le tableau de variation de f_λ sur ℝ_+^∗ et préciser les limites suivantes : lim_(x → 0^+)f_λ(x) et lim_(x → + ∞)f_λ(x).
c) Établir la convexité de la fonction f_λ sur ℝ_+^∗.
d) Tracer l'allure de la courbe représentative de f_1 dans le plan rapporté à un repère orthogonal.
2.a) Vérifier que la fonction x ⟼ − e^(− λ√x) est une primitive de f_λ sur ℝ_+^∗.
b) Établir la convergence de l'intégrale ∫_0^(+ ∞)f_λ(x)dx et calculer sa valeur.
c) En déduire que la fonction f_λ est une densité de probabilité sur ℝ.
3. Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( Ω, A, P ), à valeurs strictement positives, ayant f_λ pour densité. On note F_λ la fonction de répartition de X et on pose : Y = λ√X.
a) Calculer pour tout x réel, F_λ(x).
b) Montrer que Y suit la loi exponentielle de paramètre 1.
c) Établir pour tout r de ℕ^∗, l'existence de E(Y^r).
d) Montrer que pour tout r de ℕ^∗, on a : E(Y^(r + 1)) = (r + 1)E(Y^r).
e) En déduire pour tout r de ℕ^∗, E(Y^r) et E(X^r). En particulier, calculer E(X) et V(X).
4. Soit (X_n)_(n ∈ ℕ^∗) une suite de variables aléatoires définies sur (Ω, A, P), indépendantes et de même loi que X. Soit (a_n)_(n ∈ ℕ^∗) et (b_n)_(n ∈ ℕ^∗) deux suites de réels strictement positifs vérifiant lim_(n → + ∞)n^2 a_n = 1 et lim_(n → + ∞)n^2 b_n = 0. On pose pour tout n de ℕ^∗ : M_n = min_(1 ⩽ k ⩽ n)(X_k) et J_n = (M_n − b_n)/(a_n). On admet que M_n et J_n sont des variables aléatoires à densité définies sur ( Ω, A, P ).
Montrer que la suite (J_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la loi.

Pour n entier de ℕ^∗, on note (X_1, X_2, …, X_n) un n-échantillon de variables aléatoires à valeurs strictement positives, indépendantes et de même loi que la variable aléatoire X définie dans la question 3 .
On rappelle que Y = λ√X, et on pose pour tout k de [ [1, n] ] : Y_k = λ√(X_k), S_k = ∑_(j = 1)^k Y_j et g_k une densité de S_k.
On admet que pour tout entier n supérieur ou égal à 2 , les variables aléatoires Y_1, Y_2, …, Y_n sont indépendantes et que pour tout k de [ [1, n − 1] ], les variables aléatoires S_k et Y_(k + 1) sont indépendantes.
On admet que si T et Z sont deux variables aléatoires à densité indépendantes définies sur le même espace probabilisé, de densités respectives f_T et f_Z telles que f_T (ou f_Z ) soit bornée, alors la variable aléatoire T + Z admet une densité f_(T + Z) définie pour tout x réel par : f_(T + Z)(x) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f_T(y)f_Z(x − y)dy.
5.a) En utilisant les propriétés admises, montrer que : g_2(x) = {xe^(− x), si x > 0; 0, si x ⩽ 0.
b) À l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout n de ℕ^∗, on a :

c) On admet que pour tout n de ℕ^∗, 1/(S_n) est une variable aléatoire à densité. Pour quelles valeurs de n, l'espérance E(1/S_n) et la variance V(1/S_n) existent-elles ? Calculer alors leurs valeurs respectives.
6. On note (x_1, x_2, …, x_n) un n-uplet de (ℝ_+^∗)^n constituant une réalisation du n-échantillon (X_1, X_2, …, X_n). On suppose que le paramètre λ est inconnu. Soit H la fonction de ℝ_+^∗ dans ℝ définie par :

Montrer que la fonction H admet un maximum atteint en un unique point λ_0 dont on donnera la valeur.
7. On pose pour tout entier n supérieur ou égal à 3 : λ_n^∗ = n/(∑_(k = 1)^n√(X_k)).
a) Que représente λ_0 pour λ_n^∗ ?
b) Construire à partir de λ_n^∗ un estimateur sans biais λˆ_n de λ et calculer le risque quadratique ρ(λˆ_n) de λˆ_n.
c) Calculer lim_(n → + ∞)ρ(λˆ_n). Commenter.

où exp désigne la fonction exponentielle.
a) Montrer que f_((λ, α)) est une densité de probabilité sur ℝ.

Soit W une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( Ω, A, P ), à valeurs strictement positives, de densité f_((λ, α)). On dit que W suit la loi WB(λ, α).
b) On note F_((λ, α)) la fonction de répartition de W. Calculer pour tout x réel, F_((λ, α))(x).
c) Montrer que la variable aléatoire F_((λ, α))(W) suit la loi uniforme sur [0, 1].
d) Écrire une fonction Pascal d'en-tête function W (lambda, alpha : real) : real ; permettant de simuler W.
9. Soit K une variable aléatoire à densité définie sur un espace probabilisé ( Ω, A, P ), à valeurs strictement positives, de densité f_K nulle sur ℝ_−, continue sur ℝ, de classe C^1 sur ℝ_+^∗ et strictement positive sur ℝ_+^∗. On note F_K la fonction de répartition de K.
On pose pour tout x réel : R(x) = − ln(1 − F_K(x)) et r(x) = R^′(x) (où R^′ est la fonction dérivée de R ).
a) On suppose dans cette question que K suit la loi WB(λ, 2) avec λ > 0.

Établir les propriétés (i) et (ii) suivantes:
(i) la fonction r est continue et strictement croissante sur ℝ_+, et r(0) = 0.
(ii) la variable aléatoire r(K) suit la loi WB(1/(4λ), 2).
b) Réciproquement, on suppose dans cette question que les propriétés (i) et (ii) sont vérifiées.

Montrer que K suit la loi WB(λ, 2). Conclusion.
Dans les questions 10 et 11 , l'entier n est supérieur ou égal à 2 . On note w_1, w_2, …, w_n des réels strictement positifs et non tous égaux.
10. Soit φ la fonction de ℝ_+^∗ dans ℝ définie par: φ(x) = (∑_(k = 1)^n(w_k)^x(lnw_k))/(∑_(k = 1)^n(w_k)^x) − 1/x.
a) Soit y_1, y_2, …, y_n des réels non tous nuls et z_1, z_2, …, z_n des réels quelconques.

En étudiant la fonction polynomiale du second degré Q définie sur ℝ par Q(t) = ∑_(k = 1)^n(z_k − ty_k)^2, établir l'inégalité : (∑_(k = 1)^n y_k z_k)^2 ⩽ (∑_(k = 1)^n y_k^2) × (∑_(k = 1)^n z_k^2).
b) Montrer que la fonction φ est strictement croissante sur ℝ_+^∗.
c) On note n_0 le nombre d'entiers k_0 de [ [1, n] ] vérifiant w_(k_0) = max_(1 ⩽ k ⩽ n)(w_k). Montrer que : 1 ⩽ n_0 ⩽ n − 1.
d) Donner un équivalent de ∑_(k = 1)^n(w_k)^x en fonction de n_0 et w_(k_0), lorsque x tend vers + ∞.
e) Calculer en fonction de w_(k_0), la limite de φ(x) lorsque x tend vers + ∞. (on distinguera les deux cas : w_(k_0) = 1 et w_(k_0) ≠ 1 )
f) En déduire que sur ℝ_+^∗, l'équation φ(x) = 1/n∑_(k = 1)^n(lnw_k) admet une unique solution.
11. On note (W_1, W_2, …, W_n) un n-échantillon de variables aléatoires à valeurs strictement positives, indépendantes et de même loi WB(λ, α) définie dans la question 8 , dont une réalisation est le n-uplet (w_1, w_2, …, w_n). On suppose que les paramètres λ et α sont inconnus.
Soit G la fonction de (ℝ_+^∗)^2 dans ℝ définie par : G(λ, α) = ln(∏_(k = 1)^n f_((λ, α))(w_k)).
a) Montrer que la fonction G admet un unique point critique (λˆ, αˆ)sur(ℝ_+^∗)^2.
b) Montrer que la fonction G admet un maximum local au point (λˆ, αˆ).