La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

La durée de vie d'un composant électronique est une variable aléatoire de densité strictement positive sur et nulle sur . On note la fonction de répartition de .
a. On désigne par et deux réels strictement positifs. Exprimer, à l'aide de la fonction , la probabilité que le composant tombe en panne avant l'instant sachant qu'il fonctionnait encore à l'instant .
b. Établir que, lorsque est au voisinage de .

On pose désormais, pour tout réel positif

. On a bien sûr

.
La fonction positive

est appelée taux de panne du composant ou taux de panne de

.
2) Soit

une variable aléatoire qui possède une densité continue, strictement positive sur

, nulle sur

et de taux de panne

.
a. Pour tout réel strictement positif

, calculer

puis montrer que la seule connaissance de la fonction "taux de panne"

permet de déterminer la fonction de répartition

.
b. Déduire de la question précédente que les variables suivant des lois exponentielles possèdent un taux de panne constant et qu'elles sont les seules dans ce cas.
3) La durée de vie (en années) d'un appareil est une variable aléatoire

dont le "taux de panne" est la fonction

définie par

.
a. Quelle est la probabilité que cet appareil survive plus d'un an ?
b. Quelle est la probabilité que cet appareil, âgé de 1 an, survive plus de 2 ans ?

Exercice 2

Dans cet exercice,

désigne un réel élément de [ 0,1 [ et

un entier supérieur ou égal à 1 .

a. Montrer que: .
b. En déduire que : .
a. Montrer que: .
b. En déduire que la série de terme général converge et exprimer sa somme en fonction de .
a. Pour tout de , calculer .
b. En déduire que, pour tout de [ 0,1 [, la série de terme général est convergente.

On pose maintenant

.
4) Le but de cette question est de trouver un équivalent simple de

lorsque

est au voisinage de

.
a. Montrer, en utilisant la première question, que :

.
b. En déduire que :

.
c. Justifier que :

.
d. En déduire que :

Exercice 3

Un sondage consiste à proposer l'affirmation «

» à certaines personnes d'une population donnée. Le sujet abordé étant délicat, le stratagème suivant est mis en place afin de mettre en confiance les personnes sondées pour qu'elles ne mentent pas...
L'enquêteur dispose d'un paquet de 20 cartes, numérotées de 1 à 20 , qu'il remet à la personne sondée. Celle-ci tire une carte au hasard et ne la montre pas à l'enquêteur.
La règle est alors la suivante :

si la carte porte le numéro 1, la personne sondée répond "vrai" si elle est d'accord avec l'affirmation « » et "faux" sinon.
si la carte porte un autre numéro, la personne sondée répond "vrai" si elle n'est pas d'accord avec l'affirmation « » et "faux" sinon.
Le but de l'enquête est d'évaluer la proportion de gens de cette population qui sont réellement d'accord avec l'affirmation « ».

On interroge une personne selon ce procédé et on considère l'événement suivant, noté : « la personne répond "vrai"». On note .
En utilisant la formule des probabilités totales, exprimer en fonction de , puis en déduire en fonction de .
Certaines considérations théoriques laissent penser que .
a. Vérifier que .
b. Calculer la probabilité pour qu'une personne ayant répondu "vrai" soit d'accord avec l'affirmation « ».

On revient au cas général où l'on ne connaît ni

, ni

.
3) On considère un échantillon aléatoire, de taille

, extrait de la population considérée et on note

le nombre de réponses "vrai" obtenues. On suppose

assez grand pour pouvoir considérer que cet échantillonnage est assimilable à un tirage avec remise.
a. Donner la loi de

ainsi que son espérance et sa variance.
b. Montrer que

est un estimateur sans biais et convergent de

.
4) Dans cette question, on suppose que l'on a réalisé un échantillon de 100 personnes et on constate que 23 personnes ont répondu "vrai".
a. Donner une estimation ponctuelle de

et de

.
b. Donner un intervalle de confiance à

puis de

On rappelle que, si

désigne la fonction de répartition d'une variable

suivant la loi normale

, alors

Problème

On considère l'espace euclidien

, muni du produit scalaire noté ( . . ) défini par :

.
La norme du vecteur

est alors définie par

.
On note

la base canonique de

et on rappelle que

est orthonormée pour le produit scalaire défini ci-dessus.
Le but de ce problème est de montrer que l'on peut trouver une famille de cardinal maximal,

formée de

vecteurs unitaires et deux à deux distincts de

ainsi qu' un réel

tels que : pour tout couple d'entiers

vérifiant

, on ait :

.
La partie 1 permet d'obtenir un résultat d'algèbre linéaire utile pour la suite, la partie 2 étudie les propriétés d'une telle famille et la partie 3 propose la construction d'une famille solution du problème pour

(cette valeur est d'ailleurs la valeur maximale possible de

mais ce résultat ne sera pas démontré dans ce problème).

Partie 1

Dans cette partie,

est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
Pour tout réel

, on note

la matrice de

dont les éléments diagonaux sont tous égaux à 1 , les autres étant égaux à

. On note

la matrice unité de

la matrice de

dont tous les coefficients valent 1 .

a. est-elle diagonalisable ?
b. Calculer et en déduire les 2 valeurs propres de .
a. Utiliser une base de formée de vecteurs propres de pour déterminer les deux valeurs propres de .
b. En déduire que est inversible si et seulement si : et .

Partie 2

On suppose que l'on a trouvé une famille (

) formée de

vecteurs de

, unitaires et deux à deux distincts, et un réel

solutions du problème.

Soit des réels tels que .
a. Montrer que .
b. En déduire la valeur maximale de lorsque et .
Étude du cas .
a. Écrire l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les vecteurs et (avec ). À quelle condition a-t-on l'égalité ?
b. En déduire que .
Dans cette question, on admet qu'il existe une famille ( ), formée de 4 vecteurs de , unitaires et deux à deux distincts, solution du problème.
a. Donner la valeur de .
b. Montrer que ( ) est une base de .
c. Calculer les coordonnées de dans cette base.

Partie 3

Donner une famille solution du problème posé, pour et .
On pose et .
a. Montrer que est solution du problème posé avec .
b. Trouver deux réels et tels que la famille ( ) soit solution du problème pour .

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\title{MATHEMATIQUES }

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