J-0
00m
00j
00h
00min
00s

BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2002

Epreuve de maths approfondies - ECS 2002

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Intégrales généraliséesProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesRéductionAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensTopologie/EVN
RetourLire
Logo concours BCE - Voir tous les sujets BCE

Voir tous les sujets

Logo concours BCE
🔗 Explorer
Banque
BCE
Année
2002
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2002ECS MathématiquesMathématiques 2002

Téléchargements disponibles

Sujet et rapport

Télécharger le sujet →Rapport du jury → indisponible

Corrigés

Télécharger corrigé →

Lecture et formats

Lire en ligne →LaTeX →Word →

Description

Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2002.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
7416957c-9e60-48a6-b480-19ac8e96685f

edhec 2002. Option scientifique.

EXERCICE 1

1)a) Montrer que l'intégrale converge et donner sa valeur.
b) Montrer que converge pour tout strictement positif.
On pose alors :
c) Montrer que est continue en 0 .
d) Montrer que est de classe sur et donner ses variations (la limite de en n'est pas demandée).
2) On définit la suite ( ) par la donnée de son premier terme et la relation de récurrence, valable pour tout de : .
a) Établir que, pour tout de .
b) Montrer que , puis déterminer par récurrence les variations de la suite ( ).
c) En déduire que la suite ( ) est convergente.
3) Pour tout de , on pose : .
a) Montrer qu'il existe un unique réel de tel que , puis donner les variations de .
b) En déduire l'existence d'un unique réel , élément de ] tel que .
4)a) Montrer que: .
b) En déduire que .

EXERCICE 2

Dans cet exercice, et désignent des réels strictement positifs.
Un commerçant se fournit auprès d'un grossiste pour constituer son stock au début de la saison 2002, lequel consiste en un certain nombre d'unités d'un produit de consommation.
Chaque unité vendue par ce commerçant lui rapporte un bénéfice net de euros alors que chaque unité invendue à la fin de la saison engendre une perte nette de euros.
Ce commerçant doit constituer son stock au début de la saison et désire déterminer la taille de ce stock afin de maximiser son espérance de gain.
On admet que le nombre d'unités qui seront commandées à ce commerçant pendant la saison 2002 est une variable aléatoire à valeurs dans , notée .
On note la variable aléatoire égale au gain (positif ou négatif) de ce commerçant à la fin de la saison 2002.
On désigne par la variable aléatoire qui vaut 1 si et qui vaut 0 si .
On admet que ces variables sont toutes définies sur le même espace probabilisé ( ).
  1. En distinguant deux cas selon la valeur de montrer que :
2)a) Vérifier que la variable prend ses valeurs dans .
b) Exprimer, sous forme de somme, l'espérance de à l'aide de la loi de .
c) Montrer enfin que .
Dans la suite, on suppose que .
3)a) Exprimer en fonction de et .
b) Montrer qu'il existe un unique entier naturel tel que:
c) En déduire que ce commerçant est sûr de maximiser son espérance de gain, en constituant un stock de taille .
4) Une étude statistique faite au cours des saisons précédentes permet d'affirmer que suit la loi de Poisson de paramètre , où est un réel strictement positif.
a) Exprimer en fonction de .
b) Utiliser ce résultat pour écrire un programme en Turbo Pascal permettant de calculer et d'afficher lorsque l'utilisateur entre au clavier les valeurs de et .

EXERCICE 3

On considère deux variables aléatoires et de densités respectives et strictement positives et dérivables sur .
On suppose qu'il existe une fonction , définie et dérivable sur , telle que :
  1. On suppose, dans cette question seulement, que , et suivent toutes les deux la loi normale . Montrer que : .
    2)a) Montrer que:
    b) On note la fonction définie sur par .
Soient , et deux réels distincts et non nuls. Montrer que et en déduire que est une fonction constante sur . On note cette constante.
c) Soit la fonction définie pour tout réel par . Montrer que est constante sur ainsi que sur .
En déduire que est constante sur , puis montrer qu'il existe un réel tel que :
d) Utiliser le fait que est une densité de probabilité pour montrer que est strictement négatif. On pose dorénavant .
e) En déduire que suit la loi normale .
3) On admet que l'on peut montrer de la même façon qu'il existe un réel strictement positif tel que suive la loi normale .
Montrer, en revenant à la définition de et en calculant de deux façons, que , c'est-à-dire que et suivent toutes les deux la même loi normale.

PROBLÈME

Dans tout le problème, désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On note Id l'application identique de .

Partie I : étude des symétries de .

Soient et deux sous-espaces vectoriels de , non réduits au seul vecteur nul, et supplémentaires, c'est-à-dire tels que .
On appelle symétrie par rapport à parallèlement à , l'endomorphisme de défini pour tout de tel que ( avec et ) par .
Dans les trois premières questions, on considère une telle symétrie notée .
1)a) Montrer que: .
b) En déduire que .
2)a) Montrer que: .
b) En déduire que .
3) Utiliser les questions précédentes pour montrer que est diagonalisable et donner une forme possible de la matrice de relativement à une base de constituée de vecteurs propres de .
4) Réciproquement, montrer qu'une telle matrice est la matrice d'une symétrie.

Partie II : étude de deux exemples.

  1. Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est :
a) Déterminer les valeurs propres de ainsi que les sous-espaces propres associés.
b) En déduire que s est une symétrie.
2) Soit un endomorphisme de tel que .
a) Montrer que, pour tout de et .
b) En déduire que et sont supplémentaires.
c) Établir enfin que est la symétrie par rapport à parallèlement à .

Partie III : symétries orthogonales.

On considère l'espace vectoriel , muni de sa structure euclidienne usuelle dans lequel le produit scalaire canonique est noté ,
Pour tout sous-espace vectoriel de , non réduit au seul vecteur nul et différent de , on appelle symétrie orthogonale par rapport à la symétrie par rapport à parallèlement à .
  1. Dans cette question, on suppose que . Montrer que la matrice , présentée dans la première question de la deuxième partie, est la matrice d'une symétrie orthogonale.
  2. On considère une symétrie de et on se propose d'établir l'équivalence suivante :
    est une symétrie orthogonale si et seulement si est un endomorphisme symétrique.
    a) On suppose que est un endomorphisme symétrique de .
Vérifier que : , puis, conclure que est la symétrie orthogonale par rapport à .
b) Soit un sous-espace vectoriel de , non réduit au seul vecteur nul et différent de .
On prend maintenant l'hypothèse : est la symétrie orthogonale par rapport à .
En écrivant avec et avec , montrer que: . Conclure.
3) Soit un sous-espace vectoriel de , non réduit au seul vecteur nul et différent de . Soit la symétrie orthogonale par rapport à et la projection orthogonale sur .
a) Montrer que .
b) En déduire que si est une base orthonormale de , alors:
  1. Dans cette question, on suppose que et que a pour équation : .
    a) Déterminer une base orthonormale de .
    b) En déduire la matrice , relativement à la base canonique de , de la symétrie orthogonale par rapport à .

Pas de description pour le moment