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BCE Maths approfondies emlyon ECS 2000Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2000

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Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2000.

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Chambre de Commerce et d'Industrie de Lyon

École Supérieure de Commerce de Lyon

CONCOURS D'ENTRÉE 2000

MATHEMATIQUES
1ère épreuve (option scientifique)

Mardi 2 mai 2000 de 8 heures à 12 heures
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

PREMIER PROBLÈME

Notations :

  • n désigne un entier supérieur ou égal à 3 .
  • M_n(ℝ) est l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels.
    I_n désigne la matrice identité de M_n(ℝ).
    La transposée d'une matrice M est notée ^t M.
  • ℝ^n est muni du produit scalaire canonique noté ⟨.,. ⟩définipar :
    si x = (x_1, x_2, …, x_n) et y = (y_1, y_2, …, y_n), alors ⟨x, y⟩ = ∑_(k = 1)^n x_k y_k.
    En notant les matrices unicolonnes X = (x_1; ⋮; x_n) et Y = (y_1; ⋮; y_n) et en confondant les matrices d'ordre 1 et les scalaires, on a alors ⟨x, y⟩ = ^t XY.
    La norme associée à ce produit scalaire est notée ‖‖.
  • B = (e_1, e_2, …, e_n) désigne la base canonique de ℝ^n.
On rappelle que la matrice de passage P d'une base orthonormale de ℝ^n à une autre base orthonormale de ℝ^n vérifie ^t P = P^(− 1).

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I

  1. On considère les matrices suivantes de M_3(ℝ) :
S = (5, 2, 2; 2, 5, 2; 2, 2, 5), P = 1/(√6)(√3, 1, √2; − √3, 1, √2; 0, − 2, √2).
a. Justifier que S est diagonalisable dans M_3(ℝ).
b. Montrer qu'il existe une matrice diagonale D de M_3(ℝ) telle que S = PD^t P.
2. On considère la matrice M = (2, 1, 0; 0, 2, 1; 1, 0, 2) de M_3(ℝ).
a. Vérifier que (M − 2I_3)^3 = I_3.
b. M est-elle diagonalisable dans M_3(ℝ) ?
c. Calculer le produit ^t MM.

Partie II

Soit A une matrice de M_n(ℝ). On note f l'endomorphisme de ℝ^n associé à la matrice A relativement à la base B et g l'endomorphisme de ℝ^n associé à la matrice ^t A relativement à la base B.
  1. Montrer, pour tout x et tout y de ℝ^n :
⟨g(y), x⟩ = ⟨y, f(x)⟩ puis ⟨(g ∘ f)(x), x⟩ = ‖f(x)‖^2
  1. Montrer que l'endomorphisme g ∘ f est symétrique.
  2. Montrer que g ∘ f est diagonalisable et que ses valeurs propres sont positives ou nulles.
  3. Justifier l'existence d'une base orthonormale B^′ = (e_1^′, e_2^′, …, e_n^′) de ℝ^n constituée de vecteurs propres de g ∘ f.
On note Q la matrice de passage de la base B à la base B^′.
5. Montrer l'existence de n réels positifs ou nuls μ_1, μ_2, …, μ_n (non nécessairement distincts) tels que la matrice diagonale Δ = (μ_1, 0, …, 0; 0, μ_2, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, …, 0, μ_n) de M_n(ℝ) vérifie : ^t AA = QΔ^2 tQ.
6. Montrer que la famille (f(e_1^′), f(e_2^′), …, f(e_n^′)) est une famille orthogonale et que pour tout entier j de {1, 2, …, n}, ‖f(e_j^′)‖ = μ_j.
7. Dans cette question, on suppose que A est inversible.
a. Vérifier que les nombres réels μ_1, μ_2, …, μ_n sont tous non nuls.
b. Montrer que la famille e = (1/(μ_1)f(e_1^′), 1/(μ_2)f(e_2^′), …, 1/(μ_n)f(e_n^′)) est une base orthonormale de ℝ^n.
c. Soit R la matrice de passage de la base B à la base C. Montrer que A = RΔ^t Q.

Partie III

Déterminer deux matrices orthogonales Q et R d'ordre 3 et une matrice diagonale Δ d'ordre 3 telles que M = RΔ^t Q où M est la matrice définie dans I.2.

DEUXIÈME PROBLÈME

Dans tout ce problème, a est un réel tel que 0 < a < 1.

I - Calcul d'une somme et d'une intégrale

  1. Pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout x ∈ [0; π], on note :
C_n(x) = ∑_(k = 1)^n cos(kx)
a. Montrer, pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout x ∈ [0; π] :
1 + 2C_n(x) = ∑_(k = − n)^n e^(ikx)
b. Etablir, pour tout nombre complexe z tel que z ≠ 1 :
∑_(k = − n)^n z^k = z^(− n)(1 − z^(2n + 1))/(1 − z)
c. En déduire, pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout x ∈ ]0; π] :
1/2 + C_n(x) = (sin((n + 1/2)x))/(2sin(x/2))
  1. Soit n ∈ ℕ^∗. Montrer que l'intégrale J_n = ∫_0^π(sin((n + 1/2)x))/(2sin(x/2))dx existe et calculer sa valeur.
On note φ : [0; π] ⟶ ℝ l'application définie par :
φ(x) = {0, si x = 0; (cos(ax) − 1)/(sin(x/2)), si x ∈ ]0; π]
  1. Montrer que φ est de classe C^1 sur [0; π] et calculer φ^′(0).
  2. On note, pour tout n ∈ ℕ^∗ : I_n = ∫_0^π φ(x)sin((n + 1/2)x)dx.
Montrer, grâce à une intégration par parties, que I_n tend vers 0 quand l'entier n tend vers l'infini.

II - Calcul de la somme d'une série

On note, pour n ∈ ℕ^∗ : u_n = ∫_0^π cos(ax)cos(nx)dx.
  1. Montrer, pour tout n ∈ ℕ^∗ :
∑_(k = 1)^n u_k = − (sin(πa))/(2a) + 1/2I_n + J_n
  1. En déduire que la série ∑_(n ⩾ 1)u_n converge, et calculer sa somme (on pourra utiliser les résultats de I. 2. et I.4.).
  2. Calculer, pour tout n ∈ ℕ^∗, u_n en fonction de a et de n.
  3. Etablir :
∑_(n = 1)^(+ ∞)(2(− 1)^(n − 1)a)/(n^2 − a^2) = π/(sin(πa)) − 1/a

III - Calcul d'une intégrale

Dans cette partie, α désigne un réel tel que α > 1.
  1. Justifier l'existence de l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(dt)/(1 + t^α).
On note : F(α) = ∫_0^(+ ∞)(dt)/(1 + t^α), G(α) = ∫_0^1(dt)/(1 + t^α), H(α) = ∫_1^(+ ∞)(dt)/(1 + t^α).
2.a. Montrer, pour tout réel t de [0; 1] et tout n de ℕ :
1/(1 + t^α) = ∑_(k = 0)^n(− 1)^k t^(kα) + (− 1)^(n + 1)(t^((n + 1)α))/(1 + t^α)
b. Montrer que ∫_0^1(t^((n + 1)α))/(1 + t^α)dt tend vers 0 lorsque l'entier n tend vers l'infini.
c. En déduire que la série ∑_(k ⩾ 0)((− 1)^k)/(kα + 1) converge et que : G(α) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)((− 1)^k)/(kα + 1).
3.a. En utilisant le changement de variable défini par u = t^(1 − α), montrer :
H(α) = 1/(α − 1)G(α/(α − 1))
et en déduire:
H(α) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)((− 1)^(n − 1))/(nα − 1)
b. Etablir :
F(α) = 1 + ∑_(n = 1)^∞(2(− 1)^(n − 1))/(n^2 α^2 − 1)
  1. En utilisant le résultat de II. 4., établir finalement :
F(α) = (π/α)/(sinπ/α)

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