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BCE Maths approfondies emlyon ECS 2003Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2003

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Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2003.

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E.M.Lyon. Math 1 . Option S. 2003

PROBLEME 1

On considère l'application φ : [0; + ∞[ → ℝ définie, pour tout réel t ∈ [0; + ∞[, par :
φ(t) = {(sint)/t, si t ≠ 0; 1, si t = 0
et on considère, pour tout entier n ⩾ 1, les intégrales :
I_n = ∫_0^(+ ∞)(φ(t))^n dt, J_n = ∫_0^1(φ(t))^n dt, K_n = ∫_1^(+ ∞)(φ(t))^n dt

Partie I: Résultats généraux sur φ et J_n

  1. Montrer que φ est continue sur [0; + ∞[ et que, pour tout entier n ⩾ 1, l'intégrale J_n existe.
    2)a) Montrer que φ est strictement positive sur [0; 1] et que φ est strictement décroissante sur [0; 1].
    b) Établir, pour tout réel t ∈ ]0, + ∞[ : |φ(t)| < 1.
    3)a) Montrer, pour tout réel t ∈ [0; + ∞[ : φ(t) ⩾ 1 − t.
    (On pourra étudier les variations sur [0; + ∞[ de l'application t ↦ sint − t + t^2 ).
    b) En déduire, pour tout entier n ⩾ 1 : J_n ⩾ 1/(n + 1).

Partie II : Étude de I_1

1)a) Montrer, pour tout réel x ∈ [1; + ∞[ : ∫_1^x(sint)/t dt = cos1 − (cosx)/x − ∫_1^x(cost)/(t^2) dt.
b) En déduire que les intégrales K_1 et I_1 sont convergentes.
2)a) Montrer, pour tout réel t ∈ [0; + ∞[ : |sint| ⩾ sin^2 t = 1/2(1 − cos(2t)).
b) Montrer que l'intégrale ∫_1^(+ ∞)(cos(2t))/(2t) dt converge.
c) Déduire des deux questions précédentes que l'intégrale I_1 n'est pas absolument convergente.
Partie III : Étude de I_n, pour n ⩾ 2
1)a) Montrer que, pour tout entier n ⩾ 2, l'intégrale K_n est convergente.
b) Établir, pour tout entier n ⩾ 2 : |K_n| ⩽ 1/(n − 1)
2)a) Montrer que la suite (J_n)_(n ⩾ 2) est décroissante.
b) Montrer que la suite (J_n)_(n ⩾ 2) converge ; on note ℓ sa limite.
c) Établir, pour tout entier n ⩾ 2 et tout réel a ∈ ]0; 1[ :
∫_0^a(φ(t))^n dt ⩽ a et ∫_a^1(φ(t))^n dt ⩽ (1 − a)(φ(a))^n
(On pourra utiliser I.2.).
d) En déduire, pour tout réel a ∈ ]0; 1[ : 0 ⩽ ℓ ⩽ a et conclure : ℓ = 0.
3)a) Montrer que, pour tout entier n ⩾ 2, l'intégrale I_n est convergente.
b) Établir : lim_(n → + ∞)I_n = 0.

Partie IV : Étude de la série de terme général I_n, n ⩾ 2

  1. Montrer, pour tout entier p ⩾ 1 : K_(2p) + K_(2p + 1) ⩾ 0.
  2. En déduire, pour tout entier N ⩾ 1 :
∑_(p = 1)^N(I_(2p) + I_(2p + 1)) ⩾ ∑_(p = 1)^N(J_(2p) + J_(2p + 1))
  1. En déduire que la série ∑_(n ⩾ 2)I_n diverge. (On pourra utiliser I.3.b.).

PROBLEME 2

Dans tout le problème, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 , et E est un espace euclidien de dimension n dont le produit scalaire est noté ⟨.,. ⟩etlanormeassociéeestnotée‖. ‖.Onnoteid_E l'application identique de E, et 0~ l'application nulle de E.
Si F est un sous-espace vectoriel de E, on note F^⊥ le sous-espace vectoriel supplémentaire orthogonal de F dans E.
Le projecteur de E sur F parallèlement à F^⊥ est appelé projecteur orthogonal sur F.
Pour tout endomorphisme f de E et toute valeur propre λ de f, on note E_f(λ) le sous-espace propre de f associé à la valeur propre λ.

Partie I: Inverse généralisé d'un endomorphisme symétrique

On considère un endomorphisme symétrique f de E, c'est-à-dire un endomorphisme f tel que :
∀(x, y) ∈ E^2, ⟨f(x), y⟩ = ⟨x, f(y)⟩
On suppose de plus que f est non inversible et non nul.
  1. Montrer que 0 est valeur propre de f et que f admet au-moins une valeur propre non nulle.
    2)a) Soient λ et μ deux valeurs propres de f.
Montrer, pour tout vecteur x de E_f(λ) et pour tout vecteur y de E_f(μ) :
λ⟨x, y⟩ = μ⟨x, y⟩
b) En déduire que les sous-espaces propres de f sont deux à deux orthogonaux.
3) Montrer que les sous-espaces vectoriels Imf et Kerf sont supplémentaires orthogonaux dans E.
On suppose que f admet exactement k + 1 valeurs propres deux à deux distinctes λ_0, λ_1, …, λ_k avec k ⩾ 1, λ_0 = 0 et 0 < |λ_1| ⩽ … ⩽ |λ_k|.
Pour tout entier naturel j inférieur ou égal à k, on note p_j le projecteur orthogonal sur E_f(λ_j).
4) Soit x un vecteur de E.
a) Montrer qu'il existe un unique ( k + 1 )-uplet ( x_0, x_1…, x_k ) de E_f(0) × E_f(λ_1) × ⋯ × E_f(λ_k) tel que x = x_0 + x_1 + … + x_k.
b) Pour tout entier naturel j inférieur ou égal à k, montrer : p_j(x) = x_j.
Ainsi, la relation suivante est clairement vérifiée :
id_E = p_0 + p_1 + … + p_k
5)a) Etablir, pour tout couple (i, j) d'entiers naturels inférieurs ou égaux à k :
i ≠ j ⟹ p_i ∘ p_j = 0~
b) Montrer : f = λ_1 p_1 + λ_2 p_2 + ⋯ + λ_k p_k.
c) Montrer que le projecteur orthogonal p sur Imf vérifie :
p = p_1 + p_2 + ⋯ + p_k
On note f^♯ l'endomorphisme de E défini par f^♯ = 1/(λ_1)p_1 + 1/(λ_2)p_2 + ⋯ + 1/(λ_k)p_k.
On dit que f^♯ est l'inverse généralisé de f.
6)a) Montrer : f ∘ f^♯ = p.
b) En déduire : ∀(x, y) ∈ E^2, (f(x) = p(y) ⟺ x − f^♯(y) ∈ Kerf).
7) Soit y un vecteur de E.
a) Montrer : ∀x ∈ E, (‖f(x) − y‖ = inf_(z ∈ E)‖f(z) − y‖ ⟺ x − f^♯(y) ∈ Kerf)
b) En déduire que f^♯(y) est le vecteur x de E de plus petite norme vérifiant :
‖f(x) − y‖ = inf_(z ∈ E)‖f(z) − y‖

Partie II : Application à un exemple

Dans cette question, E est un espace euclidien de dimension 4 et B = (e_1, e_2, e_3, e_4) est une base orthonormale de E. On note :
A = (3, 0, − 1, 0; 0, 1, 0, − 1; − 1, 0, 3, 0; 0, − 1, 0, 1)
Soit f l'endomorphisme de E associé à la matrice A relativement à la base B.
  1. Justifier que f est un endomorphisme symétrique non nul et non inversible.
  2. Montrer que f admet exactement trois valeurs propres distinctes λ_0, λ_1, λ_2 avec λ_0 < λ_1 < λ_2.
    On note p_1 le projecteur orthogonal sur E_f(λ_1) et M_1 la matrice associée à p_1 relativement à la base B.
    On note p_2 le projecteur orthogonal sur E_f(λ_2) et M_2 la matrice associée à p_2 relativement à la base B.
  3. Montrer : A = 2M_1 + 4M_2.
    4)a) Montrer que E_f(λ_2) est de dimension 1 et déterminer un vecteur v_2 de E_f(λ_2) tel que ‖v_2‖ = 1.
    b) Montrer : ∀x ∈ E, p_2(x) = ⟨x, v_2⟩v_2.
    c) Déterminer la matrice M_2.
  4. En déduire la matrice associée à f^♯ relativement à la base B.

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