WikiPrépaLivrets

BCE Maths approfondies emlyon ECS 2005Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2005

Pas encore noté
Logo concours BCE

Explorer les annales

BanqueBCEAnnée2005FilièreECSMatièreMathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2005ECS MathématiquesMathématiques 2005

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Lire en ligneLaTeXWord
  • Rapport du jury : non disponible
Source du document : annales-prepa.fr

Description

Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2005.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF
Concepteur : EM LYON
1^(ère) épreuve (option scientifique)

MATHÉMATIQUES

Lundi 9 mai 2005 de 8 heures à 12 heures
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Premier problème

On considère la suite (T_n)_(n ∈ ℕ) de polynômes de ℝ[X] définie par :
T_0 = 1, T_1 = 2X et, pour tout entier n ⩾ 2, T_n = 2XT_(n − 1) − T_(n − 2).
On pourra confondre polynôme et fonction polynomiale. Ainsi, pour tout entier n ⩾ 2 et tout réel x,
T_n(x) = 2xT_(n − 1)(x) − T_(n − 2)(x)
PARTIE I : Étude de la suite de polynômes (T_n)_(n ∈ ℕ)
  1. Calculer T_2 et T_3.
    2.a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, T_n est un polynôme de degré n, dont on déterminera le coefficient du terme de degré n.
    b. Établir que, si n est un entier pair (resp. impair), alors T_n est un polynôme pair (resp. impair).
  2. Calculer, pour tout entier naturel n, T_n(1) en fonction de n.
  3. a. Établir, pour tout entier naturel n et tout réel θ de ]0; π[ :
T_n(cosθ) = (sin(n + 1)θ)/(sinθ).
b. En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, T_n admet n racines réelles, toutes situées dans ] - 1; 1 [, que l'on explicitera.
c. Établir, pour tout entier naturel non nul n :
T_n = 2^n∏_(k = 1)^n(X − cos(kπ)/(n + 1)).
d. En déduire, pour tout entier naturel non nul n, la valeur de ∏_(k = 1)^n sin(kπ)/(2(n + 1)) en fonction de n.
5. a. Démontrer, pour tout entier naturel n et tout réel θ de ]0; π[ :
sin^2 θT_n^(′′)(cosθ) − 3cosθT_n^′(cosθ) + (n^2 + 2n)T_n(cosθ) = 0.
Indication: On pourra dériver deux fois la fonction (nulle) :
θ ⟼ sinθT_n(cosθ) − sin(n + 1)θ.
b. En déduire, pour tout entier naturel n :
(X^2 − 1)T_n^(′′) + 3XT_n^′ − (n^2 + 2n)T_n = 0.
Dans la suite du problème, n désigne un entier naturel fixé tel que n ⩾ 2, et on note E l'espace vectoriel réel des polynômes de ℝ[X] de degré inférieur ou égal à n.
On note L l'application qui, à un polynôme P de E, associe le polynôme L(P) défini par :
L(P) = (X^2 − 1)P^(′′) + 3XP^′.

PARTIE II : Étude de l'endomorphisme L

  1. Montrer que L est un endomorphisme de l'espace vectoriel E.
  2. a. Calculer L(T_k) pour tout k de {0, 1, …, n}.
    b. En déduire les valeurs propres de L et, pour chaque valeur propre de L, une base et la dimension du sous-espace propre associé.

PARTIE III : Étude d'un produit scalaire

Dans la suite du problème, on note φ l'application qui, à un couple (P, Q) de polynômes de E, associe le réel φ(P, Q) défini par :
φ(P, Q) = ∫_(− 1)^1√(1 − x^2)P(x)Q(x)dx
  1. Montrer que φ est un produit scalaire sur E.
  2. Démontrer, pour tous polynômes P, Q de E :
φ(L(P), Q) = φ(P, L(Q)).
Indication: On pourra, à l'aide d'une intégration par parties, montrer :
φ(L(P), Q) = ∫_(− 1)^1(1 − x^2)^(3/2)P^′(x)Q^′(x)dx
  1. Établir que (T_k)_(0 ⩽ k ⩽ n) est une base orthogonale de E.

Deuxième problème

PARTIE I : Calcul de la somme d'une série convergente

  1. Vérifier, pour tout n ∈ ℕ^∗ : ∫_0^π((t^2)/(2π) − t)cos(nt)dt = 1/(n^2).
  2. Établir, pour tout m ∈ ℕ^∗ et pour tout t ∈ ]0; π] :
(1 − e^(imt))/(1 − e^(it))e^(it) = (sin(mt)/2)/(sint/2)e^((i(m + 1)t)/2), puis ∑_(n = 1)^m cos(nt) = (cos((m + 1)t)/2sin(mt)/2)/(sint/2)
  1. Soit u : [0; π] ⟶ ℝ une application de classe C^1.
Montrer, à l'aide d'une intégration par parties : ∫_0^π u(t)sin(λt)dt→−_(λ → + ∞)^0.
4. Soit l'application f : [0; π] ⟶ ℝ définie par f(t) = ((t^2)/(2π) − t)/(2sint/2) si t ∈ ]0; π], et f(0) = − 1. Montrer que f est de classe C^1 sur [0; π].
5.a. Montrer : ∀m ∈ ℕ^∗, ∑_(n = 1)^m 1/(n^2) = (π^2)/6 + ∫_0^π f(t)sin((2m + 1)t)/2 dt.
b. Justifier la convergence de la série ∑_(n ⩾ 1)1/(n^2) et montrer : ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2) = (π^2)/6.

PARTIE II : Étude d'une fonction définie par la somme d'une série convergente

1.a. Montrer que, pour tout couple (x, y) ∈ ([0; + ∞[)^2, la série ∑_(n ⩾ 1)1/((n + x)(n + y)) et la série ∑_(n ⩾ 1)1/((n + x)^2(n + y)) convergent.
b. Montrer que, pour tout x ∈ [0; + ∞[, la série ∑_(n ⩾ 1)(1/n − 1/(n + x)) converge.
On note S l'application définie, pour tout x de [0; + ∞[, par S(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(1/n − 1/(n + x)).
2. Calculer S(0) et S(1).
3.a. Établir : ∀(x, y) ∈ ([0; + ∞[)^2, S(y) − S(x) = (y − x)∑_(n = 1)^(+ ∞)1/((n + x)(n + y)).
b. En déduire : ∀(x, y) ∈ ([0; + ∞[)^2, |S(y) − S(x)| ⩽ (π^2)/6|y − x|.
c. Montrer alors que la fonction S est continue sur [0; + ∞[.
4.a. Montrer, pour tout couple (x, y) de ([0; + ∞[)^2 tel que x ≠ y :
|(S(y) − S(x))/(y − x) − ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/((n + x)^2)| ⩽ |y − x|∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^3)
b. En déduire que la fonction S est dérivable sur [0; + ∞[ et que :
∀x ∈ [0; + ∞[, S^′(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/((n + x)^2)
c. Préciser les valeurs de S^′(0) et de S^′(1).
5. On admet que S est deux fois dérivable sur [0; + ∞[ et que :
∀x ∈ [0; + ∞[, S^(′′)(x) = − ∑_(n = 1)^(+ ∞)2/((n + x)^3)
Montrer que S est concave.
6. Soit x ∈ ]0; + ∞[ fixé. On note φ la fonction définie sur [1; + ∞[ par :
∀t ∈ [1; + ∞[, φ(t) = 1/t − 1/(t + x)
a. Montrer que l'intégrale ∫_1^(+ ∞)φ(t)dt converge et calculer sa valeur.
b. Montrer : ∀n ∈ ℕ^∗, φ(n + 1) ⩽ ∫_n^(n + 1)φ(t)dt ⩽ φ(n), et en déduire : ∫_1^(+ ∞)φ(t)dt ⩽ S(x) ⩽ 1 + ∫_1^(+ ∞)φ(t)dt.
c. Conclure : S(x) ∼ _(x → + ∞)lnx.
7.a. Dresser le tableau de variation de S, en précisant la limite de S en + ∞.
b. Tracer l'allure de la courbe représentative de S.

Pas de description pour le moment