BCE Maths approfondies emlyon ECS 2006Sujet et corrigé

1^(ère) épreuve (option scientifique)

Mardi 2 mai 2006 de 8 heures à 12 heures

Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

1.a. Justifier, pour tout n ∈ ℕ : t^n e^(− t^2) = o_(t → + ∞)(1/(t^2)).
b. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, l'intégrale . ∫_(− ∞)^(+ ∞)t^n e^(− t^2) dt est convergente.
2. En déduire que, pour tout polynôme P de ℝ[X], l'intégrale ∫_(− ∞)^(+ ∞)P(t)e^(− t^2) dt converge.

On admet dans tout le problème : ∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(− t^2) dt = √π.
On note, dans tout le problème, pour tout n ∈ ℕ : I_n = ∫_(− ∞)^(+ ∞)t^n e^(− t^2) dt.
3.a. Établir, à l'aide d'une intégration par parties, pour tout n ∈ ℕ : I_(n + 2) = (n + 1)/2I_n.
b. Montrer, pour tout p ∈ ℕ : I_(2p + 1) = 0.
c. Montrer, pour tout p ∈ ℕ : I_(2p) = ((2p)!)/(2^(2p)p!)√π.

On note F : ℝ^2 ⟶ ℝ l'application définie, pour tout (x, y) ∈ ℝ^2, par :

On note S : ℝ ⟶ ℝ et C : ℝ ⟶ ℝ les applications définies, pour tout x ∈ ℝ, par :

On pourra utiliser l'inégalité de Taylor-Lagrange.
3.a. Démontrer, pour tout x ∈ ℝ : (S(x + h) − S(x))/h − C(x)→−_(h → 0)^0.
b. En déduire que S est dérivable sur ℝ et que, pour tout x ∈ ℝ, S^′(x) = C(x).
4.a. À l'aide d'une intégration par parties, établir, pour tout x ∈ ℝ : C(x) = 1/2 − x/2S(x).
b. Montrer, pour tout x ∈ ℝ : 2e^((x^2)/4)S(x) = ∫_0^x e^((t^2)/4) dt.
c. En déduire, pour tout x ∈ ℝ : S(x) = 1/2e^(− (x^2)/4)∫_0^x e^((t^2)/4) dt et C(x) = 1/2 − x/4e^(− (x^2)/4)∫_0^x e^((t^2)/4) dt.

On note g : ℝ ⟶ ℝ l'application définie, pour tout x ∈ ℝ, par : g(x) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)1/(1 + x^2 t^2)e^(− t^2) dt.
2.a. Montrer, pour tout u ∈ [0; + ∞[ : 0 ⩽ (1 − u + u^2) − 1/(1 + u) ⩽ u^3.
b. En déduire, pour tout x ∈ ℝ : 0 ⩽ ∫_(− ∞)^(+ ∞)(1 − x^2 t^2 + x^4 t^4)e^(− t^2) dt − g(x) ⩽ (15√π)/8x^6.
3. Montrer que g admet un développement limité à l'ordre 5 en 0 , et former ce développement limité.

On note, pour tout p ∈ ℕ : u_p = ∫_(− ∞)^(+ ∞)(t^(2p))/(t^2 + (2p)!)e^(− t^2) dt.
2. Montrer, pour tout p ∈ ℕ : 0 ⩽ u_p ⩽ (I_(2p))/((2p)!).

En déduire que la série de terme général u_p est convergente.

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 . On désigne par I_n la matrice unité de M_n(ℂ).
On considère un n-uplet ( a_0, a_1, …, a_(n − 1) ) de ℂ^n et le polynôme P = X^n + a_(n − 1)X^(n − 1) + ⋯ + a_1 X + a_0.
On note C la matrice de M_n(ℂ) définie par C = (0, ⋯, ⋯, ⋯, 0, − a_0; 1, ⋱, (0), ⋮, − a_1; 0, ⋱, ⋱, ⋮, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮, ⋮; ⋮, (0), ⋱, ⋱, 0, − a_(n − 2); 0, ⋯, ⋯, 0, 1, − a_(n − 1)).
On dit que C est la matrice compagnon du polynôme P.
On note B_0 = (e_1, …, e_n) la base canonique de ℂ^n.
On note id l'application identité de ℂ^n et on appelle f l'endomorphisme de ℂ^n tel que C soit la matrice associée à f relativement à la base B_0.
On note f^0 = id et, pour tout entier naturel k, f^(k + 1) = f^k ∘ f.
1.a. Exprimer, pour tout i ∈ [ [1; n − 1] ], f(e_i) en fonction de e_(i + 1).
b. En déduire : ∀j ∈ [ [1; n − 1] ], f^j(e_1) = e_(j + 1) et f^n(e_1) = − (a_0 e_1 + a_1 e_2 + ⋯ + a_(n − 1)e_n).
2. Soit g l'endomorphisme de ℂ^n défini par g = f^n + a_(n − 1)f^(n − 1) + ⋯ + a_1 f + a_0 id.
a. Vérifier : g(e_1) = 0.
b. Montrer : ∀i ∈ ℕ, g ∘ f^i = f^i ∘ g.
c. En déduire : ∀i ∈ [ [1; n] ], g(e_i) = 0.
d. Montrer que le polynôme P est annulateur de l'endomorphisme f.

Application 1 : Déterminer une matrice A ∈ M_5(ℂ) telle que A^5 = A^3 + 2A^2 + I_5.
e. Établir que toutes les valeurs propres de C sont des racines du polynôme P.
3.a. Soit Q = α_0 + α_1 X + ⋯ + α_(n − 1)X^(n − 1) un polynôme non nul et de degré inférieur ou égal à n − 1. On note Q(f) l'endomorphisme de ℂ^n défini par Q(f) = α_0 id + α_1 f + ⋯ + α_(n − 1)f^(n − 1). Calculer Q(f)(e_1).
b. En déduire qu'il n'existe pas de polynôme non nul, de degré inférieur ou égal à n − 1 et annulateur de f.
c. Soit λ une racine du polynôme P.

Il existe donc un unique polynôme R ∈ ℂ[X] tel que P = (X − λ)R.
Vérifier que (f − λid) ∘ R(f) = 0~, où 0~ est l'endomorphisme nul de ℂ^n.
d. Conclure que toutes les racines du polynôme P sont des valeurs propres de C.
4.a. Montrer que, pour tout nombre complexe x, la matrice (C − xI_n) est de rang supérieur ou égal à n − 1. En déduire que chaque sous-espace propre de C est de dimension 1 .
b. En déduire que C est diagonalisable si et seulement si P admet n racines deux à deux distinctes.
5.a. Application 2 : Montrer que la matrice A_1 = (0, 0, 0, 1; 1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0) de M_4(ℂ) est diagonalisable.
b. Application 3 : Montrer que la matrice A_2 = (0, 0, 0, 4; 1, 0, 0, − 8; 0, 1, 0, 3; 0, 0, 1, 2) de M_4(ℂ) n'est pas diagonalisable.
6. On note B = ^t C la matrice transposée de C.
a. Montrer que, pour tout nombre complexe t, la matrice (B − tI_n) est inversible si et seulement si la matrice (C − tI_n) est inversible.
b. En déduire que les matrices B et C ont les mêmes valeurs propres.
c. Soit λ une valeur propre de B. Déterminer une base du sous-espace propre de B associé à λ.
d. On suppose que le polynôme P admet n racines λ_1, …, λ_n deux à deux distinctes. Montrer que B est diagonalisable et en déduire que la matrice V = (1, 1, ⋯, 1; λ_1, λ_2, ⋯, λ_n; λ_1^2, λ_2^2, ⋯, λ_n^2; ⋮, ⋮, ⋮; λ_1^(n − 1), λ_2^(n − 1), ⋯, λ_n^(n − 1)) est inversible.
7. Soit E un ℂ-espace vectoriel de dimension n et u un endomorphisme de E admettant n valeurs propres μ_1, …, μ_n deux à deux distinctes.
L'endomorphisme u est donc diagonalisable et on note E = (ε_1, …, ε_n) une base de E constituée de vecteurs propres de u respectivement associés à μ_1, …, μ_n.
a. Soit a = ε_1 + ε_2 + ⋯ + ε_n. Montrer que la famille B_a = (a, u(a), …, u^(n − 1)(a)) est une base de E.
b. Montrer qu'il existe un polynôme P_1 = X^n + b_(n − 1)X^(n − 1) + ⋯ + b_1 X + b_0 tel que la matrice associée à u relativement à la base B_a = (a, u(a), …, u^(n − 1)(a)) soit la matrice compagnon du polynôme P_1.