BCE Maths approfondies emlyon ECS 2006

épreuve (option scientifique)

Mardi 2 mai 2006 de 8 heures à 12 heures

Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

1.a. Justifier, pour tout .
b. Montrer que, pour tout , l'intégrale . est convergente.
2. En déduire que, pour tout polynôme de , l'intégrale converge.

On admet dans tout le problème : .
On note, dans tout le problème, pour tout .
3.a. Établir, à l'aide d'une intégration par parties, pour tout .
b. Montrer, pour tout .
c. Montrer, pour tout .

On note l'application définie, pour tout , par :

On note et les applications définies, pour tout , par :

On pourra utiliser l'inégalité de Taylor-Lagrange.
3.a. Démontrer, pour tout .
b. En déduire que est dérivable sur et que, pour tout .
4.a. À l'aide d'une intégration par parties, établir, pour tout .
b. Montrer, pour tout .
c. En déduire, pour tout et .

On note l'application définie, pour tout , par : .
2.a. Montrer, pour tout .
b. En déduire, pour tout .
3. Montrer que admet un développement limité à l'ordre 5 en 0 , et former ce développement limité.

On note, pour tout .
2. Montrer, pour tout .

En déduire que la série de terme général est convergente.

Soit un entier supérieur ou égal à 2 . On désigne par la matrice unité de .
On considère un -uplet ( ) de et le polynôme .
On note la matrice de définie par .
On dit que est la matrice compagnon du polynôme .
On note la base canonique de .
On note id l'application identité de et on appelle l'endomorphisme de tel que soit la matrice associée à relativement à la base .
On note et, pour tout entier naturel .
1.a. Exprimer, pour tout , en fonction de .
b. En déduire : et .
2. Soit l'endomorphisme de défini par .
a. Vérifier : .
b. Montrer : .
c. En déduire : .
d. Montrer que le polynôme est annulateur de l'endomorphisme .

Application 1 : Déterminer une matrice telle que .
e. Établir que toutes les valeurs propres de sont des racines du polynôme .
3.a. Soit un polynôme non nul et de degré inférieur ou égal à . On note l'endomorphisme de défini par id . Calculer .
b. En déduire qu'il n'existe pas de polynôme non nul, de degré inférieur ou égal à et annulateur de .
c. Soit une racine du polynôme .

Il existe donc un unique polynôme tel que .
Vérifier que , où est l'endomorphisme nul de .
d. Conclure que toutes les racines du polynôme sont des valeurs propres de .
4.a. Montrer que, pour tout nombre complexe , la matrice est de rang supérieur ou égal à . En déduire que chaque sous-espace propre de est de dimension 1 .
b. En déduire que est diagonalisable si et seulement si admet racines deux à deux distinctes.
5.a. Application 2 : Montrer que la matrice de est diagonalisable.
b. Application 3 : Montrer que la matrice de n'est pas diagonalisable.
6. On note la matrice transposée de .
a. Montrer que, pour tout nombre complexe , la matrice est inversible si et seulement si la matrice est inversible.
b. En déduire que les matrices et ont les mêmes valeurs propres.
c. Soit une valeur propre de . Déterminer une base du sous-espace propre de associé à .
d. On suppose que le polynôme admet racines deux à deux distinctes. Montrer que est diagonalisable et en déduire que la matrice est inversible.
7. Soit un -espace vectoriel de dimension et un endomorphisme de admettant valeurs propres deux à deux distinctes.
L'endomorphisme est donc diagonalisable et on note une base de constituée de vecteurs propres de respectivement associés à .
a. Soit . Montrer que la famille est une base de .
b. Montrer qu'il existe un polynôme tel que la matrice associée à relativement à la base soit la matrice compagnon du polynôme .