BCE Maths approfondies emlyon ECS 2007
Epreuve de maths approfondies - ECS 2007
Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries entières (et Fourier)Intégrales à paramètresCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesAlgèbre linéaireRéduction
Téléchargements disponibles
LaTeX →
Word →Description
Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2007.
Lecture web du sujet
Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES
Concepteur : EM LYON
Première épreuve (option scientifique)
MATHÉMATIQUES
Lundi 30 avril 2007 de 8 heures à 12 heures
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Premier problème
On considère l'application
Partie I
Étude de l'application
- Montrer que
est continue sur . - On considère l'application
a. Montrer que
b. Montrer que
c. Démontrer que
d. Dresser le tableau de variation de
b. Montrer que
c. Démontrer que
d. Dresser le tableau de variation de
En déduire que
e. Déterminer la limite de
3. On considère l'application
e. Déterminer la limite de
3. On considère l'application
a. Montrer que
b. Dresser le tableau de variation de
b. Dresser le tableau de variation de
En déduire que
4. Tracer l'allure de la courbe représentative de
4. Tracer l'allure de la courbe représentative de
Partie II Un développement en série
- Montrer, pour tout
et tout :
- En déduire, pour tout
et tout :
où on a noté
3. Établir, pour tout
4. En déduire que, pour tout
3. Établir, pour tout
4. En déduire que, pour tout
Partie III
Égalité d'une intégrale et d'une somme de série
- Montrer, en utilisant le résultat de II.3., pour tout
et tout :
- Montrer que la série
converge et que : . - Montrer, pour tout
:
- On admet que
. Montrer : .
Partie IV
Recherche d'extremum pour une fonction réelle de deux variables réelles
On note
- Montrer que
est de classe sur .
Exprimer, pour tout
2. Établir que
3. Est-ce que
2. Établir que
3. Est-ce que
DEUXIÈME PROBLÈME
On note
Partie I
Étude d'un endomorphisme de
- Montrer que, pour tout polynôme
de , le polynôme est élément de , où désigne le polynôme dérivée seconde de .
On notel'application qui, à tout polynôme de , associe . - Vérifier :
. - Montrer que
est un endomorphisme de . - Calculer
pour tout et écrire la matrice de dans la base . - a. Montrer que
admet valeurs propres deux à deux distinctes que l'on notera avec .
b. Est-ce queest bijectif ?
c. Montrer queest diagonalisable et déterminer, pour tout , la dimension du sousespace propre de associé à . - Soient
et un vecteur propre de associé à la valeur propre .
a. Montrer que le degré du polynômeest égal à .
b. Montrer que le polynômedéfini par est un vecteur propre de associé à . - En déduire qu'il existe une unique base
de constituée de vecteurs propres de telle que, pour tout est un polynôme de degré , de coefficient dominant égal à 1 et vérifiant .
Que peut-on en déduire sur la parité de? - Calculer
.
Partie II
Un produit scalaire sur
- Montrer que l'application :
est un produit scalaire sur .
On munit dorénavant
2. a. À l'aide d'intégrations par parties, établir que
b. Montrer que la base
2. a. À l'aide d'intégrations par parties, établir que
b. Montrer que la base
Soit
3. a. Montrer que pour tout polynôme
b. En considérant
c. En déduire que
4. On note
a. Justifier :
b. Montrer que le polynôme
c. En considérant
d. En déduire que
3. a. Montrer que pour tout polynôme
b. En considérant
c. En déduire que
4. On note
a. Justifier :
b. Montrer que le polynôme
c. En considérant
d. En déduire que
Pas de description pour le moment