BCE Maths approfondies emlyon ECS 2007Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2007

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BanqueBCE Année2007 FilièreECS MatièreMathématiques

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Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2007.

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BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES

Concepteur : EM LYON

Première épreuve (option scientifique)

MATHÉMATIQUES

Lundi 30 avril 2007 de 8 heures à 12 heures

Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Premier problème

On considère l'application

f : [0; + \infty[ ⟶ ℝ, x ⟼ f(x) = {(ln(1 + x))/x, si x > 0; 1, si x = 0

Partie I

Étude de l'application $f$

Montrer que $f$ est continue sur $[0; + \infty[$ .
On considère l'application

A : [0; + \infty[ ⟶ ℝ, x ⟼ A(x) = x/(1 + x) - ln(1 + x).

a. Montrer que

f

est de classe

C^1

sur

]0; + \infty[

et que, pour tout

x \in ]0; + \infty[, f^'(x) = (A(x))/(x^2)

.
b. Montrer que

f^'

admet

- 1/2

comme limite en 0 à droite.
c. Démontrer que

f

est de classe

C^1

sur

[0; + \infty[

et préciser

f^'(0)

.
d. Dresser le tableau de variation de

A

En déduire que

f

est strictement décroissante sur

[0; + \infty[

.
e. Déterminer la limite de

f

+ \infty

.
3. On considère l'application

B : [0; + \infty[ ⟶ ℝ, x ⟼ B(x) = - (3x^2 + 2x)/((1 + x)^2) + 2ln(1 + x)

a. Montrer que

f

est deux fois dérivable sur

]0; + \infty[

, et que, pour tout

x \in ]0; + \infty[, f^('')(x) = (B(x))/(x^3)

.
b. Dresser le tableau de variation de

B

En déduire que

f

est convexe sur

]0; + \infty[

.
4. Tracer l'allure de la courbe représentative de

f

Partie II Un développement en série

Montrer, pour tout $N \in ℕ$ et tout $t \in [0; 1]$ :

1/(1 + t) = \sum_(k = 0)^N(- 1)^k t^k + ((- 1)^(N + 1)t^(N + 1))/(1 + t)

En déduire, pour tout $N \in ℕ$ et tout $x \in [0; 1]$ :

ln(1 + x) = \sum_(k = 0)^N((- 1)^k x^(k + 1))/(k + 1) + J_N(x)

où on a noté

J_N(x) = \int_0^x((- 1)^(N + 1)t^(N + 1))/(1 + t) dt

.
3. Établir, pour tout

N \in ℕ

et tout

x \in [0; 1] : |J_N(x)| ⩽ (x^(N + 2))/(N + 2)

.
4. En déduire que, pour tout

x \in [0; 1]

, la série

\sum_(n ⩾ 1)((- 1)^(n - 1)x^n)/n

converge et que :

ln(1 + x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)((- 1)^(n - 1)x^n)/n

Partie III

Égalité d'une intégrale et d'une somme de série

Montrer, en utilisant le résultat de II.3., pour tout $N \in ℕ$ et tout $x \in [0; 1]$ :

|f(x) - \sum_(k = 0)^N((- 1)^k x^k)/(k + 1)| ⩽ (x^(N + 1))/(N + 2)

Montrer que la série $\sum_(n ⩾ 1)((- 1)^(n - 1))/(n^2)$ converge et que : $\int_0^1 f(x)dx = \sum_(n = 1)^(+ \infty)((- 1)^(n - 1))/(n^2)$ .
Montrer, pour tout $N \in ℕ^*$ :

{∑_(n = 1)^(2N + 1)1/(n^2) = ∑_(p = 0)^N 1/((2p + 1)^2) + ∑_(p = 1)^N 1/(4p^2); ∑_(n = 1)^(2N + 1)((− 1)^(n − 1))/(n^2) = ∑_(p = 0)^N 1/((2p + 1)^2) − ∑_(p = 1)^N 1/(4p^2)

On admet que $\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2) = (π^2)/6$ . Montrer : $\int_0^1 f(x)dx = (π^2)/(12)$ .

Partie IV

Recherche d'extremum pour une fonction réelle de deux variables réelles

On note

F : ]0; + \infty[ ⟶ ℝ, x ⟼ F(x) = \int_0^x f(t)dt

et G : ]0; + \infty[^2 ⟶ ℝ, (x, y) ⟼ G(x, y) = F(xy) - F(x) - F(y).

Montrer que $G$ est de classe $C^2$ sur $]0; + \infty[^2$ .

Exprimer, pour tout

(x, y) \in ]0; + \infty[^2

, les dérivées partielles premières et secondes de

G

(x, y)

en fonction de

x, y, f(x), f(y), f(xy), f^'(x), f^'(y), f^'(xy)

.
2. Établir que

G

admet

(1, 1)

comme unique point critique.
3. Est-ce que

G

admet un extremum local ?

DEUXIÈME PROBLÈME

On note

n

un nombre entier fixé supérieur ou égal

2, E

le sous-espace vectoriel de

ℝ[X]

constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à

n

B = (1, X, \dots, X^n)

la base canonique de

E

Partie I

Étude d'un endomorphisme de $E$

Montrer que, pour tout polynôme $P$ de $E$ , le polynôme $((X^2 - 1)P)^('')$ est élément de $E$ , où $((X^2 - 1)P)^('')$ désigne le polynôme dérivée seconde de $(X^2 - 1)P$ .
On note $φ : E ⟶ E$ l'application qui, à tout polynôme $P$ de $E$ , associe $φ(P) = ((X^2 - 1)P)^('')$ .
Vérifier : $φ(1) = 2, φ(X) = 6X$ .
Montrer que $φ$ est un endomorphisme de $E$ .
Calculer $φ(X^k)$ pour tout $k \in {0, \dots, n}$ et écrire la matrice $A$ de $φ$ dans la base $B$ .
a. Montrer que $φ$ admet $n + 1$ valeurs propres deux à deux distinctes que l'on notera $λ_0, λ_1, \dots, λ_n$ avec $λ_0 < λ_1 < \dots < λ_n$ .
b. Est-ce que $φ$ est bijectif ?
c. Montrer que $φ$ est diagonalisable et déterminer, pour tout $k \in {0, \dots, n}$ , la dimension du sousespace propre de $φ$ associé à $λ_k$ .
Soient $k \in {0, \dots, n}$ et $P$ un vecteur propre de $φ$ associé à la valeur propre $λ_k$ .
a. Montrer que le degré du polynôme $P$ est égal à $k$ .
b. Montrer que le polynôme $Q$ défini par $Q(X) = P(- X)$ est un vecteur propre de $φ$ associé à $λ_k$ .
En déduire qu'il existe une unique base $(P_0, P_1, \dots, P_n)$ de $E$ constituée de vecteurs propres de $φ$ telle que, pour tout $k ∈ {0, …, n}, P_k$ est un polynôme de degré $k$ , de coefficient dominant égal à 1 et vérifiant $P_k(- X) = (- 1)^k P_k(X)$ .
Que peut-on en déduire sur la parité de $P_k$ ?
Calculer $P_0, P_1, P_2, P_3$ .

Partie II

Un produit scalaire sur $E$

Montrer que l'application : $(P, Q) ⟼ (P|Q) = \int_(- 1)^1(1 - x^2)P(x)Q(x)dx$ est un produit scalaire sur $E$ .

On munit dorénavant

E

de ce produit scalaire noté (.|.).
2. a. À l'aide d'intégrations par parties, établir que

φ

est un endomorphisme symétrique de

E

.
b. Montrer que la base

(P_0, P_1, \dots, P_n)

E

obtenue à la question

I.7

est orthogonale.

Soit

j \in {1, \dots, n}

.
3. a. Montrer que pour tout polynôme

S

de degré inférieur ou égal à

j - 1

, on a :

(S|P_j) = 0

.
b. En considérant

(1|P_j)

, montrer que

P_j

ne garde pas un signe constant sur l'intervalle

] - 1; 1[

.
c. En déduire que

P_j

admet au moins, dans l'intervalle ]

- 1; 1[

, une racine d'ordre de multiplicité impair.
4. On note

{x_1, …, x_m}

l'ensemble des racines d'ordre de multiplicité impair de

P_j

appartenant à l'intervalle ]

- 1; 1[

S_m = (X - x_1)(X - x_2)\dots(X - x_m)

.
a. Justifier :

m ⩽ j

.
b. Montrer que le polynôme

S_m P_j

(produit des polynômes

S_m

P_j

) garde un signe constant sur l'intervalle ] -

1; 1[

.
c. En considérant

(S_m|P_j)

, montrer que

m = j

.
d. En déduire que

P_j

admet

j

racines simples réelles toutes situées dans l'intervalle

] - 1; 1[

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Étude de l'application f

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Égalité d'une intégrale et d'une somme de série

Partie IV

Recherche d'extremum pour une fonction réelle de deux variables réelles

DEUXIÈME PROBLÈME

Partie I

Étude d'un endomorphisme de E

Partie II

Un produit scalaire sur E

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Étude de l'application $f$

Étude d'un endomorphisme de $E$

Un produit scalaire sur $E$