BCE Maths approfondies emlyon ECS 2008
Epreuve de maths approfondies - ECS 2008
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Intégrales généraliséesPolynômes et fractionsAlgèbre linéaireProbabilités continuesSuites et séries de fonctionsCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2008.
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BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES
Code sujet
295
EML
295
EML
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée
PROBLÈME
On confond polynôme et application polynomiale de
On note
On note
On note, pour tout
On note
On note
On note, pour tout
Préliminaire : Valeur de l'intégrale de Gauss
En considérant une variable aléatoire suivant une loi normale, justifier :
Partie I : Un produit scalaire sur
- Établir, pour tout
. - En déduire que, pour tout
, l'intégrale converge.
On note (.|.) l'application de
3. a. Démontrer que
b. Montrer que l'application (.|.) est un produit scalaire sur
4. Démontrer :
3. a. Démontrer que
b. Montrer que l'application (.|.) est un produit scalaire sur
4. Démontrer :
On note encore (.|.) la restriction à
On note
Partie II : Polynômes d'Hermite
On note
En particulier :
- Calculer, pour tout
.
Faire figurer les calculs sur la copie.
2. a. Montrer, pour tout
2. a. Montrer, pour tout
b. En déduire que, pour tout
c. Contrôler alors les résultats obtenus en II. 1 et calculer
c. Contrôler alors les résultats obtenus en II. 1 et calculer
Faire figurer les calculs sur la copie.
3. Déterminer, pour tout
4. Montrer, pour tout
3. Déterminer, pour tout
4. Montrer, pour tout
Partie III : Lien entre le produit scalaire et les polynômes d'Hermite
- a. Montrer, pour tout
et tout :
où (. .) est le produit scalaire sur
À cet effet, on pourra commencer par effectuer une intégration par parties sur un intervalle fermé borné.
b. En déduire, pour tout
c. En déduire que, pour tout
2. Établir que, pour tout
3. Soit
a. Montrer :
b. En déduire la valeur de
À cet effet, on pourra commencer par effectuer une intégration par parties sur un intervalle fermé borné.
b. En déduire, pour tout
c. En déduire que, pour tout
2. Établir que, pour tout
3. Soit
a. Montrer :
b. En déduire la valeur de
Partie IV : Un endomorphisme symétrique
On note
Ainsi, par exemple, pour tout
- Montrer que
est un endomorphisme de .
On admet que
2. a. Établir :
b. En déduire :
3. Montrer que, pour tout
4. a. Calculer
b. Calculer, pour tout
5. Établir, pour tout
2. a. Établir :
b. En déduire :
3. Montrer que, pour tout
4. a. Calculer
b. Calculer, pour tout
5. Établir, pour tout
À cet effet, on pourra commencer par effectuer une intégration par parties sur un intervalle fermé borné.
6. Soit
a. Montrer :
6. Soit
a. Montrer :
On note
b. Montrer que
c. Donner une base orthonormale de
c. Donner une base orthonormale de
Partie V : Intervention d'exponentielles
On note, pour tout
- Vérifier, pour tout
. - Montrer, pour tout
. - Déterminer la nature de la série
. - Montrer que la série
converge et calculer sa somme.
Partie VI: Une limite de probabilité conditionnelle
Soit la fonction
- Montrer que
est de classe sur et déterminer sa dérivée . - Soient
et les fonctions définies sur par :
a. Déterminer les limites des fonctions
b. Déterminer les sens de variation des fonctions
c. En déduire :
d. Montrer :
b. Déterminer les sens de variation des fonctions
c. En déduire :
d. Montrer :
- Soit
une variable aléatoire normale d'espérance égale à 0 et d'écart-type égal à .
a. Pour tout réelstrictement positif, exprimer la probabilité à l'aide de la fonction .
b. Soitun réel strictement positif.
Pour tout réel
Montrer :
Montrer :
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