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BCE Maths approfondies emlyon ECS 2008Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2008

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Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2008.

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BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES

Concepteur : EM LYONPremière épreuve (option scientifique)MATHÉMATIQUESMardi 29 avril 2008 de 8 heures à 12 heures

Code sujet
295
EML ____ MATS
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée

PROBLÈME

On confond polynôme et application polynomiale de ℝ dans ℝ.
On note E l'ensemble des applications u : ℝ → ℝ continues sur ℝ et telles que l'intégrale
∫_(− ∞)^(+ ∞)(u(x))^2 e^(− x^2) dx converge.
On note F le ℝ-espace vectoriel des applications polynomiales de ℝ dans ℝ.
On note, pour tout n ∈ ℕ, F_n le ℝ-espace vectoriel des applications polynomiales de ℝ dans ℝ de degré inférieur ou égal à n.

Préliminaire : Valeur de l'intégrale de Gauss

En considérant une variable aléatoire suivant une loi normale, justifier :
∀m ∈ ℝ, ∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(− (x − m)^2) dx = √π

Partie I : Un produit scalaire sur E

  1. Établir, pour tout (α, β) ∈ [0; + ∞[2 : αβ ⩽ 1/2(α^2 + β^2).
  2. En déduire que, pour tout (u, v) ∈ E^2, l'intégrale ∫_(− ∞)^(+ ∞)u(x)v(x)e^(− x^2) dx converge.
On note (.|.) l'application de E^2 dans ℝ qui, à tout (u, v) ∈ E^2, associe 1/(√π)∫_(− ∞)^(+ ∞)u(x)v(x)e^(− x^2) dx. On notera la présence du facteur 1/(√π).
3. a. Démontrer que E est un ℝ-espace vectoriel.
b. Montrer que l'application (.|.) est un produit scalaire sur E.
4. Démontrer : F ⊂ E.
On note encore (.|.) la restriction à F ou à F_n, pour n ∈ ℕ, du produit scalaire (.|.) sur E. On admet que cette restriction est encore un produit scalaire sur F ou sur F_n.
On note ‖. ‖lanormesurE associée au produit scalaire (.|.), définie, pour tout u ∈ E, par :
‖u‖ = √((u|u))

Partie II : Polynômes d'Hermite

On note w l'application de ℝ dans ℝ, de classe C^∞, définie pour tout x ∈ ℝ par w(x) = e^(− x^2). Pour tout n ∈ ℕ, on note H_n l'application de ℝ dans ℝ définie pour tout x ∈ ℝ par
H_n(x) = (− 1)^n e^(x^2)w^((n))(x), où w^((n)) désigne la dérivée n-ième de w.
En particulier : H_0(x) = 1.
  1. Calculer, pour tout x ∈ ℝ, H_1(x), H_2(x), H_3(x).
Faire figurer les calculs sur la copie.
2. a. Montrer, pour tout n ∈ ℕ et tout x ∈ ℝ :
H_(n + 1)(x) = 2xH_n(x) − H_n^′(x)
b. En déduire que, pour tout n ∈ ℕ, H_n est un polynôme de degré n.
c. Contrôler alors les résultats obtenus en II. 1 et calculer H_4.
Faire figurer les calculs sur la copie.
3. Déterminer, pour tout n ∈ ℕ, le coefficient du terme de plus haut degré de H_n.
4. Montrer, pour tout n ∈ ℕ et tout x ∈ ℝ : H_n(− x) = (− 1)^n H_n(x). Qu'en déduit-on, en terme de parité, pour l'application H_n ?

Partie III : Lien entre le produit scalaire et les polynômes d'Hermite

  1. a. Montrer, pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout P ∈ F :
(P^′|H_(n − 1)) = (P|H_n),
où (. .) est le produit scalaire sur F défini en I.4.
À cet effet, on pourra commencer par effectuer une intégration par parties sur un intervalle fermé borné.
b. En déduire, pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout P ∈ F_(n − 1) : (P|H_n) = 0.
c. En déduire que, pour tout n ∈ ℕ, la famille (H_0, …, H_n) est orthogonale dans F.
2. Établir que, pour tout n ∈ ℕ, la famille (H_0, …, H_n) est une base de F_n.
3. Soit n ∈ ℕ.
a. Montrer : ‖H_n‖^2 = (H_n^((n))|H_0), où ‖. ‖estdéfinieenI.4.
b. En déduire la valeur de ‖H_n‖.

Partie IV : Un endomorphisme symétrique

On note f, g, h les applications définies de F dans F, pour tout P ∈ F, par :
f(P) = − P^(′′) + 2 × P^′ + P, g(P) = 2 × P − P^′, h(P) = P^′
Ainsi, par exemple, pour tout P ∈ F et tout x ∈ ℝ : (g(P))(x) = 2xP(x) − P^′(x).
  1. Montrer que f est un endomorphisme de F.
On admet que g et h sont aussi des endomorphismes de F, et on note Id_F l'application identique de F.
2. a. Établir : g ∘ h = f − Id_F et h ∘ g = f + Id_F.
b. En déduire : f ∘ g − g ∘ f = 2g.
3. Montrer que, pour tout λ ∈ ℝ et tout P ∈ F, si f(P) = λP, alors f(g(P)) = (λ + 2)g(P).
4. a. Calculer f(H_0).
b. Calculer, pour tout k ∈ ℕ, g(H_k), et en déduire, pour tout k ∈ ℕ : f(H_k) = (2k + 1)H_k.
5. Établir, pour tout (P, Q) ∈ F^2 :
(P^′|Q^′) = (f(P)|Q) − (P|Q)
À cet effet, on pourra commencer par effectuer une intégration par parties sur un intervalle fermé borné.
6. Soit n ∈ ℕ.
a. Montrer : ∀P ∈ F_n, f(P) ∈ F_n.
On note f_n l'endomorphisme de F_n défini par:
∀P ∈ F_n, f_n(P) = f(P).
b. Montrer que f_n est un endomorphisme symétrique de F_n.
c. Donner une base orthonormale de F_n constituée de vecteurs propres de f_n.

Partie V : Intervention d'exponentielles

On note, pour tout a ∈ ℝ, φ_a l'application de ℝ dans ℝ définie, pour tout x ∈ ℝ, par : φ_a(x) = e^(ax).
  1. Vérifier, pour tout a ∈ ℝ : φ_a ∈ E.
  2. Montrer, pour tout (a, b) ∈ ℝ^2 : (φ_a|φ_b) = e^(((a + b)/2)^2).
  3. Déterminer la nature de la série ∑_(n ⩾ 1)‖φ_(√(lnn))‖^(− 2).
  4. Montrer que la série ∑_(n ⩾ 0)‖φ_(√n)‖^(− 2) converge et calculer sa somme.

Partie VI: Une limite de probabilité conditionnelle

Soit la fonction Φ définie sur ]0; + ∞[ par :
∀x ∈ ]0; + ∞[, Φ(x) = ∫_x^(+ ∞)e^(− t^2) dt
  1. Montrer que Φ est de classe C^1 sur ]0; + ∞[ et déterminer sa dérivée Φ^′.
  2. Soient G et K les fonctions définies sur ]0; + ∞[ par :
∀x ∈ ]0; + ∞[, G(x) = (1/x − 1/(2x^3))(e^(− x^2))/2 et K(x) = (e^(− x^2))/(2x).
a. Déterminer les limites des fonctions Φ, G et K en + ∞.
b. Déterminer les sens de variation des fonctions G − Φ et Φ − K.
c. En déduire : ∀x ∈ ]0; + ∞[, G(x) ⩽ Φ(x) ⩽ K(x).
d. Montrer :
Φ(x) ∼ _(x → + ∞)(e^(− x^2))/(2x)
  1. Soit X une variable aléatoire normale d'espérance égale à 0 et d'écart-type égal à 1/(√2).
    a. Pour tout réel x strictement positif, exprimer la probabilité P(X ⩽ x) à l'aide de la fonction Φ.
    b. Soit c un réel strictement positif.
Pour tout réel x, on considère la probabilité conditionnelle P_((X > x))(X ⩽ x + c).
Montrer :
lim_(x → + ∞)P_((X > x))(X ⩽ x + c) = 1

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