BCE Maths approfondies emlyon ECS 2010Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2010

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Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2010.

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$è 1^(ère)$ épreuve (option scientifique) MATHÉMATIQUES

Lundi 3 mai 2010 de 8 heures à 12 heures

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

PROBLÈME 1

Définitions et notations

$p$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3 .
On note $M_p(ℂ)$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $p$ à coefficients complexes, $M_(1, p)(ℝ)$ l'ensemble des matrices-lignes à $p$ colonnes à coefficients réels, $M_p(ℝ)$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $p$ à coefficients réels, $I_p$ la matrice diagonale de $M_p(ℂ)$ et de $M_p(ℝ)$ dont les coefficients diagonaux sont tous égaux à 1 .
On note, pour toute matrice carrée $A$ d'ordre $p$ et tout $(i, j) ∈ {1, …, p}^2, (A)_(i, j)$ le coefficient de $A$ situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ .
On note, pour toute matrice-ligne $L$ de $M_(1, p)(ℝ)$ et tout $j ∈ {1, …, p}, (L)_j$ le coefficient de $L$ situé à la colonne $j$ .
On dit qu'une suite $(A_n)_(n ⩾ 1)$ de matrices de $M_p(ℝ)$ converge vers une matrice $A$ de $M_p(ℝ)$ , et on note $A_n ⟶ _(n \to + \infty)A$ , si et seulement si : $∀(i, j) ∈ {1, …, p}^2, (A_n)_(i, j) ⟶ _(n → + ∞)(A)_(i, j)$ .
On dit qu'une suite $(L_n)_(n ⩾ 1)$ de matrices de $M_(1, p)(ℝ)$ converge vers une matrice $L$ de $M_(1, p)(ℝ)$ , et on note $L_n ⟶ _(n \to + \infty)L$ , si et seulement si : $∀j ∈ {1, …, p}, (L_n)_j ⟶ _(n → + ∞)(L)_j$ .
On admet que, si la suite $(A_n)_(n ⩾ 1)$ de matrices de $M_p(ℝ)$ converge vers la matrice $A$ et si la suite $(B_n)_(n ⩾ 1)$ de matrices de $M_p(ℝ)$ converge vers la matrice $B$ , alors la suite $(A_n B_n)_(n ⩾ 1)$ de matrices converge vers la matrice $AB$ .
On admet que si la suite $(A_n)_(n ⩾ 1)$ de matrices de $M_p(ℝ)$ converge vers la matrice $A$ et si $L$ est une matrice-ligne de $M_(1, p)(ℝ)$ , alors la suite $(LA_n)_(n ⩾ 1)$ de matrices converge vers la matrice $LA$ .
On appelle matrice stochastique toute matrice $A$ de $M_p(ℝ)$ telle que : ${∀(i, j) ∈ {1, …, p}^2, (A)_(i, j) ⩾ 0; ∀i ∈ {1, …, p}, ∑_(j = 1)^p(A)_(i, j) = 1,$ et on note $ST_p$ l'ensemble des matrices stochastiques de $M_p(ℝ)$ .

Partie I : Résultats généraux sur les matrices stochastiques - Illustrations

a. On note $V$ la matrice-colonne à $p$ lignes dont tous les coefficients sont égaux à 1 .

Montrer, pour toute

A ∈ M_p(ℝ) : A ∈ ST_p ⟺ {∀(i, j) ∈ {1, …, p}^2, (A)_(i, j) ⩾ 0; AV = V.

b. En déduire que toutes les matrices de

ST_p

ont une valeur propre commune.
2. Démontrer :

\forallA, B \in ST_p, AB \in ST_p

.
3. On note :

A_1 = (1, 0, 0; 1/2, 1/2, 0; 1/3, 1/3, 1/3), A_2 = (1, 0, 0; 0, 1/2, 1/2; 0, 1/2, 1/2), A_3 = (1, 0, 0; 1/2, 1/2, 0; 0, 1/2, 1/2)

.
a. Justifier, sans calcul, que

A_1

est diagonalisable dans

M_3(ℝ)

. Donner la dimension du sous-espace propre pour

A_1

associé à la valeur propre 1.
b. En utilisant éventuellement les matrices

A_2

A_3

:
(i) Montrer qu'il existe dans

ST_3

au moins un élément non diagonalisable dans

M_3(ℂ)

;
(ii) Justifier si l'affirmation suivante est vraie ou fausse : « Pour tout élément

A

ST_3

, le sous-espace propre pour

A

associé à la valeur propre 1 est de dimension 1 ».
4. Soient

A \in ST_p

λ

une valeur propre de

A

dans

ℂ

On note

X = (x_1; ⋮; x_p)

un vecteur propre pour

A

associé à la valeur propre

λ

.
On note

i

un élément de

{1, \dots, p}

tel que :

∀k ∈ {1, …, p}, |x_k| ⩽ |x_i|

.
a. Montrer :

|λx_i| ⩽ |x_i|

.
b. En déduire :

|λ| ⩽ 1

Partie II : Suites de moyennes de puissances de matrices stochastiques

Soit

A \in ST_p

. On note

A^0 = I_p

a. Établir : $\foralln \in ℕ, A^n \in ST_p$ .
b. Montrer : $\foralln \in ℕ^*, 1/n\sum_(k = 0)^(n - 1)A^k \in ST_p$ .

Dans la suite de cette partie II, on suppose qu'il existe

r ∈ {1, …, p − 1}, P ∈ M_p(ℝ)

inversible,

D \in M_p(ℝ)

diagonale dont les coefficients diagonaux

(D)_(i, i)

sont égaux à 1 si

i ⩽ r

et distincts de 1 si

i ⩾ r + 1

, tels que :

A = PDP^(- 1)

.
On note, pour tout

n \in ℕ^* : M_n = 1/n\sum_(k = 0)^(n - 1)D^k

B_n = PM_n P^(- 1)

On note

Δ

la matrice de

M_p(ℝ)

diagonale dont les coefficients diagonaux (

Δ)_(i, i)

sont égaux à 1 si

i ⩽ r

et nuls sinon, et on note

B = PΔP^(- 1)

.
2. Démontrer, pour tout

x \in ℝ

fixé tel que

|x| ⩽ 1 : 1/n∑_(k = 0)^(n − 1)x^k ⟶ _(n ⟶ + ∞){1, si, x = 1; 0, si, x ≠ 1

.
3. Montrer :

M_n\to-_(n ⟶ + \infty)^Δ

et en déduire :

B_n\to-_(n ⟶ + \infty)^B

.
4. a. Montrer :

\foralln \in ℕ^*, B_n \in ST_p

.
b. En déduire :

B \in ST_p

Partie III : Aspect probabiliste

On dispose d'un objet noté

T

et de trois urnes numérotées 1 , 2 et 3 .
À chaque instant

n(n \in ℕ), T

est dans une des trois urnes et une seule.
On note, pour tout

n \in ℕ, X_n

la variable aléatoire égale au numéro de l'urne dans laquelle se trouve l'objet à l'instant

n

L_n

la matrice suivante de

M_(1, 3)(ℝ) : L_n = (P(X_n = 1)P(X_n = 2)P(X_n = 3))

.
On suppose connues la loi de

X_0

et la matrice

A

M_3(ℝ)

définie par :

∀(i, j) ∈ {1, 2, 3}^2, (A)_(i, j) = P_((X_0 = i))(X_1 = j)

On suppose:

∀n ∈ ℕ, ∀(i, j) ∈ {1, 2, 3}^2, P_((X_n = i))(X_(n + 1) = j) = P_((X_0 = i))(X_1 = j)

Montrer : $A \in ST_3$ .
Montrer : $\foralln \in ℕ, L_(n + 1) = L_n A$ puis : $\foralln \in ℕ, L_n = L_0 A^n$ .

On suppose dorénavant

A = A_1

, définie dans la partie I.3, et on note

D_1 = (1, 0, 0; 0, 1/2, 0; 0, 0, 1/3)

.
3. Déterminer une matrice

P_1 \in M_3(ℝ)

, inversible et à coefficients diagonaux tous égaux à 1 , telle que

A_1 = P_1 D_1 P_1^(- 1)

et calculer

P_1^(- 1)

.
4. Déterminer la limite de la suite

(D_1^n)_n ⩾ 1

, puis la limite de la suite

(A_1^n)_(n ⩾ 1)

.
5. Déterminer la limite de la suite

(L_n)_(n ⩾ 1)

. Expliquer ce résultat par des arguments probabilistes.

PROBLÈME 2

Dans tout le problème,

J

désigne l'intervalle ]

- 1; + \infty[

.
Le but du problème est l'étude de l'application

f

définie, pour tout

x

J

, par :

f(x) = \int_0^1(t^x)/(1 + t) dt

Préliminaires

Justifier la convergence des séries numériques suivantes :

\sum_(n ⩾ 1)1/(n^2), \sum_(k ⩾ 0)1/((2k + 1)^2), \sum_(n ⩾ 1)((- 1)^n)/(n^2)

En admettant que $\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2) = (π^2)/6$ , montrer : $\sum_(k = 0)^(+ \infty)1/((2k + 1)^2) = (π^2)/8$ .
En déduire : $\sum_(n = 1)^(+ \infty)((- 1)^n)/(n^2) = - (π^2)/(12)$ .

Partie I : Éléments d'étude de $f$

Justifier, pour tout $x \in J$ , la convergence de l'intégrale $\int_0^1(t^x)/(1 + t) dt$ .
Calculer $f(0)$ et $f(1)$ .
Montrer : $\forallx \in J, 0 ⩽ f(x) ⩽ 1/(x + 1)$ , et en déduire : $lim_(x \to + \infty)f(x) = 0$ .
a. Montrer : $\forall(x, y) \in J^2, \forallt \in ]0; 1], (x ⩽ y ⟹ t^x ⩾ t^y)$ .
b. En déduire que $f$ est décroissante sur $J$ .
Montrer : $\forallx \in J, f(x) + f(x + 1) = 1/(x + 1)$ .
Déduire des résultats précédents : $f(x) \sim _(x \to + \infty)1/(2x)$ .
Soit $x \in J$ .
a. Montrer : $\foralln \in ℕ, f(x) = (- 1)^(n + 1)f(n + 1 + x) + \sum_(k = 0)^n((- 1)^k)/(k + 1 + x)$ .
b. En déduire que la série numérique $\sum_(k ⩾ 0)((- 1)^k)/(k + 1 + x)$ converge et que $f(x) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)((- 1)^k)/(k + 1 + x)$ .
a. Montrer : $\forall(x, y) \in J^2, \forallk \in ℕ^*, |1/(k + 1 + x) - 1/(k + 1 + y)| ⩽ |x - y|1/(k^2)$ , puis : $\forall(x, y) \in J^2, |f(x) - f(y)| ⩽ |x - y|(1/((x + 1)(y + 1)) + (π^2)/6)$ .
b. En déduire que $f$ est continue sur $J$ .
Montrer : $f(x) \sim _(x \to - 1)1/(x + 1)$ . En déduire la limite de $f$ en -1 .

Partie II : Dérivabilité de $f$

On note, pour tout

k \in ℕ, g_k

l'application de classe

C^2

J

dans

ℝ

définie pour tout

x

J

par :

g_k(x) = ((- 1)^k)/(k + 1 + x)

Montrer : $\forall(x, y) \in J^2, \forallk \in ℕ^*, |g_k(x) - g_k(y) - (x - y)g_k^'(x)| ⩽ (|x - y|^2)/(k^3)$ .
a. Justifier la convergence des séries $\sum_(k ⩾ 1)1/(k^3)$ et $\sum_(k ⩾ 0)g_k^'(x)$ , pour tout $x \in J$ .
b. En déduire que $f$ est dérivable sur $J$ et que : $\forallx \in J, f^'(x) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)((- 1)^(k + 1))/((k + 1 + x)^2)$ .
c. Déterminer $f^'(0)$ .
Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$ . On donne la valeur approchée : $ln2 \approx 0, 69$ .

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PROBLÈME 1

Définitions et notations

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Partie II : Suites de moyennes de puissances de matrices stochastiques

Partie III : Aspect probabiliste

PROBLÈME 2

Préliminaires

Partie I : Éléments d'étude de f

Partie II : Dérivabilité de f

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$è 1^(ère)$ épreuve (option scientifique) MATHÉMATIQUES

Partie I : Éléments d'étude de $f$

Partie II : Dérivabilité de $f$