BCE Maths approfondies emlyon ECS 2010
Epreuve de maths approfondies - ECS 2010
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Algèbre linéaireSuites et séries de fonctionsIntégrales généraliséesProbabilités finies, discrètes et dénombrementSéries entières (et Fourier)
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Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2010.
Lecture web du sujet
Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
Concepteur : EMLYON Business School
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
PROBLÈME 1
Définitions et notations
-
désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3 . - On note
l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients complexes, l'ensemble des matrices-lignes à colonnes à coefficients réels, l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients réels, la matrice diagonale de et de dont les coefficients diagonaux sont tous égaux à 1 . - On note, pour toute matrice carrée
d'ordre et tout le coefficient de situé à la ligne et à la colonne . - On note, pour toute matrice-ligne
de et tout le coefficient de situé à la colonne . - On dit qu'une suite
de matrices de converge vers une matrice de , et on note , si et seulement si : . - On dit qu'une suite
de matrices de converge vers une matrice de , et on note , si et seulement si : . - On admet que, si la suite
de matrices de converge vers la matrice et si la suite de matrices de converge vers la matrice , alors la suite de matrices converge vers la matrice . - On admet que si la suite
de matrices de converge vers la matrice et si est une matrice-ligne de , alors la suite de matrices converge vers la matrice . - On appelle matrice stochastique toute matrice
de telle que : et on note l'ensemble des matrices stochastiques de .
Partie I : Résultats généraux sur les matrices stochastiques - Illustrations
- a. On note
la matrice-colonne à lignes dont tous les coefficients sont égaux à 1 .
Montrer, pour toute
b. En déduire que toutes les matrices de
2. Démontrer :
3. On note :
a. Justifier, sans calcul, que
b. En utilisant éventuellement les matrices
(i) Montrer qu'il existe dans
(ii) Justifier si l'affirmation suivante est vraie ou fausse : « Pour tout élément
4. Soient
b. En déduire que toutes les matrices de
2. Démontrer :
3. On note :
a. Justifier, sans calcul, que
b. En utilisant éventuellement les matrices
(i) Montrer qu'il existe dans
(ii) Justifier si l'affirmation suivante est vraie ou fausse : « Pour tout élément
4. Soient
On note
On note
a. Montrer :
b. En déduire :
On note
a. Montrer :
b. En déduire :
Partie II : Suites de moyennes de puissances de matrices stochastiques
Soit
- a. Établir :
.
b. Montrer :.
Dans la suite de cette partie II, on suppose qu'il existe
On note, pour tout
On note, pour tout
On note
2. Démontrer, pour tout
3. Montrer :
4. a. Montrer :
b. En déduire :
2. Démontrer, pour tout
3. Montrer :
4. a. Montrer :
b. En déduire :
Partie III : Aspect probabiliste
On dispose d'un objet noté
À chaque instant
On note, pour tout
On suppose connues la loi de
À chaque instant
On note, pour tout
On suppose connues la loi de
On suppose:
- Montrer :
. - Montrer :
puis : .
On suppose dorénavant
3. Déterminer une matrice
4. Déterminer la limite de la suite
5. Déterminer la limite de la suite
3. Déterminer une matrice
4. Déterminer la limite de la suite
5. Déterminer la limite de la suite
PROBLÈME 2
Dans tout le problème,
Le but du problème est l'étude de l'application
Le but du problème est l'étude de l'application
Préliminaires
- Justifier la convergence des séries numériques suivantes :
- En admettant que
, montrer : . - En déduire :
.
Partie I : Éléments d'étude de
- Justifier, pour tout
, la convergence de l'intégrale . - Calculer
et . - Montrer :
, et en déduire : . - a. Montrer :
.
b. En déduire queest décroissante sur . - Montrer :
. - Déduire des résultats précédents :
. - Soit
.
a. Montrer :.
b. En déduire que la série numériqueconverge et que . - a. Montrer :
, puis : .
b. En déduire queest continue sur . - Montrer :
. En déduire la limite de en -1 .
Partie II : Dérivabilité de
On note, pour tout
- Montrer :
. - a. Justifier la convergence des séries
et , pour tout .
b. En déduire queest dérivable sur et que : .
c. Déterminer. - Tracer l'allure de la courbe représentative de
. On donne la valeur approchée : .
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