BCE Maths approfondies emlyon ECS 2014
Epreuve de maths approfondies - ECS 2014
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Algèbre linéaireRéductionIntégrales généraliséesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités continues
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Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2014.
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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES
Conception : EMLYON Business School
MATHÉMATIQUES
Mardi 29 avril 2014 de 8 heures à 12 heures
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
PROBLÈME 1
On note
On note, pour tout élément
Partie I : Propriétés générales de
- Établir que, pour tout élément
de appartient à et que, pour tout :
On note
2. Montrer que
3. Est-ce que
4. Soit
À cet effet, on pourra utiliser le changement de variable
5. Soit
6. On note
2. Montrer que
3. Est-ce que
4. Soit
À cet effet, on pourra utiliser le changement de variable
5. Soit
6. On note
Partie II : Premier exemple
On note, pour tout
7. Calculer, pour tout
7. Calculer, pour tout
On note :
8. Établir :
9. Montrer que
En déduire les variations de
10. En déduire que, pour tout
8. Établir :
9. Montrer que
En déduire les variations de
10. En déduire que, pour tout
Partie III : Deuxième exemple
On note
11. Vérifier
11. Vérifier
À cet effet, on remarquera que
12. Étudier les variations de
12. Étudier les variations de
On précisera les tangentes aux points d'abscisses 0 et 1 . On donne
13. Est-ce que la réciproque du résultat obtenu dans la question 5. est vraie, c'est-à-dire, est-ce que, pour tout élément
13. Est-ce que la réciproque du résultat obtenu dans la question 5. est vraie, c'est-à-dire, est-ce que, pour tout élément
Partie IV: Recherche d'extrémums locaux pour une fonction réelle de deux variables réelles
On note:
- Montrer que
est de classe sur et calculer les dérivées partielles premières de en tout . - Établir que
admet un point critique et un seul, que l'on calculera.
On note (
16. On admet que
16. On admet que
Est-ce que
Partie V : Transformée d'une densité
Soit
17. Montrer, pour tout
17. Montrer, pour tout
- Montrer :
.
En déduire la limite de
19. Établir que
19. Établir que
PROBLÈME 2
Dans tout le problème,
Pour tout
Pour tout
On note
Soit
On considère l'application
Pour tout
Pour tout
On note
Soit
On considère l'application
Partie I: Quelques généralités
- Montrer que
est un endomorphisme de . - Calculer
. L'endomorphisme est-il injectif? surjectif?
Partie II : Étude d'un cas particulier
On suppose, dans cette partie seulement, que
3. Justifier que la matrice
3. Justifier que la matrice
On note
- Écrire la matrice de
dans la base , puis calculer le rang de cette matrice. - Déterminer les valeurs propres de
et montrer que est diagonalisable.
Partie III : Étude du cas où
On suppose, dans cette partie seulement, que la matrice
6. Montrer que
7. Soient
6. Montrer que
7. Soient
Montrer que
8. Soient
8. Soient
On note
Montrer que, pour tout
9. Établir que
10. Montrer que l'ensemble des valeurs propres de
Montrer que, pour tout
9. Établir que
10. Montrer que l'ensemble des valeurs propres de
Partie IV: Étude d'un sous-espace propre de
Soient
- À l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer :
. - En raisonnant par l'absurde, montrer qu'il existe un entier
de tel que : et .
On note
13. Justifier qu'il existe
13. Justifier qu'il existe
Montrer que la famille
Partie V : Étude du cas où
On suppose, dans cette partie seulement, que la matrice
Pour toutes matrices
- Montrer que l'application (.|.) est un produit scalaire sur
. - Montrer :
. - Pour tout
de , calculer . - Pour tout
de , déterminer les coefficients diagonaux de la matrice et en déduire la valeur de . - Pour tout (
) de , calculer ( ). - On considère la famille
de .
Montrer que
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