BCE Maths approfondies emlyon ECS 2016Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2016

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Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2016.

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Conception : EMLYON Business School

1 ère épreuve (OPTION SCIENTIFIQUE)

MATHÉMATIQUES

mardi 26 avril 2016, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

PROBLEME 1

PARTIE I: Étude d'un exemple

On considère, dans cette partie, les matrices de

M_3(ℝ) : A = (4, 0, 0; - 5, 9, 0; - 5, 5, 4)

I_3 = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1)

Trouver, en fonction de $I_3$ et de $A$ , deux matrices $P_1$ et $P_2$ de $M_3(ℝ)$ telles que :

P_1 + P_2 = I_3 et 4P_1 + 9P_2 = A.

Expliciter ensuite les coefficients de

P_1

et ceux de

P_2

.
2. a. Calculer les matrices

P_1^2, P_1 P_2, P_2 P_1

P_2^2

.
b. En déduire:

\forallk \in ℕ, A^k = 4^k P_1 + 9^k P_2

.
3. Trouver au moins une matrice

B

M_3(ℝ)

, dont on explicitera les coefficients, telle que

B^2 = A

.
4. Quelles sont les valeurs propres de

A

Dans toute la suite du problème,

E

désigne un

ℝ

-espace vectoriel de dimension finie supérieure ou égale à 1 et

f

un endomorphisme de

E

.
On note

e

l'endomorphisme identité de

E

qui, à chaque élément de

E

, associe lui-même, et

0˜

l'endomorphisme nul de

E

qui, à chaque élément de

E

, associe l'élément nul de

E

.
On suppose qu'il existe un entier

m

ℕ^*

, des réels

λ_1, \dots, λ_m

deux à deux distincts et des endomorphismes

p_1, \dots, p_m

E

tous différents de

0˜

, tels que :

\forallk \in [ [0; m] ], f^k = \sum_(i = 1)^m λ_i^k p_i

Enfin, on considère les polynômes :

N = \prod_(ℓ = 1)^m(X - λ_ℓ), et pour tout i de [ [1; m] ], M_i = \prod_(1 ⩽ ℓ ⩽ m; ℓ \neq i)(X - λ_ℓ) et L_i = 1/(M_i(λ_i))M_i

On admet que, pour tous polynômes

P

Q

ℝ[X] : (P \times Q)(f) = P(f) \circ Q(f)

.
PARTIE II : Étude des puissances de

f

5. Montrer, pour tout polynôme

P

ℝ_m[X] : P(f) = \sum_(i = 1)^m P(λ_i)p_i

.
6. En déduire :

N(f) = 0˜

.
7. a. Montrer que, pour tout couple

(i, j)

[ [1; m] ]^2, L_i(λ_j)

est égal à 1 sì

i = j

et égal à 0 si

i \neq j

.
b. En déduire, pour tout

i

[ [1; m] ] : L_i(f) = p_i

.
8. a. Montrer :

e = \sum_(i = 1)^m p_i

.
b. En déduire que

E

est la somme des

m

sous-espaces vectoriels

Im(p_1), \dots, Im(p_m)

.
9. Soit

i

appartenant à

[ [1; m] ]

.
a. Vérifier :

N = M_i(λ_i)(X - λ_i)L_i

.
b. En déduire, en utilisant le résultat de la question 6. :

Im(p_i) \subset Ker(f - λ_i e)

.
10. Déduire des questions précédentes que

f

est diagonalisable, que les valeurs propres de

f

sont les réels

λ_1, \dots, λ_m

et que, pour tout

i

[ [1; m] ]

, le sous-espace propre de

f

associé à la valeur propre

λ_i

est

Im(p_i)

.
11. a. Montrer, pour tout couple

(i, j)

[ [1; m] ]^2

tel

i \neq j : p_i \circ p_j = 0˜

.
b. En déduire, en utilisant le résultat de la question 8.a., pour tout

i

[ [1; m] ] : p_i \circ p_i = p_i

.
c. Établir, pour tout

i

[ [1; m] ]

p_i \circ f = λ_i p_i

.
12. Montrer :

\forallk \in ℕ, f^k = \sum_(i = 1)^m λ_i^k p_i,

puis, pour tout polynôme

P

ℝ[X] : P(f) = \sum_(i = 1)^m P(λ_i)p_i

PARTIE III : Intervention de produits scalaires

On munit le

ℝ

-espace vectoriel

E

d'un produit scalaire

⟨.,

⟩.

On considère l'application

φ

E \times E

dans

ℝ

définie, pour tout

(x, y) \in E \times E

, par :

φ(x, y) = \sum_(i = 1)^m⟨p_i(x), p_i(y)⟩

Montrer que $φ$ est un produit scalaire sur $E$ .

On remarquera qu'ainsi

E

est muni de deux produits scalaires,

⟨.,

⟩etφ

.
14. Montrer que

f

est un endomorphisme symétrique de

E

pour le produit scalaire

φ

. Quel résultat de la partie II peut-on alors retrouver sans calcul?
15. Démontrer que, pour tout

i

[ [1; m] ], p_i

est le projecteur orthogonal sur

Im(p_i)

pour le produit scalaire

φ

PROBLEME 2

PARTIE I : Étude d'une fonction définie par la somme d'une série
On s'intéresse dans cette partie, pour tout

x

ℝ

, à la série

\sum_(n \in ℕ^*)((- 1)^(n + 1))/(n^x)

Justifier que, pour tout $x$ de $ℝ^-$ , la série $\sum_(n \in ℕ^*)((- 1)^(n + 1))/(n^x)$ diverge.
Soit $x \in ℝ^(+ *)$ . On note, pour tout $n$ de $ℕ^*, u_n = \sum_(k = 1)^n((- 1)^(k + 1))/(k^x)$ .
a. Montrer que les suites $(u_(2p))_(p \in ℕ^*)$ et $(u_(2p - 1))_(p \in ℕ^*)$ sont adjacentes, puis en déduire qu'elles convergent vers une même limite notée $S(x)$ .
b. En déduire: $\forallε > 0, \existsn_0 \in ℕ^*/\foralln ⩾ n_0, |u_n - S(x)| ⩽ ε$ .
c. Justifier alors que la série $\sum_(n \in ℕ^*)((- 1)^(n + 1))/(n^x)$ converge et que l'on a : $S(x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)((- 1)^(n + 1))/(n^x)$ .
d. Justifier : $\forallp \in ℕ^*, u_(2p) ⩽ S(x) ⩽ u_(2p + 1) ⩽ u_(2p - 1)$ .
e. En déduire: $\foralln \in ℕ^*, |S(x) - u_n| ⩽ 1/((n + 1)^x)$ .

On pourra séparer les cas

n

pair et

n

impair.
f. En déduire une fonction en Scilab qui, étant donnés deux réels

x > 0

ε > 0

, renvoie une valeur approchée de

S(x)

ε

près.
3. Soient

x \in ℝ^(+ *)

p \in ℕ^*

. Montrer :

\sum_(k = 1)^(2p)((- 1)^(k + 1))/(k^x) = \sum_(k = 1)^p 1/((2k - 1)^x) - 1/(2^x)\sum_(k = 1)^p 1/(k^x) puis : \sum_(k = 1)^(2p)((- 1)^(k + 1))/(k^x) = \sum_(k = 1)^(2p)1/(k^x) - 1/(2^(x - 1))\sum_(k = 1)^p 1/(k^x)

On pose, pour tout $n$ de $ℕ^*, v_n = \sum_(k = 1)^(2n)((- 1)^(k + 1))/k$ .
a. Soit $n \in ℕ^*$ . Montrer, en utilisant la question 3. : $v_n = \sum_(k = n + 1)^(2n)1/k = 1/n\sum_(k = 1)^n 1/(1 + k/n)$ .
b. En déduire la convergence et la limite de la suite $(v_n)_(n \in ℕ^*)$ , puis la valeur de $S(1)$ .
On admet que $\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2) = (π^2)/6$ . Déterminer la valeur de $S(2)$ .

PARTIE II : Étude d'une fonction définie par une intégrale
On rappelle que la fonction

Γ

est définie sur

]0; + \infty[

par :

\forallx \in ]0; + \infty[, Γ(x) = \int_0^(+ \infty)t^(x - 1)e^(- t) dt

.
On rappelle également l'égalité suivante :

\foralln \in ℕ^*, Γ(n) = (n - 1)

!.
6. Soit

x \in ℝ

. Montrer que l'intégrale

\int_0^(+ \infty)(t^x)/(1 + e^t) dt

converge si et seulement si

x > - 1

On pose, pour tout réel

x

] - 1; + \infty[, I(x) = \int_0^(+ \infty)(t^x)/(1 + e^t) dt

.
7. Soit

x \in ] - 1; + \infty[

. On définit la fonction

g_x : ]0; + \infty[ ⟶ ℝ, t ⟼ (t^x)/(1 + e^t)

.
a. Montrer :

\foralln \in ℕ^*, \forallt \in ℝ^(+ *), g_x(t) = (- 1)^n g_x(t)e^(- nt) + \sum_(k = 1)^n(- 1)^(k + 1)t^x e^(- kt)

.
b. Justifier, pour tout

k \in ℕ^*

, que l'intégrale

\int_0^(+ \infty)t^x e^(- kt) dt

converge et que l'on a:

\int_0^(+ \infty)t^x e^(- kt) dt = 1/(k^(x + 1))Γ(x + 1)

c. Montrer que, pour tout

n \in ℕ^*

, l'intégrale

\int_0^(+ \infty)g_x(t)e^(- nt) dt

converge, puis que la limite de

\int_0^(+ \infty)g_x(t)e^(- nt) dt,

lorsque l'entier

n

tend vers

+ \infty

, est égale à 0.
d. En déduire la relation :

I(x) = S(x + 1)Γ(x + 1)

, où la fonction

S

a été définie dans la partie

I

.
8. En utilisant la partie I., déterminer la valeur de

I(1)

PARTIE III : Étude d'une variable aléatoire

On considère la fonction

f

définie sur

ℝ

par :

\forallt \in ℝ, f(t) = (e^t)/((1 + e^t)^2)

.
9. Vérifier que la fonction

f

est paire.
10. Montrer que

f

est une densité d'une variable aléatoire réelle.

On considère une variable aléatoire réelle

X

à densité, de densité

f

.
11. Déterminer la fonction de répartition de

X

.
12. a. Soit

n \in ℕ^*

. Montrer que l'intégrale

\int_0^(+ \infty)t^n f(t)dt

converge.

En déduire que

X

admet un moment d'ordre

n

, que l'on note

m_n(X)

.
b. Justifier :

\forallp \in ℕ, m_(2p + 1)(X) = 0

.
c. A l'aide d'une intégration par parties, montrer :

\forallp \in ℕ^*, m_(2p)(X) = 4pI(2p - 1)

.
13. En déduire l'existence et la valeur de l'espérance et de la variance de

X

.
14. On considère une suite de variables aléatoires réelles

(X_n)_(n \in ℕ^*)

mutuellement indépendantes et de même densité

f

.
On pose, pour tout

n

ℕ^* : Y_n = max(X_1, \dots, X_n)

Z_n = Y_n - ln(n)

.
a. Pour tout

n

ℕ^*

, déterminer la fonction de répartition de

Y_n

puis la fonction de répartition de

Z_n

.
b. En déduire que la suite

(Z_n)_(n \in ℕ^*)

converge en loi vers une variable aléatoire réelle à densité dont on précisera une densité.

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