La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

PROBLEME 1

PARTIE I: Étude d'un exemple

On considère, dans cette partie, les matrices de

Trouver, en fonction de et de , deux matrices et de telles que :

Expliciter ensuite les coefficients de

et ceux de

.
2. a. Calculer les matrices

.
b. En déduire:

.
3. Trouver au moins une matrice

, dont on explicitera les coefficients, telle que

.
4. Quelles sont les valeurs propres de

Dans toute la suite du problème,

désigne un

-espace vectoriel de dimension finie supérieure ou égale à 1 et

un endomorphisme de

.
On note

l'endomorphisme identité de

qui, à chaque élément de

, associe lui-même, et

l'endomorphisme nul de

qui, à chaque élément de

, associe l'élément nul de

.
On suppose qu'il existe un entier

, des réels

deux à deux distincts et des endomorphismes

tous différents de

, tels que :

Enfin, on considère les polynômes :

On admet que, pour tous polynômes

.
PARTIE II : Étude des puissances de

5. Montrer, pour tout polynôme

.
6. En déduire :

.
7. a. Montrer que, pour tout couple

est égal à 1 sì

et égal à 0 si

.
b. En déduire, pour tout

.
8. a. Montrer :

.
b. En déduire que

est la somme des

sous-espaces vectoriels

.
9. Soit

appartenant à

.
a. Vérifier :

.
b. En déduire, en utilisant le résultat de la question 6. :

.
10. Déduire des questions précédentes que

est diagonalisable, que les valeurs propres de

sont les réels

et que, pour tout

, le sous-espace propre de

associé à la valeur propre

est

.
11. a. Montrer, pour tout couple

tel

.
b. En déduire, en utilisant le résultat de la question 8.a., pour tout

.
c. Établir, pour tout

.
12. Montrer :

puis, pour tout polynôme

PARTIE III : Intervention de produits scalaires

On munit le

-espace vectoriel

d'un produit scalaire

On considère l'application

dans

définie, pour tout

, par :

Montrer que est un produit scalaire sur .

On remarquera qu'ainsi

est muni de deux produits scalaires,

.
14. Montrer que

est un endomorphisme symétrique de

pour le produit scalaire

. Quel résultat de la partie II peut-on alors retrouver sans calcul?
15. Démontrer que, pour tout

est le projecteur orthogonal sur

pour le produit scalaire

PROBLEME 2

PARTIE I : Étude d'une fonction définie par la somme d'une série
On s'intéresse dans cette partie, pour tout

, à la série

Justifier que, pour tout de , la série diverge.
Soit . On note, pour tout de .
a. Montrer que les suites et sont adjacentes, puis en déduire qu'elles convergent vers une même limite notée .
b. En déduire: .
c. Justifier alors que la série converge et que l'on a : .
d. Justifier : .
e. En déduire: .

On pourra séparer les cas

pair et

impair.
f. En déduire une fonction en Scilab qui, étant donnés deux réels

, renvoie une valeur approchée de

près.
3. Soient

. Montrer :

On pose, pour tout de .
a. Soit . Montrer, en utilisant la question 3. : .
b. En déduire la convergence et la limite de la suite , puis la valeur de .
On admet que . Déterminer la valeur de .

PARTIE II : Étude d'une fonction définie par une intégrale
On rappelle que la fonction

est définie sur

par :

.
On rappelle également l'égalité suivante :

!.
6. Soit

. Montrer que l'intégrale

converge si et seulement si

On pose, pour tout réel

.
7. Soit

. On définit la fonction

.
a. Montrer :

.
b. Justifier, pour tout

, que l'intégrale

converge et que l'on a:

c. Montrer que, pour tout

, l'intégrale

converge, puis que la limite de

lorsque l'entier

tend vers

, est égale à 0.
d. En déduire la relation :

, où la fonction

a été définie dans la partie

.
8. En utilisant la partie I., déterminer la valeur de

PARTIE III : Étude d'une variable aléatoire

On considère la fonction

définie sur

par :

.
9. Vérifier que la fonction

est paire.
10. Montrer que

est une densité d'une variable aléatoire réelle.

On considère une variable aléatoire réelle

à densité, de densité

.
11. Déterminer la fonction de répartition de

.
12. a. Soit

. Montrer que l'intégrale

converge.

En déduire que

admet un moment d'ordre

, que l'on note

.
b. Justifier :

.
c. A l'aide d'une intégration par parties, montrer :

.
13. En déduire l'existence et la valeur de l'espérance et de la variance de

.
14. On considère une suite de variables aléatoires réelles

mutuellement indépendantes et de même densité

.
On pose, pour tout

.
a. Pour tout

, déterminer la fonction de répartition de

puis la fonction de répartition de

.
b. En déduire que la suite

converge en loi vers une variable aléatoire réelle à densité dont on précisera une densité.

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\title{Conception : EMLYON Business School }

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