J-0
00m
00j
00h
00min
00s

BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2002

Epreuve de maths approfondies - ECS 2002

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensProbabilités continuesStatistiquesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesAlgèbre linéaireNombres complexes et trigonométrie, calculs, outils
RetourLire
Logo concours BCE - Voir tous les sujets BCE

Voir tous les sujets

Logo concours BCE
🔗 Explorer
Banque
BCE
Année
2002
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2002ECS MathématiquesMathématiques 2002

Téléchargements disponibles

Sujet et rapport

Télécharger le sujet →Rapport du jury → indisponible

Corrigés

Télécharger corrigé →

Lecture et formats

Lire en ligne →LaTeX →Word →

Description

Annale de maths approfondies BCE ESSEC pour la filiere ECS, session 2002.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
2a9d3632-9c78-4a7a-9993-8cb6579f49ce

CONCOURS D'ADMISSION DE 2002

Option scientifique

MATHEMATIQUES II

Lundi 6 Mai 2002 de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
L'objectif du problème est d'étudier parmi les portefeuilles boursiers de rentabilité moyenne donnée ceux qui font courir à leurs porteurs un risque minimal en un sens qui sera précisé plus loin.
On identifie dans la suite tout vecteur de l'espace vectoriel (avec ) à la matrice-colonne de ses composantes dans la base canonique de , soit :
et désigne alors la matrice transposée de , autrement dit la matrice-ligne égale à ( ). On note enfin le produit scalaire canonique de défini pour tout couple de par :
ESSEC RUSINESS SCHOOL
AVENUE BERNARD HIRSCH - B.P. IOS
9502: CERGY PONTOISE CEDEX FIRANCE
TEL.: 33 (0)1 34 4.3 30 00
FAX : 33 (OH134 43 31 11
WEB: WWW.ESSEC.FR
ETARLISSEMENT DENSEIGNEMENT SUPERIEUR PRIVE
RECONNU PAR L'ETAT. MEMBRE DE LA FESIC
ESSEC RUSINESS SCHOOL
ETAHLISSEMENTS PRIVES DENSEIGNEMENT SUPERIEUR ASSOCIATION LOI 1901.
ACCREDITES AACSH - THE INTERNATIONAL ASSOC!ATION
FOR MANAGEMENT EDUCATION
AFFILIES A LA CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE VERSAILLES VAL DOOISE-YVELINES

PRELIMINAIRE

On rappelle que l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel de est la partie de qui est formée des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de , c'est à dire :
à
a) Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
(b) On suppose de dimension et on considère une base orthonormale ( ) de que l'on complète en une base orthonormale ( ) de .
Montrer que , ensemble des combinaisons linéaires de .
En déduire la dimension de en fonction de la dimension de .
c) Déterminer de même l'orthogonal de .
En déduire que où est l'orthogonal de .

PARTIE I

On désigne par une matrice symétrique réelle d'ordre et par la fonction définie de dans par , autrement dit par . On suppose de plus que pour tout vecteur non nul de .

) Exemple d'une telle matrice

On suppose dans cette question, et dans cette question seulement, que avec :
a) Calculer pour tout vecteur de composantes dans la base canonique de .
b) Montrer que pour tout vecteur non nul de (on calculera ).
c) Montrer que est inversible et déterminer la matrice inverse de .
d) Calculer pour tout vecteur de composantes dans la base canonique de .
e) Montrer que pour tout vecteur non nul de .
) Inversibilité de la matrice
a) Vérifier, pour tout couple de vecteurs de , que est un nombre réel et que :
b) On considère un vecteur appartenant au noyau de , c'est à dire tel que .
Montrer que et en déduire que la matrice est inversible.
c) Montrer est une matrice symétrique réelle d'ordre , autrement dit que .
(On pourra transposer l'égalité où désigne la matrice-identité d'ordre ).
d) En posant , montrer que pour tout vecteur non nul de .
Etablir l'égalité suivante dans laquelle sont deux vecteurs linéairement indépendants de :
Préciser le signe de ce trinôme du second degré en et prouver l'inégalité suivante :
) Condition pour que lorsque
On désigne ici par un vecteur de et par un vecteur non nul de .
a) Montrer, pour tout couple ( ) de vecteurs de et tout nombre réel , que :
b) On suppose que pour tout vecteur tel que .
  • Etablir l'inégalité suivante pour tout vecteur tel que :
  • En déduire que pour tout vecteur tel que .
  • En déduire que est colinéaire au vecteur , c'est à dire que est colinéaire à .
    c) Etablir inversement, si est colinéaire à , que si .
    d) La condition précédente est désormais supposée vérifiée et on note donc .
  • Montrer que où désigne un nombre réel dépendant de et tel que .
  • Montrer que .
    ) Condition pour que lorsque
    On désigne ici par un vecteur de et par et deux vecteurs linéairement indépendants de .
    a) On suppose que pour tout vectcur tel que .
  • Etablir comme précédemment que pour tout vecteur tel que .
  • En déduire que appartient à , c'est à dire que appartient à .
    b) Etablir inversement, si appartient à , que si .
    c) La condition précédente est désormais supposée vérifiée et on note donc .
  • Montrer que les nombres réels et sont solutions du système suivant :
  • Montrer que ce système admet une solution unique, et que celle-ci est de la forme suivante :
où désignent trois nombres réels dépendant de et tels que et .
  • Montrer que .

PARTIE II

) Covariance des variables aléatoires et
On considère deux variables aléatoires et définies sur un même espace probabilisé et admettant des espérances et et des variances et et on suppose (ce qui signifie, avec une probabilité égale à 1 , que la variable aléatoire n'est pas constante).
La covariance des deux variables aléatoires et (que celles-ci soient discrètes ou à densité) est alors le nombre réel défini par ou encore .
a) Etablir la formule suivante pour tout nombre réel :
b) En considérant le signe de ce trinôme du second degré en , en déduire que :
Etablir de plus que si et seulement s'il existe deux nombres réels et tels qu'on ait avec une probabilité égale à 1 .
c) En déduire que le coefficient de corrélation des variables aléatoires appartient à , puis préciser à quelle condition nécessaire et suffisante est égal à -1 ou +1 .
On considère pendant une période donnée un marché financier où coexistent actifs financiers notés . Ces actifs sont détenus positivement ou négativement (ce qui signifie alors qu'ils sont vendus à découvert) au sein de portefeuilles qu'on ne modifie pas dans la période.
On désigne par les variables aléatoires qui représentent les taux de rentabilité des actifs au cours de la période considérée (ce qui signifie qu'une unité monétaire de l'actif donne un gain aléatoire à la fin de la période). On suppose que ces variables aléatoires , qui sont définies sur un même espace probabilisé, admettent :
  • des espérances supposées non toutes égales.
  • des variances supposées strictement positives.

) Etude des portefeuilles dans le cas

(Cette question est sans influence sur les suivantes qui peuvent être abordées indépendamment). On considère ici un portefeuille contenant les actifs et en proportions respectives et . La variable aléatoire indiquant le taux de rentabilité du portefeuille est alors . On note le coefficient de corrélation des variables aléatoires , supposé tel que .
a) Exprimer l'espérance et la variance en fonction de et .
b) Etablir, si , qu'il existe des nombres réels avec et , indépendants de (c'est à dire indépendants de la composition du portefeuille) tels qu'on ait où et désignent respectivement la variance et l'espérance de .
) Matrice de variances-covariances des variables aléatoires
On désigne par la matrice symétrique réelle dont le coefficient de la è ligne et è colonne (où est la covariance des variables aléatoires et .
a) Etablir, pour tout vecteur de de composantes dans la base canonique :
b) En déduire qu'on a ' pour tout vecteur de et donner une condition nécessaire et suffisante portant sur pour que pour tout vecteur non nul de .
On supposera désormais cette condition bien vérifiée par et on posera .

) Etude des portefeuilles efficaces dans le cas général

On étudie ici un portefeuille contenant les actifs en proportion . La variable aléatoire indiquant le taux de rentabilité de ce portefeuille au cours de la période considérée est alors .
Ce portefeuille est dit efficace s'il est de variance minimale parmi tous les portefeuilles dont l'espérance de gain est donnée (en effet, la variance constitue ici un risque pour le gain de l'investisseur qu'il importe donc de minimiser).
a) Montrer que le vecteur de de composantes considéré ci-dessus vérifie :
b) Montrer que le portefeuille considéré ici est efficace si et seulement si on a pour tout vecteur de de composantes telles que :
c) Etablir à l'aide de I. 4 qu'il existe des nombres réels avec et tels que :
où et désignent respectivement la variance et l'espérance de .
d) Déterminer la nature de la courbe représentative de cette fonction associant la variance à l'espérance et représenter celle-ci (on rappelle que et , et on supposera ).
Expliquer pourquoi seuls les portefeuilles dont l'espérance et la variance appartiennent à la portion de cette courbe telle que sont intéressants pour les investisseurs (et c'est cette portion de la courbe qui est la "frontière efficace" de Markowitz, du nom de l'économiste qui a reçu le prix Nobel en 1990).
  1. Cette situation se produit notamment dans le cadre des marchés à réglements mensuels.

Pas de description pour le moment